1. (2025·广东·3分)已知二次函数$y = -x^{2}+bx + c$的图像经过点$(c,0)$，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是
(答案不唯一)$y = -x^2 + x + 2$
.(写出一个即可)答案：1.(答案不唯一)$y = -x^2 + x + 2$
2. (3分)若$\frac{a + b}{ab}=\frac{1}{2}$，则将$a$，$b$均扩大为原来的$2$倍后，新的比值为
$\frac{1}{4}$
.答案：2. $\frac{1}{4}$
解析：
将$a$，$b$均扩大为原来的$2$倍后，新的$a$为$2a$，新的$b$为$2b$。
新的比值为$\frac{2a + 2b}{(2a)(2b)}=\frac{2(a + b)}{4ab}=\frac{a + b}{2ab}$。
已知$\frac{a + b}{ab}=\frac{1}{2}$，则$\frac{a + b}{2ab}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。
$\frac{1}{4}$
新的比值为$\frac{2a + 2b}{(2a)(2b)}=\frac{2(a + b)}{4ab}=\frac{a + b}{2ab}$。
已知$\frac{a + b}{ab}=\frac{1}{2}$，则$\frac{a + b}{2ab}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。
$\frac{1}{4}$
3. (3分)将抛物线$y = ax^{2}$向左平移后所得新抛物线顶点的横坐标为$-2$，且新抛物线经过点$(1,3)$，则$a$的值为
$\frac{1}{3}$
.答案：3. $\frac{1}{3}$
解析：
抛物线$y = ax^{2}$的顶点坐标为$(0,0)$，向左平移后顶点横坐标为$-2$，则平移后的抛物线解析式为$y = a(x + 2)^{2}$。
因为新抛物线经过点$(1,3)$，所以将$x = 1$，$y = 3$代入$y = a(x + 2)^{2}$，得$3 = a(1 + 2)^{2}$，即$9a = 3$，解得$a=\frac{1}{3}$。
$\frac{1}{3}$
因为新抛物线经过点$(1,3)$，所以将$x = 1$，$y = 3$代入$y = a(x + 2)^{2}$，得$3 = a(1 + 2)^{2}$，即$9a = 3$，解得$a=\frac{1}{3}$。
$\frac{1}{3}$
4. (3分)若抛物线$y = ax^{2}+4ax + c$与$x$轴的一个交点的坐标是$(1,0)$，则该抛物线与$x$轴的另一个交点的坐标是
$(-5,0)$
.答案：4. $(-5,0)$
解析：
解：抛物线$y = ax^{2}+4ax + c$的对称轴为直线$x=-\frac{4a}{2a}=-2$。
设抛物线与$x$轴的另一个交点坐标为$(x,0)$，因为抛物线与$x$轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点为$(1,0)$，所以$\frac{1 + x}{2}=-2$，解得$x=-5$。
故该抛物线与$x$轴的另一个交点的坐标是$(-5,0)$。
设抛物线与$x$轴的另一个交点坐标为$(x,0)$，因为抛物线与$x$轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点为$(1,0)$，所以$\frac{1 + x}{2}=-2$，解得$x=-5$。
故该抛物线与$x$轴的另一个交点的坐标是$(-5,0)$。
5. (3分)新素养 几何直观 如图，在平面直角坐标系中，已知点$A(2,4)$，$B(3,2)$，以原点$O$为位似中心，作$\triangle OAB$的位似图形$\triangle OA'B'$，并把$\triangle OAB$的边长缩小为原来的$\frac{1}{2}$，则点$A$的对应点$A'$的坐标是
$(1,2)$或$(-1,-2)$
.答案：5. $(1,2)$或$(-1,-2)$
解析：
解：以原点$O$为位似中心，把$\triangle OAB$的边长缩小为原来的$\frac{1}{2}$，点$A(2,4)$的对应点$A'$的坐标为$(2×\frac{1}{2},4×\frac{1}{2})$或$(2×(-\frac{1}{2}),4×(-\frac{1}{2}))$，即$(1,2)$或$(-1,-2)$。
$(1,2)$或$(-1,-2)$
$(1,2)$或$(-1,-2)$
6. (2025·江苏淮安模拟·3分)某网店某种商品的进价为$50$元/件，售价为$60$元/件，每天可销售$100$件，每件售价每上涨$1$元时，日销售量就减少$2$件.当销售单价为
$80$
元/件时，网店销售该商品每天获得的利润最多.答案：6. $80$
解析：
设销售单价上涨$x$元，每天获得的利润为$y$元。
根据题意，得$y=(60+x-50)(100-2x)$，
