26. (8 分)已知二次函数 $ y = kx^2 + k^2x - 2 $ 的图像与 $ y $ 轴交于点 $ C $.
(1)当 $ k = -2 $ 时，求该函数的图像与 $ x $ 轴的交点个数；
(2)已知该函数的图像与 $ x $ 轴的一个交点为 $ A $，当 $\triangle AOC$ 是等腰三角形时，求 $ k $ 的值；
(3)若当 $ x \geqslant 1 $ 时，函数值 $ y $ 随 $ x $ 增大而减小，求 $ k $ 的取值范围.
(1)当 $ k = -2 $ 时，求该函数的图像与 $ x $ 轴的交点个数；
(2)已知该函数的图像与 $ x $ 轴的一个交点为 $ A $，当 $\triangle AOC$ 是等腰三角形时，求 $ k $ 的值；
(3)若当 $ x \geqslant 1 $ 时，函数值 $ y $ 随 $ x $ 增大而减小，求 $ k $ 的取值范围.
答案：26.(1)当$k=-2$时，函数即为$y=-2x^2+4x-2$。因为$4^2-4×(-2)×(-2)=0$，所以方程$-2x^2+4x-2=0$有两个相等的实数根，所以该函数的图像与$x$轴的交点个数为$1$。
(2)在$y=kx^2+k^2x-2$中，令$x=0$，得$y=-2$，所以$C(0,-2)$，所以$OC=2$。因为$\angle AOC=90°$，所以当$\triangle AOC$是等腰三角形时，$OA=OC=2$，所以点$A$的坐标为$(2,0)$或$(-2,0)$。把$x=2$，$y=0$代入$y=kx^2+k^2x-2$，得$2k^2+4k-2=0$，解得$k_1=-1+\sqrt{2}$，$k_2=-1-\sqrt{2}$；把$x=-2$，$y=0$代入$y=kx^2+k^2x-2$，得$-2k^2+4k-2=0$，解得$k_1=k_2=1$。综上所述，$k$的值为$-1+\sqrt{2}$或$-1-\sqrt{2}$或$1$。
(3)由题意，得$\begin{cases}k＜0,\\-\frac{k}{2k}\leq1,\end{cases}$即$\begin{cases}k＜0,\\-\frac{k}{2}\leq1,\end{cases}$解得$-2\leq k＜0$。故$k$的取值范围为$-2\leq k＜0$。
(2)在$y=kx^2+k^2x-2$中，令$x=0$，得$y=-2$，所以$C(0,-2)$，所以$OC=2$。因为$\angle AOC=90°$，所以当$\triangle AOC$是等腰三角形时，$OA=OC=2$，所以点$A$的坐标为$(2,0)$或$(-2,0)$。把$x=2$，$y=0$代入$y=kx^2+k^2x-2$，得$2k^2+4k-2=0$，解得$k_1=-1+\sqrt{2}$，$k_2=-1-\sqrt{2}$；把$x=-2$，$y=0$代入$y=kx^2+k^2x-2$，得$-2k^2+4k-2=0$，解得$k_1=k_2=1$。综上所述，$k$的值为$-1+\sqrt{2}$或$-1-\sqrt{2}$或$1$。
(3)由题意，得$\begin{cases}k＜0,\\-\frac{k}{2k}\leq1,\end{cases}$即$\begin{cases}k＜0,\\-\frac{k}{2}\leq1,\end{cases}$解得$-2\leq k＜0$。故$k$的取值范围为$-2\leq k＜0$。
27. (9 分)如图，$ O $ 为正方形 $ ABCD $ 的中心，$ E $ 为边 $ AB $ 上一点，$ F $ 为边 $ BC $ 上一点，$\triangle EBF$ 的周长等于 $ BC $ 的长，连接 $ OA $，$ OC $，$ OE $，$ OF $.
(1)求 $\angle EOF$ 的度数；
(2)求证：$\triangle AOE ∼ \triangle CFO $；
(3)若 $ OE = \frac{\sqrt{5}}{2}OF $，求 $\frac{AE}{CF}$ 的值.
(1)求 $\angle EOF$ 的度数；
(2)求证：$\triangle AOE ∼ \triangle CFO $；
(3)若 $ OE = \frac{\sqrt{5}}{2}OF $，求 $\frac{AE}{CF}$ 的值.
