19. (8分)新素养 运算能力 计算：
(1)(2025·四川遂宁)计算：$(-\frac{1}{2})^{-2} - \sqrt{9} + |2 - \sqrt{3}| + 2\sin 60^{\circ}$；
(2)$\frac{\sin 60^{\circ} - 1}{\tan 60^{\circ} - 2\tan 45^{\circ}} - \sqrt{3}\cos 30^{\circ} + \sqrt{2}\sin 45^{\circ}$.
(1)(2025·四川遂宁)计算：$(-\frac{1}{2})^{-2} - \sqrt{9} + |2 - \sqrt{3}| + 2\sin 60^{\circ}$；
(2)$\frac{\sin 60^{\circ} - 1}{\tan 60^{\circ} - 2\tan 45^{\circ}} - \sqrt{3}\cos 30^{\circ} + \sqrt{2}\sin 45^{\circ}$.
答案：19.(1)原式 = 4 - 3 + 2 - $\sqrt{3}$ + $\sqrt{3}$ = 3。
(2)原式 = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ - 1 - $\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ + $\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ + 1 = 0。
(2)原式 = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ - 1 - $\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ + $\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ + 1 = 0。
20. (6分)(2023·青海)如图，为了方便观测动物的活动情况，某湿地公园要铺设一段道路，计划从A，C两处分别向B处铺设，现测得AB = 1 000 m，∠BAC = 30°，∠ABC = 136°，求B，C两点之间的距离.(结果取整数，参考数据：sin 14°≈0.24，cos 14°≈0.97，tan 14°≈0.25)
答案：20.过点B作BD⊥AC于点D，则∠ADB = ∠CDB = 90°。因为AB = 1000m，∠BAC = 30°，所以BD = AB·sin∠BAC = 500m。因为∠ABC = 136°，所以∠C = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 14°，所以BC = $\frac{BD}{sinC}$≈2083m。故B，C两点之间的距离约为2083m。
解析：
解：过点$B$作$BD ⊥ AC$于点$D$，则$\angle ADB = \angle CDB = 90°$。
在$\mathrm{Rt}\triangle ABD$中，$AB = 1000\ \mathrm{m}$，$\angle BAC = 30°$，
$\therefore BD = AB · \sin \angle BAC = 1000 × \sin 30° = 1000 × \frac{1}{2} = 500\ \mathrm{m}$。
在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 30°$，$\angle ABC = 136°$，
$\therefore \angle C = 180° - \angle BAC - \angle ABC = 180° - 30° - 136° = 14°$。
在$\mathrm{Rt}\triangle CBD$中，$\sin C = \frac{BD}{BC}$，
$\therefore BC = \frac{BD}{\sin C} = \frac{500}{\sin 14°} \approx \frac{500}{0.24} \approx 2083\ \mathrm{m}$。
故$B$，$C$两点之间的距离约为$2083\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}\triangle ABD$中，$AB = 1000\ \mathrm{m}$，$\angle BAC = 30°$，
$\therefore BD = AB · \sin \angle BAC = 1000 × \sin 30° = 1000 × \frac{1}{2} = 500\ \mathrm{m}$。
在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 30°$，$\angle ABC = 136°$，
$\therefore \angle C = 180° - \angle BAC - \angle ABC = 180° - 30° - 136° = 14°$。
在$\mathrm{Rt}\triangle CBD$中，$\sin C = \frac{BD}{BC}$，
$\therefore BC = \frac{BD}{\sin C} = \frac{500}{\sin 14°} \approx \frac{500}{0.24} \approx 2083\ \mathrm{m}$。
故$B$，$C$两点之间的距离约为$2083\ \mathrm{m}$。
21. (6分)(2025·四川内江)在综合与实践活动中，某学习小组计划测量内江麻柳坝大桥桥塔AD的高度.他们设计了如下方案：如图，点B，D，C依次在同一条水平直线上，在B处测得桥塔顶部A的仰角(∠ABD)为45°，在C处测得桥塔顶部A的仰角(∠ACD)为30°，又测得BC = 80 m，AD⊥BC，垂足为D，求桥塔AD的高度.(结果保留根号)
答案：21.因为AD⊥BC，所以∠ADB = ∠ADC = 90°。设AD = xm。因为∠ABD = 45°，所以BD = $\frac{AD}{tan∠ABD}$ = xm。因为∠ACD = 30°，所以CD = $\frac{AD}{tan∠ACD}$ = $\sqrt{3}$xm，所以BC = BD + CD = ($\sqrt{3}$ + 1)xm。又BC = 80m，所以($\sqrt{3}$ + 1)x = 80，解得x = 40($\sqrt{3}$ - 1)。故桥塔AD的高度为40($\sqrt{3}$ - 1)m。
解析：
解：因为$AD ⊥ BC$，所以$\angle ADB = \angle ADC = 90°$。
设$AD = x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}\triangle ABD$中，$\angle ABD = 45°$，$\tan\angle ABD = \frac{AD}{BD}$，则$BD = \frac{AD}{\tan 45°} = \frac{x}{1} = x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}\triangle ACD$中，$\angle ACD = 30°$，$\tan\angle ACD = \frac{AD}{CD}$，则$CD = \frac{AD}{\tan 30°} = \frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \sqrt{3}x\ \mathrm{m}$。
因为$BC = BD + CD$，且$BC = 80\ \mathrm{m}$，所以$x + \sqrt{3}x = 80$，即$(\sqrt{3} + 1)x = 80$。
解得$x = \frac{80}{\sqrt{3} + 1} = \frac{80(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{80(\sqrt{3} - 1)}{2} = 40(\sqrt{3} - 1)$。
故桥塔$AD$的高度为$40(\sqrt{3} - 1)\ \mathrm{m}$。
设$AD = x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}\triangle ABD$中，$\angle ABD = 45°$，$\tan\angle ABD = \frac{AD}{BD}$，则$BD = \frac{AD}{\tan 45°} = \frac{x}{1} = x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}\triangle ACD$中，$\angle ACD = 30°$，$\tan\angle ACD = \frac{AD}{CD}$，则$CD = \frac{AD}{\tan 30°} = \frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \sqrt{3}x\ \mathrm{m}$。
因为$BC = BD + CD$，且$BC = 80\ \mathrm{m}$，所以$x + \sqrt{3}x = 80$，即$(\sqrt{3} + 1)x = 80$。
解得$x = \frac{80}{\sqrt{3} + 1} = \frac{80(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{80(\sqrt{3} - 1)}{2} = 40(\sqrt{3} - 1)$。
故桥塔$AD$的高度为$40(\sqrt{3} - 1)\ \mathrm{m}$。