20. (6 分)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 的正方形，$ \triangle ABC $ 的顶点都在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系。
(1)将 $ \triangle ABC $ 先向左平移 7 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，请画出平移后的 $ \triangle A_1B_1C_1 $。若 $ M(a,b) $ 为 $ \triangle ABC $ 内的一点，直接写出点 $ M $ 的对应点 $ M_1 $ 的坐标；
(2)以原点 $ O $ 为位似中心，将 $ \triangle ABC $ 缩小，使变换后得到的 $ \triangle A_2B_2C_2 $ 与 $ \triangle ABC $ 对应边之比为 $ 1:2 $。请在网格中画出在第三象限内的 $ \triangle A_2B_2C_2 $，并写出点 $ A_2 $ 的坐标。
(1)将 $ \triangle ABC $ 先向左平移 7 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，请画出平移后的 $ \triangle A_1B_1C_1 $。若 $ M(a,b) $ 为 $ \triangle ABC $ 内的一点，直接写出点 $ M $ 的对应点 $ M_1 $ 的坐标；
(2)以原点 $ O $ 为位似中心，将 $ \triangle ABC $ 缩小，使变换后得到的 $ \triangle A_2B_2C_2 $ 与 $ \triangle ABC $ 对应边之比为 $ 1:2 $。请在网格中画出在第三象限内的 $ \triangle A_2B_2C_2 $，并写出点 $ A_2 $ 的坐标。
答案：20.（1）图略．点$M$的坐标为$(a - 7,b - 3)$．
（2）图略．点$A$的坐标为$(-1,-4)$．
（2）图略．点$A$的坐标为$(-1,-4)$．
21. (8 分)新素养 应用意识 (2025·四川达州)为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品。已知某款巴小虎吉祥物每件的成本价为 30 元，当每件售价为 40 元时，每天可售出 60 件。经调查发现，每件售价每降低 1 元，每天可多售出 10 件。
(1)设该款巴小虎吉祥物每件售价降低 $ x $ 元，则每天售出的数量是件；
(2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物每件售价应降低多少元，该文旅公司每天的利润是 630 元？
(3)设该文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为 $ W $ 元，则当每件售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
(1)设该款巴小虎吉祥物每件售价降低 $ x $ 元，则每天售出的数量是件；
(2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物每件售价应降低多少元，该文旅公司每天的利润是 630 元？
(3)设该文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为 $ W $ 元，则当每件售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
答案：21.（1）$(10x + 60)$
（2）设该款巴小虎吉祥物每件售价应降低$a$元．由题意，得$(40 - 30 - a)(10a + 60)=630$．整理，得$a^{2}-4a + 3 = 0$，解得$a_{1}=1$，$a_{2}=3$．因为要让利于游客，所以$a = 3$．故该款巴小虎吉祥物每件售价应降低$3$元．
（3）设每件售价降低$m$元．由题意，得$W=(40 - 30 - m)(10m + 60)=-10m^{2}+40m + 600=-10(m - 2)^{2}+640$．因为$-10＜0$，所以当$m = 2$时，$W$取最大值$640$，则$40 - 2 = 38$（元）．故当每件售价为$38$元时，每天的利润最大，最大利润是$640$元．
（2）设该款巴小虎吉祥物每件售价应降低$a$元．由题意，得$(40 - 30 - a)(10a + 60)=630$．整理，得$a^{2}-4a + 3 = 0$，解得$a_{1}=1$，$a_{2}=3$．因为要让利于游客，所以$a = 3$．故该款巴小虎吉祥物每件售价应降低$3$元．
（3）设每件售价降低$m$元．由题意，得$W=(40 - 30 - m)(10m + 60)=-10m^{2}+40m + 600=-10(m - 2)^{2}+640$．因为$-10＜0$，所以当$m = 2$时，$W$取最大值$640$，则$40 - 2 = 38$（元）．故当每件售价为$38$元时，每天的利润最大，最大利润是$640$元．
22. (6 分)(2024·新疆)如图，$ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径，弦 $ CD $ 交 $ AB $ 于点 $ E $，$ \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BD} $，连接 $ AC $，$ BC $，$ AD $，$ BD $。
(1)求证：$ \triangle ACD ∼ \triangle ECB $；
(2)若 $ AC = 3 $，$ BC = 1 $，求 $ CE $ 的长。
(1)求证：$ \triangle ACD ∼ \triangle ECB $；
(2)若 $ AC = 3 $，$ BC = 1 $，求 $ CE $ 的长。
答案：22.（1）因为$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，所以$\angle ACD=\angle ECB$．又$\angle ADC=\angle EBC$，所以$\triangle ACD∼\triangle ECB$．
（2）过点$B$作$BF⊥ CD$于点$F$，则$\angle BFC=\angle BFD = 90^{\circ}$．因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB=\angle ADB = 90^{\circ}$．因为$AC = 3$，$BC = 1$，所以$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{10}$．因为$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，所以$\angle ACD=\angle BCD=\frac{1}{2}\angle ACB = 45^{\circ}$，所以$\angle CBF=90^{\circ}-\angle BCD = 45^{\circ}$，所以$\angle BCD=\angle CBF$，所以$BF = CF$，所以$BC=\sqrt{BF^{2}+CF^{2}}=\sqrt{2}CF$．因为$BC = 1$，所以$BF = CF=\frac{\sqrt{2}}{2}BC=\frac{\sqrt{2}}{2}$．因为$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，所以$AD = BD$，所以$AB=\sqrt{AD^{2}+BD^{2}}=\sqrt{2}BD$，所以$AD = BD=\frac{\sqrt{2}}{2}AB=\frac{\sqrt{5}}{2}$，所以$DF=\sqrt{BD^{2}-BF^{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，所以$CD = CF + DF = 2\sqrt{2}$．因为$\triangle ECB∼\triangle ACD$，所以$\frac{CE}{AC}=\frac{BC}{CD}$，即$\frac{CE}{3}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$，所以$CE=\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
（2）过点$B$作$BF⊥ CD$于点$F$，则$\angle BFC=\angle BFD = 90^{\circ}$．因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB=\angle ADB = 90^{\circ}$．因为$AC = 3$，$BC = 1$，所以$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{10}$．因为$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，所以$\angle ACD=\angle BCD=\frac{1}{2}\angle ACB = 45^{\circ}$，所以$\angle CBF=90^{\circ}-\angle BCD = 45^{\circ}$，所以$\angle BCD=\angle CBF$，所以$BF = CF$，所以$BC=\sqrt{BF^{2}+CF^{2}}=\sqrt{2}CF$．因为$BC = 1$，所以$BF = CF=\frac{\sqrt{2}}{2}BC=\frac{\sqrt{2}}{2}$．因为$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，所以$AD = BD$，所以$AB=\sqrt{AD^{2}+BD^{2}}=\sqrt{2}BD$，所以$AD = BD=\frac{\sqrt{2}}{2}AB=\frac{\sqrt{5}}{2}$，所以$DF=\sqrt{BD^{2}-BF^{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，所以$CD = CF + DF = 2\sqrt{2}$．因为$\triangle ECB∼\triangle ACD$，所以$\frac{CE}{AC}=\frac{BC}{CD}$，即$\frac{CE}{3}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$，所以$CE=\frac{3\sqrt{2}}{4}$．