1. (3分)新素养几何直观在同一平面直角坐标系中，一次函数 $ y = mx + n $ 与二次函数 $ y = nx^{2} + m $ 的大致图像可能是(
D
)答案：1.D
解析：
解：
对于二次函数 $y = nx^2 + m$：
若 $n ＞ 0$，抛物线开口向上，排除 D；
若 $n ＜ 0$，抛物线开口向下，排除 A、C。
当 $n ＜ 0$ 时，二次函数顶点为 $(0, m)$，由 B 图知抛物线顶点在 y 轴负半轴，故 $m ＜ 0$。
一次函数 $y = mx + n$，$m ＜ 0$、$n ＜ 0$ 时，图像过二、三、四象限，与 B 图一致。
D
对于二次函数 $y = nx^2 + m$：
若 $n ＞ 0$，抛物线开口向上，排除 D；
若 $n ＜ 0$，抛物线开口向下，排除 A、C。
当 $n ＜ 0$ 时，二次函数顶点为 $(0, m)$，由 B 图知抛物线顶点在 y 轴负半轴，故 $m ＜ 0$。
一次函数 $y = mx + n$，$m ＜ 0$、$n ＜ 0$ 时，图像过二、三、四象限，与 B 图一致。
D
2. (4分)已知二次函数 $ y = (k + 2)x^{2} + (k + 3) $.
(1) 若该二次函数的图像有最高点，则 $ k $ 的取值范围是
(2) 若该二次函数的图像与 $ y $ 轴交于正半轴，则 $ k $ 的取值范围是
(1) 若该二次函数的图像有最高点，则 $ k $ 的取值范围是
$k ＜ -2$
；(2) 若该二次函数的图像与 $ y $ 轴交于正半轴，则 $ k $ 的取值范围是
$k ＞ -3$ 且 $k \neq -2$
.答案：2.(1) $k ＜ -2$ (2) $k ＞ -3$ 且 $k \neq -2$
解析：
(1) $ k ＜ -2 $
(2) $ k ＞ -3 $ 且 $ k \neq -2 $
(2) $ k ＞ -3 $ 且 $ k \neq -2 $
3. (3分)上分点一如图，抛物线 $ y = ax^{2} - 3 $ 和 $ y = -ax^{2} + 3 $ 都经过 $ x $ 轴上的 $ A $，$ B $ 两点，两条抛物线的顶点分别为 $ C $，$ D $.当四边形 $ ACBD $ 的面积为 24 时，$ a $ 的值为
$\frac {3}{16}$
.答案：3.$\frac {3}{16}$
解析：
解：对于抛物线$y = ax^2 - 3$，令$y = 0$，则$ax^2 - 3 = 0$，解得$x = \pm \sqrt{\frac{3}{a}}$，故$A(-\sqrt{\frac{3}{a}}, 0)$，$B(\sqrt{\frac{3}{a}}, 0)$，$AB = 2\sqrt{\frac{3}{a}}$。
抛物线$y = ax^2 - 3$的顶点$C(0, -3)$，抛物线$y = -ax^2 + 3$的顶点$D(0, 3)$，则$CD = 3 - (-3) = 6$。
四边形$ACBD$的面积为$\frac{1}{2} × AB × CD = \frac{1}{2} × 2\sqrt{\frac{3}{a}} × 6 = 6\sqrt{\frac{3}{a}}$。
由题意$6\sqrt{\frac{3}{a}} = 24$，解得$\sqrt{\frac{3}{a}} = 4$，$\frac{3}{a} = 16$，$a = \frac{3}{16}$。
$\frac{3}{16}$
抛物线$y = ax^2 - 3$的顶点$C(0, -3)$，抛物线$y = -ax^2 + 3$的顶点$D(0, 3)$，则$CD = 3 - (-3) = 6$。
四边形$ACBD$的面积为$\frac{1}{2} × AB × CD = \frac{1}{2} × 2\sqrt{\frac{3}{a}} × 6 = 6\sqrt{\frac{3}{a}}$。
由题意$6\sqrt{\frac{3}{a}} = 24$，解得$\sqrt{\frac{3}{a}} = 4$，$\frac{3}{a} = 16$，$a = \frac{3}{16}$。
$\frac{3}{16}$
4. (3分)如图，已知抛物线 $ y = -\frac{4}{5}x^{2} + 1 $ 与抛物线 $ y = kx^{2} - 2 $ 的交点在 $ x $ 轴上，现将抛物线 $ y = -\frac{4}{5}x^{2} + 1 $ 向下平移 $ \frac{1}{5} $ 个单位长度，抛物线 $ y = kx^{2} - 2 $ 向上平移
$\frac {2}{5}$
个单位长度，平移后两条抛物线的交点还在 $ x $ 轴上.答案：$4.\frac {2}{5} $解析: 把 y = 0 代入$ y = - \frac {4}{5}x^2 + 1, $得 0 =
$- \frac {4}{5}x^2 + 1, $解得$ x_1 = \frac {\sqrt {5}}{2}, x_2 = - \frac {\sqrt {5}}{2}, $所以两抛物线交点坐标分别为$ (\frac {\sqrt {5}}{2}, 0), (- \frac {\sqrt {5}}{2}, 0). $把$ (\frac {\sqrt {5}}{2},$
0) 代入$ y = kx^2 - 2, $得$ 0 = \frac {5}{4}k - 2, $解得$ k = \frac {8}{5}, $所以$ y = \frac {8}{5}x^2 - 2. $抛物线$ y = - \frac {4}{5}x^2 + 1 $向下平移$ \frac {1}{5} $个单位长度后对应的函数表达式为$ y = - \frac {4}{5}x^2 + \frac {4}{5}. $令 y = 0, 得$ 0 = - \frac {4}{5}x^2 + \frac {4}{5}, $解得$ x = \pm 1, $所以抛物线$ y = - \frac {4}{5}x^2 + \frac {4}{5} $与 x 轴的交点坐标分别为 (1, 0), (-1, 0). 把 x = 1 代入$ y = \frac {8}{5}x^2 - 2, $得$ y = - \frac {2}{5}, $所以抛物线$ y = \frac {8}{5}x^2 - 2 $经过点$ (1, - \frac {2}{5}), $所以将抛物线$ y = \frac {8}{5}x^2 - 2 $向上平移$ \frac {2}{5} $个单位长度, 平移后两条抛物线的交点还在 x 轴上.
