26. (9 分)已知抛物线 $ y = x^2 - (m + 1)x + 2m + 3 $。
(1)当 $ m = 0 $ 时，请判断点 $ (2,4) $ 是否在该抛物线上；
(2)该抛物线的顶点随着 $ m $ 的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
(3)已知点 $ E(-1,-1) $，$ F(3,7) $。若该抛物线与线段 $ EF $ 只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标 $ a $ 的取值范围。
(1)当 $ m = 0 $ 时，请判断点 $ (2,4) $ 是否在该抛物线上；
(2)该抛物线的顶点随着 $ m $ 的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
(3)已知点 $ E(-1,-1) $，$ F(3,7) $。若该抛物线与线段 $ EF $ 只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标 $ a $ 的取值范围。
答案：26.（1）当$m = 0$时，抛物线即为$y=x^{2}-x + 3$．在$y=x^{2}-x + 3$中，令$x = 2$，得$y=2^{2}-2 + 3 = 5$，所以点$(2,4)$不在该抛物线上．
（2）在$y=x^{2}-(m + 1)x + 2m + 3$中，令$x = 2$，得$y=4-2(m + 1)+2m + 3 = 5$，所以点$(2,5)$在该抛物线上．因为$1＞0$，所以该抛物线的开口向上，所以当该抛物线的顶点移动到最高处时，该抛物线的顶点坐标为$(2,5)$．
（3）设直线$EF$的函数表达式为$y = kx + b$．把点$E(-1,-1)$，$F(3,7)$分别代入$y = kx + b$，得$\begin{cases}-k + b=-1,\\3k + b = 7,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 2,\\b = 1,\end{cases}$所以直线$EF$的函数表达式为$y = 2x + 1$．联立方程组$\begin{cases}y=x^{2}-(m + 1)x + 2m + 3,\\y=2x + 1,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 2,\\y = 5\end{cases}$或$\begin{cases}x=m + 1,\\y=2m + 3,\end{cases}$所以该抛物线与直线$EF$的两个交点的坐标分别为$(2,5)$，$(m + 1,2m + 3)$，所以当该抛物线与线段$EF$只有一个交点时，$m + 1＜-1$或$m + 1＞3$或$m + 1 = 2$，所以该抛物线顶点横坐标$a=\frac{m + 1}{2}$的取值范围为$a＜-\frac{1}{2}$或$a＞\frac{3}{2}$或$a = 1$．
（2）在$y=x^{2}-(m + 1)x + 2m + 3$中，令$x = 2$，得$y=4-2(m + 1)+2m + 3 = 5$，所以点$(2,5)$在该抛物线上．因为$1＞0$，所以该抛物线的开口向上，所以当该抛物线的顶点移动到最高处时，该抛物线的顶点坐标为$(2,5)$．
（3）设直线$EF$的函数表达式为$y = kx + b$．把点$E(-1,-1)$，$F(3,7)$分别代入$y = kx + b$，得$\begin{cases}-k + b=-1,\\3k + b = 7,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 2,\\b = 1,\end{cases}$所以直线$EF$的函数表达式为$y = 2x + 1$．联立方程组$\begin{cases}y=x^{2}-(m + 1)x + 2m + 3,\\y=2x + 1,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 2,\\y = 5\end{cases}$或$\begin{cases}x=m + 1,\\y=2m + 3,\end{cases}$所以该抛物线与直线$EF$的两个交点的坐标分别为$(2,5)$，$(m + 1,2m + 3)$，所以当该抛物线与线段$EF$只有一个交点时，$m + 1＜-1$或$m + 1＞3$或$m + 1 = 2$，所以该抛物线顶点横坐标$a=\frac{m + 1}{2}$的取值范围为$a＜-\frac{1}{2}$或$a＞\frac{3}{2}$或$a = 1$．
27. (10 分)(2025·江苏宿迁模拟)如图，已知一次函数 $ y = kx - 1 $ 的图像经过点 $ A(3\sqrt{5},m) $($ m ＞ 0 $)，与 $ y $ 轴交于点 $ B $，点 $ C $ 在线段 $ AB $ 上，$ BC = 2AC $，过点 $ C $ 作 $ x $ 轴的垂线，垂足为 $ D $，且 $ AC = CD $。
(1)求该一次函数的表达式；
(2)已知一开口向下，以直线 $ CD $ 为对称轴的抛物线经过点 $ A $，它的顶点为 $ P $。若经过点 $ P $ 且垂直于 $ AP $ 的直线与 $ x $ 轴的交点为 $ Q(-\frac{4\sqrt{5}}{5},0) $，求该抛物线的函数表达式。
(1)求该一次函数的表达式；
(2)已知一开口向下，以直线 $ CD $ 为对称轴的抛物线经过点 $ A $，它的顶点为 $ P $。若经过点 $ P $ 且垂直于 $ AP $ 的直线与 $ x $ 轴的交点为 $ Q(-\frac{4\sqrt{5}}{5},0) $，求该抛物线的函数表达式。
答案：