整理，得$y=-2x^{2}+80x+1000$，
其中$a=-2$，$b=80$，$c=1000$，
因为$a=-2＜0$，所以抛物线开口向下，
当$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{80}{2×(-2)}=20$时，$y$有最大值，
此时销售单价为$60+20=80$元/件。
80
根据题意，得$y=(60+x-50)(100-2x)$，
整理，得$y=-2x^{2}+80x+1000$，
其中$a=-2$，$b=80$，$c=1000$，
因为$a=-2＜0$，所以抛物线开口向下，
当$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{80}{2×(-2)}=20$时，$y$有最大值，
此时销售单价为$60+20=80$元/件。
80
7. (2023·广东·3分)将边长分别为$10$，$6$，$4$的三个正方形按如图所示的方式拼接在一起(底边在同一直线上)，则阴影部分的面积为
$15$
.答案：7. $15$
8. (3分)如图，正方形$OABC$的边长为$\sqrt{2}$，$OC$与$y$轴的正半轴的夹角为$15^{\circ}$，点$B$在抛物线$y = ax^{2}$ $(a ＞ 0)$上，则$a$的值为
$\frac{1}{3}$
.答案：8. $\frac{1}{3}$
9. (3分)如图，在$\triangle ABC$中，$E$，$D$是边$BC$上的三等分点，$F$是$AC$的中点，$BF$分别交$AD$，$AE$于点$G$，$H$，则$BG:GH:HF =$
$5:3:2$
.答案：9. $5:3:2$
解析：
证明：过点$F$作$FM // BC$交$AE$于点$M$，交$AD$于点$N$。
因为$F$是$AC$的中点，$FM // BC$，所以$M$是$AE$的中点，$N$是$AD$的中点，且$FM=\frac{1}{2}EC$，$FN=\frac{1}{2}DC$。
设$BD=DE=EC=x$，则$DC=2x$，$EC=x$，所以$FN=\frac{1}{2}×2x = x$，$FM=\frac{1}{2}x$。
在$\triangle BGD$和$\triangle FGN$中，$FM // BC$，所以$\triangle BGD ∼ \triangle FGN$，则$\frac{BG}{GF}=\frac{BD}{FN}=\frac{x}{x}=1$，即$BG=GF$。
设$HF=y$，$GH=z$，则$BG=GF=z + y$。
在$\triangle BHE$和$\triangle FHM$中，$FM // BC$，所以$\triangle BHE ∼ \triangle FHM$，则$\frac{BH}{HF}=\frac{BE}{FM}$。
因为$BE=2x$，$FM=\frac{1}{2}x$，$BH=BG + GH=z + y + z=2z + y$，所以$\frac{2z + y}{y}=\frac{2x}{\frac{1}{2}x}=4$，即$2z + y=4y$，$2z=3y$，$z=\frac{3}{2}y$。
因为$GF=z + y=\frac{3}{2}y + y=\frac{5}{2}y$，所以$BG=GF=\frac{5}{2}y$。
因此$BG:GH:HF=\frac{5}{2}y:\frac{3}{2}y:y=5:3:2$。
$5:3:2$
因为$F$是$AC$的中点，$FM // BC$，所以$M$是$AE$的中点，$N$是$AD$的中点，且$FM=\frac{1}{2}EC$，$FN=\frac{1}{2}DC$。
设$BD=DE=EC=x$，则$DC=2x$，$EC=x$，所以$FN=\frac{1}{2}×2x = x$，$FM=\frac{1}{2}x$。
在$\triangle BGD$和$\triangle FGN$中，$FM // BC$，所以$\triangle BGD ∼ \triangle FGN$，则$\frac{BG}{GF}=\frac{BD}{FN}=\frac{x}{x}=1$，即$BG=GF$。
设$HF=y$，$GH=z$，则$BG=GF=z + y$。
在$\triangle BHE$和$\triangle FHM$中，$FM // BC$，所以$\triangle BHE ∼ \triangle FHM$，则$\frac{BH}{HF}=\frac{BE}{FM}$。
因为$BE=2x$，$FM=\frac{1}{2}x$，$BH=BG + GH=z + y + z=2z + y$，所以$\frac{2z + y}{y}=\frac{2x}{\frac{1}{2}x}=4$，即$2z + y=4y$，$2z=3y$，$z=\frac{3}{2}y$。
因为$GF=z + y=\frac{3}{2}y + y=\frac{5}{2}y$，所以$BG=GF=\frac{5}{2}y$。
因此$BG:GH:HF=\frac{5}{2}y:\frac{3}{2}y:y=5:3:2$。
$5:3:2$