15. (14分) 新素养 应用意识 工匠师傅准备从如图所示的六边形铁皮 ABCDEF 中裁出一块矩形铁皮制作工件，经测量，AB//DE，AB 与 DE 之间的距离为 2 m，AB=3 m，AF=BC=1 m，∠A=∠B=90°，∠C=∠AFH=135°，MH，HG，GN 是工匠师傅画出的裁剪虚线，则当 MH 的长为多少时，矩形铁皮 MNGH 的面积最大？最大面积为多少？
答案：15.过点F作FK⊥MH于点K，则∠FKH=∠FKM=90°.由题意，得六边形ABCDEF是轴对称图形，且四边形MNGH是矩形，所以由对称性可知AM=BN.设AM=BN=x m(x＞0)，矩形铁皮MNGH的面积为y ㎡.因为∠HMN=90°，所以∠AMH=180°-∠HMN=90°.又∠A=90°，所以四边形AMKF是矩形，所以∠AFK=90°，FK=AM=x m，MK=AF=1 m.因为∠AFH=135°，所以∠KFH=∠AFH-∠AFK=45°，所以∠KHF=∠FKM-∠KFH=45°，所以∠KFH=∠KHF，所以HK=FK=x m，所以MH=HK+MK=(x+1)m.因为AB=3 m，所以MN=AB-AM-BN=(3-2x)m.因为S矩形MNGH=MH·MN，所以y=(x+1)(3-2x)=$-2x^{2}+x+3=-2(x-\frac{1}{4})^{2}+\frac{25}{8}$.因为x+1≤2且3-2x＞0，所以0＜x≤1.因为-2＜0，所以当x=$\frac{1}{4}$时，y取最大值$\frac{25}{8}$，则x+1=$\frac{5}{4}$.故当MH的长为$\frac{5}{4}$m时，矩形铁皮MNGH的面积最大，最大面积为$\frac{25}{8}$㎡.
16. (2025·江苏无锡模拟·15分)如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6 cm，BC=8 cm. 动点 M 从点 B 出发，在边 BA 上以 3 cm/s 的速度向点 A 运动，同时动点 N 从点 C 出发，在边 CB 上以 2 cm/s 的速度向点 B 运动，连接 MN. 设运动的时间为 $t$ s($0 ＜ t ＜ \frac{10}{3}$).
(1) 若△BMN 与△ABC 相似，求 $t$ 的值；
(2) 连接 AN，CM. 若 AN⊥CM，求 $t$ 的值.
(1) 若△BMN 与△ABC 相似，求 $t$ 的值；
(2) 连接 AN，CM. 若 AN⊥CM，求 $t$ 的值.
答案：16.(1)因为∠ACB=90°,AC=6 cm,BC=8 cm，所以BA=$\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$=10 cm.由题意，得BM=3t cm,CN=2t cm，所以BN=BC-CN=(8-2t)cm.因为∠MBN=∠ABC，所以若△BMN与△ABC相似，则分类讨论如下:①当△BMN∽△BAC时，$\frac{BM}{BA}=\frac{BN}{BC}$，即$\frac{3t}{10}=\frac{8-2t}{8}$，解得t=$\frac{20}{11}$;②当△BMN∽△BCA时，$\frac{BM}{BC}=\frac{BN}{BA}$，即$\frac{3t}{8}=\frac{8-2t}{10}$，解得t=$\frac{32}{23}$.综上所述，当△BMN与△ABC相似时，t的值为$\frac{20}{11}$或$\frac{32}{23}$.
(2)过点M作MD⊥BC于点D，则∠MDB=∠MDC=90°.因为∠ACB=90°，所以∠MDB=∠ACB，所以MD//AC，所以△MDB∽△ACB，所以$\frac{BM}{BA}=\frac{BD}{BC}=\frac{MD}{AC}$.因为BM=3t cm，AC=6 cm,BC=8 cm,BA=10 cm，所以$\frac{3t}{10}=\frac{BD}{8}=\frac{MD}{6}$，所以BD=$\frac{12}{5}t$cm,MD=$\frac{9}{5}t$cm，所以CD=BC-BD=$(8-\frac{12}{5}t)$cm.因为AN⊥CM，所以∠CAN+∠ACM=90°.因为∠DCM+∠ACM=90°，所以∠CAN=∠DCM.又∠NCA=∠MDC，所以△CAN∽△DCM，所以$\frac{AC}{CD}=\frac{CN}{MD}$，即$\frac{6}{8-\frac{12}{5}t}=\frac{2t}{\frac{9}{5}t}$，解得t=$\frac{13}{12}$.经检验，t=$\frac{13}{12}$是原分式方程的解且符合题意.故t的值为$\frac{13}{12}$.
(2)过点M作MD⊥BC于点D，则∠MDB=∠MDC=90°.因为∠ACB=90°，所以∠MDB=∠ACB，所以MD//AC，所以△MDB∽△ACB，所以$\frac{BM}{BA}=\frac{BD}{BC}=\frac{MD}{AC}$.因为BM=3t cm，AC=6 cm,BC=8 cm,BA=10 cm，所以$\frac{3t}{10}=\frac{BD}{8}=\frac{MD}{6}$，所以BD=$\frac{12}{5}t$cm,MD=$\frac{9}{5}t$cm，所以CD=BC-BD=$(8-\frac{12}{5}t)$cm.因为AN⊥CM，所以∠CAN+∠ACM=90°.因为∠DCM+∠ACM=90°，所以∠CAN=∠DCM.又∠NCA=∠MDC，所以△CAN∽△DCM，所以$\frac{AC}{CD}=\frac{CN}{MD}$，即$\frac{6}{8-\frac{12}{5}t}=\frac{2t}{\frac{9}{5}t}$，解得t=$\frac{13}{12}$.经检验，t=$\frac{13}{12}$是原分式方程的解且符合题意.故t的值为$\frac{13}{12}$.