答案：
27.(1)如图，在$FC$上截取$FM=FE$，连接$OB$，$OM$。因为$C_{\triangle EBF}=BC$，所以$BF+FE+BE=BF+FM+CM$，所以$BE=CM$。因为$O$为正方形$ABCD$的中心，所以$OB=OC$，$\angle BOC=90°$，$\angle OBE=\angle OCM=45°$。在$\triangle OBE$和$\triangle OCM$中，$\begin{cases}OB=OC,\\\angle OBE=\angle OCM,\end{cases}$所以$\triangle OBE\cong\triangle OCM$，所以$OE=OM$，$\angle EOB=\angle MOC$，所以$\angle EOB+\angle BOM=\angle MOC+\angle BOM$，所以$\angle EOM=\angle BOC=90°$。在$\triangle OFE$与$\triangle OFM$中，$\begin{cases}OF=OF,\\FE=FM,\end{cases}$所以$\triangle OFE\cong\triangle OFM$，所以$\angle EOF=\angle MOF$，所以$\angle EOF=\frac{1}{2}\angle EOM=45°$。
(2)因为$\angle EOF=45°$，所以$\angle AOE+\angle COF=180°-\angle EOF=135°$。因为$\angle EAO=\angle OCF=45°$，所以$\angle AOE+\angle AEO=180°-\angle EAO=135°$，所以$\angle AEO=\angle COF$，所以$\triangle AOE∼\triangle CFO$。
(3)因为$\triangle AOE∼\triangle CFO$，所以$\frac{AE}{OC}=\frac{OA}{CF}=\frac{OE}{OF}$。因为$OE=\frac{\sqrt{5}}{2}OF$，所以$AE=\frac{\sqrt{5}}{2}OC$，$OA=\frac{\sqrt{5}}{2}CF$。因为$OA=OC$，所以$AE=\frac{\sqrt{5}}{2}×\frac{\sqrt{5}}{2}CF=\frac{5}{4}CF$，所以$\frac{AE}{CF}=\frac{5}{4}$。
27.(1)如图，在$FC$上截取$FM=FE$，连接$OB$，$OM$。因为$C_{\triangle EBF}=BC$，所以$BF+FE+BE=BF+FM+CM$，所以$BE=CM$。因为$O$为正方形$ABCD$的中心，所以$OB=OC$，$\angle BOC=90°$，$\angle OBE=\angle OCM=45°$。在$\triangle OBE$和$\triangle OCM$中，$\begin{cases}OB=OC,\\\angle OBE=\angle OCM,\end{cases}$所以$\triangle OBE\cong\triangle OCM$，所以$OE=OM$，$\angle EOB=\angle MOC$，所以$\angle EOB+\angle BOM=\angle MOC+\angle BOM$，所以$\angle EOM=\angle BOC=90°$。在$\triangle OFE$与$\triangle OFM$中，$\begin{cases}OF=OF,\\FE=FM,\end{cases}$所以$\triangle OFE\cong\triangle OFM$，所以$\angle EOF=\angle MOF$，所以$\angle EOF=\frac{1}{2}\angle EOM=45°$。
(2)因为$\angle EOF=45°$，所以$\angle AOE+\angle COF=180°-\angle EOF=135°$。因为$\angle EAO=\angle OCF=45°$，所以$\angle AOE+\angle AEO=180°-\angle EAO=135°$，所以$\angle AEO=\angle COF$，所以$\triangle AOE∼\triangle CFO$。
(3)因为$\triangle AOE∼\triangle CFO$，所以$\frac{AE}{OC}=\frac{OA}{CF}=\frac{OE}{OF}$。因为$OE=\frac{\sqrt{5}}{2}OF$，所以$AE=\frac{\sqrt{5}}{2}OC$，$OA=\frac{\sqrt{5}}{2}CF$。因为$OA=OC$，所以$AE=\frac{\sqrt{5}}{2}×\frac{\sqrt{5}}{2}CF=\frac{5}{4}CF$，所以$\frac{AE}{CF}=\frac{5}{4}$。
28. (10 分)如图，在平面直角坐标系中，$ O $ 是原点，抛物线 $ y = ax^2 - 2x + c $ 与直线 $ y = -\frac{1}{2}x + 3 $ 分别交于 $ x $ 轴、$ y $ 轴上的 $ B $，$ C $ 两点，抛物线的顶点为 $ D $，连接 $ CD $ 交 $ x $ 轴于点 $ E $.
(1)求该抛物线的函数表达式以及点 $ D $ 的坐标；
(2)求 $\tan \angle BCD$ 的值；
(3)已知点 $ P $ 在直线 $ BC $ 上. 若 $\angle PEB = \angle BCD $，求点 $ P $ 的坐标.
(1)求该抛物线的函数表达式以及点 $ D $ 的坐标；
(2)求 $\tan \angle BCD$ 的值；
(3)已知点 $ P $ 在直线 $ BC $ 上. 若 $\angle PEB = \angle BCD $，求点 $ P $ 的坐标.