27.（1）如图①，过点$B$作$BE⊥ CD$于点$E$，过点$A$作$AF⊥ BE$于点$F$，则$CE// AF$，所以$\triangle BEC∼\triangle BFA$，所以$\frac{BE}{BF}=\frac{BC}{BA}$．因为$BC = 2AC$，$A(3\sqrt{5},m)$，所以$\frac{BC}{BA}=\frac{2}{3}$，$BF = 3\sqrt{5}$，所以$\frac{BE}{3\sqrt{5}}=\frac{2}{3}$，所以$BE = 2\sqrt{5}$．因为直线$y = kx - 1$经过点$A$，$C$，所以$A(3\sqrt{5},3\sqrt{5}k - 1)$，$C(2\sqrt{5},2\sqrt{5}k - 1)$，所以$AC=\sqrt{(3\sqrt{5}-2\sqrt{5})^{2}+(3\sqrt{5}k - 1 - 2\sqrt{5}k + 1)^{2}}=\sqrt{5(k^{2}+1)}$，$CD = 2\sqrt{5}k - 1$．因为$AC = CD$，所以$\sqrt{5(k^{2}+1)}=2\sqrt{5}k - 1$，解得$k=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，所以该一次函数的表达式为$y=\frac{2\sqrt{5}}{5}x - 1$．
（2）如图②，过点$A$作$AM⊥ PD$于点$M$，则$\angle AMP=\angle PDQ = 90^{\circ}$，所以$\angle PAM+\angle APM = 90^{\circ}$．因为$AP⊥ QP$，所以$\angle QPD+\angle APM = 90^{\circ}$，所以$\angle PAM=\angle QPD$，所以$\triangle PAM∼\triangle QPD$，所以$\frac{PM}{QD}=\frac{AM}{PD}$．设$PD = x$．由（1）可知$A(3\sqrt{5},5)$，$D(2\sqrt{5},0)$，所以$AM = 3\sqrt{5}-2\sqrt{5}=\sqrt{5}$，$PM = PD - DM = x - 5$．因为$Q(-\frac{4\sqrt{5}}{5},0)$，所以$QD=2\sqrt{5}-(-\frac{4\sqrt{5}}{5})=\frac{14\sqrt{5}}{5}$，所以$\frac{x - 5}{\frac{14\sqrt{5}}{5}}=\frac{\sqrt{5}}{x}$，解得$x = 7$或$-2$．经检验，它们都是原分式方程的解．又$x＞5$，所以$PD = 7$，所以$P(2\sqrt{5},7)$，所以可设该抛物线的函数表达式为$y=a(x - 2\sqrt{5})^{2}+7$．把点$A(3\sqrt{5},5)$代入$y=a(x - 2\sqrt{5})^{2}+7$，得$5 = 5a + 7$，解得$a=-\frac{2}{5}$．故该抛物线的函数表达式为$y=-\frac{2}{5}(x - 2\sqrt{5})^{2}+7$．
27.（1）如图①，过点$B$作$BE⊥ CD$于点$E$，过点$A$作$AF⊥ BE$于点$F$，则$CE// AF$，所以$\triangle BEC∼\triangle BFA$，所以$\frac{BE}{BF}=\frac{BC}{BA}$．因为$BC = 2AC$，$A(3\sqrt{5},m)$，所以$\frac{BC}{BA}=\frac{2}{3}$，$BF = 3\sqrt{5}$，所以$\frac{BE}{3\sqrt{5}}=\frac{2}{3}$，所以$BE = 2\sqrt{5}$．因为直线$y = kx - 1$经过点$A$，$C$，所以$A(3\sqrt{5},3\sqrt{5}k - 1)$，$C(2\sqrt{5},2\sqrt{5}k - 1)$，所以$AC=\sqrt{(3\sqrt{5}-2\sqrt{5})^{2}+(3\sqrt{5}k - 1 - 2\sqrt{5}k + 1)^{2}}=\sqrt{5(k^{2}+1)}$，$CD = 2\sqrt{5}k - 1$．因为$AC = CD$，所以$\sqrt{5(k^{2}+1)}=2\sqrt{5}k - 1$，解得$k=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，所以该一次函数的表达式为$y=\frac{2\sqrt{5}}{5}x - 1$．
（2）如图②，过点$A$作$AM⊥ PD$于点$M$，则$\angle AMP=\angle PDQ = 90^{\circ}$，所以$\angle PAM+\angle APM = 90^{\circ}$．因为$AP⊥ QP$，所以$\angle QPD+\angle APM = 90^{\circ}$，所以$\angle PAM=\angle QPD$，所以$\triangle PAM∼\triangle QPD$，所以$\frac{PM}{QD}=\frac{AM}{PD}$．设$PD = x$．由（1）可知$A(3\sqrt{5},5)$，$D(2\sqrt{5},0)$，所以$AM = 3\sqrt{5}-2\sqrt{5}=\sqrt{5}$，$PM = PD - DM = x - 5$．因为$Q(-\frac{4\sqrt{5}}{5},0)$，所以$QD=2\sqrt{5}-(-\frac{4\sqrt{5}}{5})=\frac{14\sqrt{5}}{5}$，所以$\frac{x - 5}{\frac{14\sqrt{5}}{5}}=\frac{\sqrt{5}}{x}$，解得$x = 7$或$-2$．经检验，它们都是原分式方程的解．又$x＞5$，所以$PD = 7$，所以$P(2\sqrt{5},7)$，所以可设该抛物线的函数表达式为$y=a(x - 2\sqrt{5})^{2}+7$．把点$A(3\sqrt{5},5)$代入$y=a(x - 2\sqrt{5})^{2}+7$，得$5 = 5a + 7$，解得$a=-\frac{2}{5}$．故该抛物线的函数表达式为$y=-\frac{2}{5}(x - 2\sqrt{5})^{2}+7$．