24. (8分)(2023·湖南益阳)某企业准备对$A$，$B$两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资$A$项目一年后的收益$y_{A}$(万元)与投入资金$x$(万元)之间的函数表达式为$y_{A}=\frac{2}{5}x$，投资$B$项目一年后的收益$y_{B}$(万元)与投入资金$x$(万元)之间的函数表达式为$y_{B}=-\frac{1}{5}x^{2}+2x$.
(1) 若将$10$万元资金投入$A$项目，求一年后获得的收益；
(2) 若对$A$，$B$两个项目投入相同的资金$m(m\gt0)$万元，一年后两者获得的收益相等，求$m$的值；
(3) 2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策.该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计$32$万元，全部投入到$A$，$B$两个项目中，当$A$，$B$两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
(1) 若将$10$万元资金投入$A$项目，求一年后获得的收益；
(2) 若对$A$，$B$两个项目投入相同的资金$m(m\gt0)$万元，一年后两者获得的收益相等，求$m$的值；
(3) 2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策.该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计$32$万元，全部投入到$A$，$B$两个项目中，当$A$，$B$两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
答案：24.(1)在$y_{A}=\frac{2}{5}x$中，令$x = 10$，得$y_{A}=4$.故一年后获得的收益是$4$万元.
(2)由题意，得$\frac{2}{5}m=-\frac{1}{5}m^{2}+2m$.整理，得$m^{2}-8m = 0$，解得$m_{1}=8$，$m_{2}=0$(不合题意，舍去).故$m$的值为$8$.
(3)设$B$项目投入$a$万元，一年后获得的收益之和是$w$万元，则$A$项目投入$(32 - a)$万元.由题意，得$w=\frac{2}{5}(32 - a)+(-\frac{1}{5}a^{2}+2a)=-\frac{1}{5}a^{2}+\frac{8}{5}a+\frac{64}{5}=-\frac{1}{5}(a - 4)^{2}+16$.因为$-\frac{1}{5}＜0$，$0\leq a\leq32$，所以当$a = 4$时，$w$取最大值$16$，则$32 - a=28$.故当$A$项目投入$28$万元，$B$项目投入$4$万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是$16$万元.
(2)由题意，得$\frac{2}{5}m=-\frac{1}{5}m^{2}+2m$.整理，得$m^{2}-8m = 0$，解得$m_{1}=8$，$m_{2}=0$(不合题意，舍去).故$m$的值为$8$.
(3)设$B$项目投入$a$万元，一年后获得的收益之和是$w$万元，则$A$项目投入$(32 - a)$万元.由题意，得$w=\frac{2}{5}(32 - a)+(-\frac{1}{5}a^{2}+2a)=-\frac{1}{5}a^{2}+\frac{8}{5}a+\frac{64}{5}=-\frac{1}{5}(a - 4)^{2}+16$.因为$-\frac{1}{5}＜0$，$0\leq a\leq32$，所以当$a = 4$时，$w$取最大值$16$，则$32 - a=28$.故当$A$项目投入$28$万元，$B$项目投入$4$万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是$16$万元.
25. (10分)在平面直角坐标系中，$O$是原点，直线$y = x + 2$与$x$轴交于点$A$，与$y$轴交于点$B$，抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\lt0)$经过点$A$，$B$.
(1) 求$a$，$b$之间满足的关系式及$c$的值；
(2) 当$x\lt0$时，若$y = ax^{2}+bx + c(a\lt0)$的函数值随$x$增大而增大，求$a$的取值范围；
(3) 如图，当$a = -1$时，在抛物线上是否存在点$P$，使$\triangle PAB$的面积为$1$？若存在，请求出符合条件的所有点$P$的坐标；若不存在，请说明理由.
(1) 求$a$，$b$之间满足的关系式及$c$的值；
(2) 当$x\lt0$时，若$y = ax^{2}+bx + c(a\lt0)$的函数值随$x$增大而增大，求$a$的取值范围；
(3) 如图，当$a = -1$时，在抛物线上是否存在点$P$，使$\triangle PAB$的面积为$1$？若存在，请求出符合条件的所有点$P$的坐标；若不存在，请说明理由.
答案：
25.(1)在$y=x + 2$中，令$x = 0$，得$y = 2$，所以$B(0,2)$；令$y = 0$，得$x=-2$，所以$A(-2,0)$.因为抛物线$y=ax^{2}+bx + c$经过点$A$，$B$，所以$\begin{cases}4a-2b + c=0\\c = 2\end{cases}$.
(2)由题意，得$-\frac{b}{2a}\geq0$，即$-\frac{2a + 1}{2a}\geq0$.又$a＜0$，所以$a$的取值范围为$-\frac{1}{2}\leq a＜0$.