答案：28.(1)在$y=-\frac{1}{2}x+3$中，令$x=0$，得$y=3$，所以$C(0,3)$；令$y=0$，得$-\frac{1}{2}x+3=0$，解得$x=6$，所以$B(6,0)$。把点$B(6,0)$，$C(0,3)$分别代入$y=ax^2-2x+c$，得$\begin{cases}36a-12+c=0,\\c=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{1}{4},\\c=3,\end{cases}$所以该抛物线的函数表达式为$y=\frac{1}{4}x^2-2x+3$。因为$y=\frac{1}{4}x^2-2x+3=\frac{1}{4}(x-4)^2-1$，所以点$D$的坐标为$(4,-1)$。
(2)设直线$CD$的函数表达式为$y=kx+b$。把点$D(4,-1)$，$C(0,3)$分别代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}4k+b=-1,\\b=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=3,\end{cases}$所以$y=-x+3$。在$y=-x+3$中，令$y=0$，得$x=3$，所以$E(3,0)$，所以$OE=3$。因为$B(6,0)$，$C(0,3)$，所以$OB=6$，$OC=3$，所以$OC=OE$，$BE=OB-OE=3$。因为$\angle COE=90°$，所以$CE=\sqrt{OC^2+OE^2}=3\sqrt{2}$，$\angle OEC=45°$。过点$B$作$BF⊥ CD$，交$CD$的延长线于点$F$，则$\angle F=90°$，$\angle BEF=\angle OEC=45°$，所以$BF=BE·\sin\angle BEF=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$EF=BE·\cos\angle BEF=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，所以$CF=CE+EF=\frac{9\sqrt{2}}{2}$，所以$\tan\angle BCD=\frac{BF}{CF}=\frac{1}{3}$。
(3)设点$P$的坐标为$(m,-\frac{1}{2}m+3)$。因为$\angle PEB=\angle BCD$，所以$\tan\angle PEB=\tan\angle BCD=\frac{1}{3}$。分类讨论如下：①当点$P$在$x$轴上方时，$\frac{-\frac{1}{2}m+3}{m-3}=\frac{1}{3}$，解得$m=\frac{24}{5}$，则$-\frac{1}{2}m+3=\frac{3}{5}$，所以$P(\frac{24}{5},\frac{3}{5})$；②当点$P$在$x$轴下方时，$\frac{-\frac{1}{2}m+3}{m-3}=-\frac{1}{3}$，解得$m=12$，经检验，$m=12$是原分式方程的解，则$-\frac{1}{2}m+3=-3$，所以$P(12,-3)$。综上所述，点$P$的坐标为$(\frac{24}{5},\frac{3}{5})$或$(12,-3)$。
(2)设直线$CD$的函数表达式为$y=kx+b$。把点$D(4,-1)$，$C(0,3)$分别代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}4k+b=-1,\\b=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=3,\end{cases}$所以$y=-x+3$。在$y=-x+3$中，令$y=0$，得$x=3$，所以$E(3,0)$，所以$OE=3$。因为$B(6,0)$，$C(0,3)$，所以$OB=6$，$OC=3$，所以$OC=OE$，$BE=OB-OE=3$。因为$\angle COE=90°$，所以$CE=\sqrt{OC^2+OE^2}=3\sqrt{2}$，$\angle OEC=45°$。过点$B$作$BF⊥ CD$，交$CD$的延长线于点$F$，则$\angle F=90°$，$\angle BEF=\angle OEC=45°$，所以$BF=BE·\sin\angle BEF=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$EF=BE·\cos\angle BEF=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，所以$CF=CE+EF=\frac{9\sqrt{2}}{2}$，所以$\tan\angle BCD=\frac{BF}{CF}=\frac{1}{3}$。
(3)设点$P$的坐标为$(m,-\frac{1}{2}m+3)$。因为$\angle PEB=\angle BCD$，所以$\tan\angle PEB=\tan\angle BCD=\frac{1}{3}$。分类讨论如下：①当点$P$在$x$轴上方时，$\frac{-\frac{1}{2}m+3}{m-3}=\frac{1}{3}$，解得$m=\frac{24}{5}$，则$-\frac{1}{2}m+3=\frac{3}{5}$，所以$P(\frac{24}{5},\frac{3}{5})$；②当点$P$在$x$轴下方时，$\frac{-\frac{1}{2}m+3}{m-3}=-\frac{1}{3}$，解得$m=12$，经检验，$m=12$是原分式方程的解，则$-\frac{1}{2}m+3=-3$，所以$P(12,-3)$。综上所述，点$P$的坐标为$(\frac{24}{5},\frac{3}{5})$或$(12,-3)$。