$- \frac {4}{5}x^2 + 1, $解得$ x_1 = \frac {\sqrt {5}}{2}, x_2 = - \frac {\sqrt {5}}{2}, $所以两抛物线交点坐标分别为$ (\frac {\sqrt {5}}{2}, 0), (- \frac {\sqrt {5}}{2}, 0). $把$ (\frac {\sqrt {5}}{2},$
0) 代入$ y = kx^2 - 2, $得$ 0 = \frac {5}{4}k - 2, $解得$ k = \frac {8}{5}, $所以$ y = \frac {8}{5}x^2 - 2. $抛物线$ y = - \frac {4}{5}x^2 + 1 $向下平移$ \frac {1}{5} $个单位长度后对应的函数表达式为$ y = - \frac {4}{5}x^2 + \frac {4}{5}. $令 y = 0, 得$ 0 = - \frac {4}{5}x^2 + \frac {4}{5}, $解得$ x = \pm 1, $所以抛物线$ y = - \frac {4}{5}x^2 + \frac {4}{5} $与 x 轴的交点坐标分别为 (1, 0), (-1, 0). 把 x = 1 代入$ y = \frac {8}{5}x^2 - 2, $得$ y = - \frac {2}{5}, $所以抛物线$ y = \frac {8}{5}x^2 - 2 $经过点$ (1, - \frac {2}{5}), $所以将抛物线$ y = \frac {8}{5}x^2 - 2 $向上平移$ \frac {2}{5} $个单位长度, 平移后两条抛物线的交点还在 x 轴上.
5. (3分)抛物线 $ y = \frac{1}{2}(x + 2)^{2} $ 与抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} + 2 $ 的相同点是(
A.开口方向相同
B.对称轴相同
C.形状、大小都相同
D.顶点都在 $ x $ 轴上
C
)A.开口方向相同
B.对称轴相同
C.形状、大小都相同
D.顶点都在 $ x $ 轴上
答案：5.C
解析：
抛物线$y = \frac{1}{2}(x + 2)^{2}$的二次项系数为$\frac{1}{2}$，开口向上，对称轴为直线$x=-2$，顶点坐标为$(-2,0)$；抛物线$y = -\frac{1}{2}x^{2} + 2$的二次项系数为$-\frac{1}{2}$，开口向下，对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,2)$。两抛物线二次项系数的绝对值均为$\frac{1}{2}$，故形状、大小都相同。答案选C。
6. (2025·江苏无锡模拟·3分)上分点二已知 $ P(x,y) $ 是二次函数 $ y = 2(x + 1)^{2} $ 图像上的一点，则当 $ -2 ＜ x \leq 1 $ 时，$ y $ 的取值范围为
$0 \leq y \leq 8$
.答案：6.$0 \leq y \leq 8$
7. (3分)已知二次函数 $ y = a(x - h)^{2} $，当 $ x = 2 $ 时，$ y $ 取最大值，且其图像经过点 $ (1,-3) $，则该函数的表达式为
$y = -3(x - 2)^2$
.答案：7.$y = -3(x - 2)^2$
解析：
解：因为二次函数$y = a(x - h)^2$当$x = 2$时，$y$取最大值，所以抛物线开口向下，$a ＜ 0$，顶点坐标为$(2,0)$，即$h = 2$，函数表达式为$y = a(x - 2)^2$。
又因为图像经过点$(1,-3)$，将$x = 1$，$y = -3$代入$y = a(x - 2)^2$，得$-3 = a(1 - 2)^2$，即$-3 = a×(-1)^2$，$-3 = a×1$，解得$a = -3$。
所以该函数的表达式为$y = -3(x - 2)^2$。
又因为图像经过点$(1,-3)$，将$x = 1$，$y = -3$代入$y = a(x - 2)^2$，得$-3 = a(1 - 2)^2$，即$-3 = a×(-1)^2$，$-3 = a×1$，解得$a = -3$。
所以该函数的表达式为$y = -3(x - 2)^2$。