(3)当$a=-1$时，$b=2×(-1)+1=-1$，所以抛物线的函数表达式为$y=-x^{2}-x + 2$.因为$A(-2,0)$，$B(0,2)$，所以$OA = 2$，$OB = 2$.因为$\angle AOB = 90^{\circ}$，所以$AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=2\sqrt{2}$.设点$P$到直线$AB$的距离为$h$，则$S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}AB· h=\sqrt{2}h$.因为$S_{\triangle PAB}=1$，所以$\sqrt{2}h = 1$，解得$h=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$P$为平行于直线$AB$且与直线$AB$距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的直线与抛物线的交点.如图，若点$P$在直线$AB$的下方，设平行于直线$AB$且与直线$AB$距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的直线为$l_{1}$，$l_{1}$与$y$轴交于点$M$，过点$M$作$MN⊥ AB$，垂足为$N$.因为$MN=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$MB = 1$，所以$OM=OB - MB = 1$，所以$M(0,1)$，所以直线$l_{1}$的函数表达式为$y=x + 1$.联立方程组$\begin{cases}y=x + 1\\y=-x^{2}-x + 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x_{1}=-1-\sqrt{2}\\y_{1}=-\sqrt{2}\end{cases}\begin{cases}x_{2}=-1+\sqrt{2}\\y_{2}=\sqrt{2}\end{cases}$，所以$P(-1-\sqrt{2},-\sqrt{2})$或$P(-1+\sqrt{2},\sqrt{2})$.若点$P$在直线$AB$上方，设平行于直线$AB$且与直线$AB$距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的直线为$l_{2}$，则同理可得直线$l_{2}$的函数表达式为$y=x + 3$.联立方程组$\begin{cases}y=x + 3\\y=-x^{2}-x + 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-1\\y = 2\end{cases}$，所以$P(-1,2)$.综上所述，存在符合条件的点$P$，且点$P$的坐标为$(-1-\sqrt{2},-\sqrt{2})$或$(-1+\sqrt{2},\sqrt{2})$或$(-1,2)$.
25.(1)在$y=x + 2$中，令$x = 0$，得$y = 2$，所以$B(0,2)$；令$y = 0$，得$x=-2$，所以$A(-2,0)$.因为抛物线$y=ax^{2}+bx + c$经过点$A$，$B$，所以$\begin{cases}4a-2b + c=0\\c = 2\end{cases}$.
(2)由题意，得$-\frac{b}{2a}\geq0$，即$-\frac{2a + 1}{2a}\geq0$.又$a＜0$，所以$a$的取值范围为$-\frac{1}{2}\leq a＜0$.
(3)当$a=-1$时，$b=2×(-1)+1=-1$，所以抛物线的函数表达式为$y=-x^{2}-x + 2$.因为$A(-2,0)$，$B(0,2)$，所以$OA = 2$，$OB = 2$.因为$\angle AOB = 90^{\circ}$，所以$AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=2\sqrt{2}$.设点$P$到直线$AB$的距离为$h$，则$S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}AB· h=\sqrt{2}h$.因为$S_{\triangle PAB}=1$，所以$\sqrt{2}h = 1$，解得$h=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$P$为平行于直线$AB$且与直线$AB$距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的直线与抛物线的交点.如图，若点$P$在直线$AB$的下方，设平行于直线$AB$且与直线$AB$距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的直线为$l_{1}$，$l_{1}$与$y$轴交于点$M$，过点$M$作$MN⊥ AB$，垂足为$N$.因为$MN=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$MB = 1$，所以$OM=OB - MB = 1$，所以$M(0,1)$，所以直线$l_{1}$的函数表达式为$y=x + 1$.联立方程组$\begin{cases}y=x + 1\\y=-x^{2}-x + 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x_{1}=-1-\sqrt{2}\\y_{1}=-\sqrt{2}\end{cases}\begin{cases}x_{2}=-1+\sqrt{2}\\y_{2}=\sqrt{2}\end{cases}$，所以$P(-1-\sqrt{2},-\sqrt{2})$或$P(-1+\sqrt{2},\sqrt{2})$.若点$P$在直线$AB$上方，设平行于直线$AB$且与直线$AB$距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的直线为$l_{2}$，则同理可得直线$l_{2}$的函数表达式为$y=x + 3$.联立方程组$\begin{cases}y=x + 3\\y=-x^{2}-x + 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-1\\y = 2\end{cases}$，所以$P(-1,2)$.综上所述，存在符合条件的点$P$，且点$P$的坐标为$(-1-\sqrt{2},-\sqrt{2})$或$(-1+\sqrt{2},\sqrt{2})$或$(-1,2)$.