17. (15分)如图，抛物线 $y = \frac{3}{8}x^2 + bx + c$ 经过 A(0，-2)，B(8，-2)两点，C 为抛物线的对称轴与 $x$ 轴的交点，连接 AC，AB. 点 E 在 AB 下方的抛物线上，过点 E 作 EF⊥AB 于点 F，连接 AE. 是否存在点 E，使得△AEF 与△AOC 相似？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由.
答案：17.把点A(0,-2),B(8,-2)分别代入y=$\frac{3}{8}x^{2}+bx+c$，得$\begin{cases} \begin{array}{l} c=-2, \\ \frac{3}{8}×8^{2}+8b+c=-2 \end{array} \end{cases}$解得$\begin{cases} \begin{array}{l} b=-3, \\ c=-2 \end{array} \end{cases}$所以y=$\frac{3}{8}x^{2}-3x-2=\frac{3}{8}(x-4)^{2}-8$，所以C(4,0)，所以CO=4.因为A(0,-2)，所以AO=2.因为EF⊥AB，所以∠AFE=∠AOC=90°.设E(m，$\frac{3}{8}m^{2}-3m-2$)(0＜m＜8)，则F(m,-2)，所以EF=$-\frac{3}{8}m^{2}+3m$,AF=m.若△AEF与△AOC相似，则分类讨论如下:①当△AFE∽△AOC时，$\frac{AF}{AO}=\frac{EF}{CO}$，所以$\frac{m}{2}=\frac{-\frac{3}{8}m^{2}+3m}{4}$，解得$m_{1}=\frac{8}{3}$，$m_{2}=0$(不合题意，舍去)，所以E($\frac{8}{3},-\frac{22}{3}$);②当△EFA∽△AOC时，$\frac{EF}{AO}=\frac{AF}{CO}$，所以$\frac{-\frac{3}{8}m^{2}+3m}{2}=\frac{m}{4}$，解得$m_{3}=\frac{20}{3}$，$m_{4}=0$(不合题意，舍去)，所以E($\frac{20}{3},-\frac{16}{3}$).综上所述，存在点E，使得△AEF与△AOC相似，点E的坐标为($\frac{8}{3},-\frac{22}{3}$)或($\frac{20}{3},-\frac{16}{3}$).
解析：
解：把点$A(0,-2)$，$B(8,-2)$分别代入$y = \frac{3}{8}x^2 + bx + c$，得$\begin{cases} c=-2 \\ \frac{3}{8}×8^2 + 8b + c=-2 \end{cases}$，解得$\begin{cases} b=-3 \\ c=-2 \end{cases}$，所以抛物线解析式为$y = \frac{3}{8}x^2 - 3x - 2 = \frac{3}{8}(x - 4)^2 - 8$，则抛物线对称轴为直线$x = 4$，所以$C(4,0)$，$CO = 4$，$AO = 2$。
因为$EF⊥ AB$，$A(0,-2)$，$B(8,-2)$，所以$AB// x$轴，设$E(m,\frac{3}{8}m^2 - 3m - 2)(0 ＜ m ＜ 8)$，则$F(m,-2)$，$EF=-(\frac{3}{8}m^2 - 3m - 2) + 2=-\frac{3}{8}m^2 + 3m$，$AF = m$，$\angle AFE = \angle AOC = 90°$。
①当$\triangle AFE∼\triangle AOC$时，$\frac{AF}{AO}=\frac{EF}{CO}$，即$\frac{m}{2}=\frac{-\frac{3}{8}m^2 + 3m}{4}$，解得$m_1 = \frac{8}{3}$，$m_2 = 0$（舍去），此时$E(\frac{8}{3},-\frac{22}{3})$；
②当$\triangle EFA∼\triangle AOC$时，$\frac{EF}{AO}=\frac{AF}{CO}$，即$\frac{-\frac{3}{8}m^2 + 3m}{2}=\frac{m}{4}$，解得$m_3 = \frac{20}{3}$，$m_4 = 0$（舍去），此时$E(\frac{20}{3},-\frac{16}{3})$。
综上，存在点$E$，坐标为$(\frac{8}{3},-\frac{22}{3})$或$(\frac{20}{3},-\frac{16}{3})$。
因为$EF⊥ AB$，$A(0,-2)$，$B(8,-2)$，所以$AB// x$轴，设$E(m,\frac{3}{8}m^2 - 3m - 2)(0 ＜ m ＜ 8)$，则$F(m,-2)$，$EF=-(\frac{3}{8}m^2 - 3m - 2) + 2=-\frac{3}{8}m^2 + 3m$，$AF = m$，$\angle AFE = \angle AOC = 90°$。
①当$\triangle AFE∼\triangle AOC$时，$\frac{AF}{AO}=\frac{EF}{CO}$，即$\frac{m}{2}=\frac{-\frac{3}{8}m^2 + 3m}{4}$，解得$m_1 = \frac{8}{3}$，$m_2 = 0$（舍去），此时$E(\frac{8}{3},-\frac{22}{3})$；
②当$\triangle EFA∼\triangle AOC$时，$\frac{EF}{AO}=\frac{AF}{CO}$，即$\frac{-\frac{3}{8}m^2 + 3m}{2}=\frac{m}{4}$，解得$m_3 = \frac{20}{3}$，$m_4 = 0$（舍去），此时$E(\frac{20}{3},-\frac{16}{3})$。
综上，存在点$E$，坐标为$(\frac{8}{3},-\frac{22}{3})$或$(\frac{20}{3},-\frac{16}{3})$。