典例1 新素养 应用意识 小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高. 如图, 在某一时刻, 他们在阳光下分别测得该建筑物 $ OB $ 的影长 $ OC $ 为 $ 16 $ m, $ OA $ 的影长 $ OD $ 为 $ 20 $ m, 小明的影长 $ FG $ 为 $ 2.4 $ m, 其中 $ O,C,D,F,G $ 五点在同一条直线上, $ A,B,O $ 三点在同一条直线上, 且 $ OA ⊥ OD $, $ EF ⊥ FG $. 若小明的身高 $ EF $ 为 $ 1.8 $ m, 求旗杆 $ AB $ 的高.
答案：【思路分析】在阳光下, 同一时刻, 物高与影长成正比. 已知小明的身高与影长, 则由 $ OA,OB $ 的影长可求 $ OA,OB $ 的高, 根据旗杆 $ AB $ 的高 $ = OA - OB $ 可求得答案.
【答案】由题意, 得 $\frac{OA}{OD} = \frac{OB}{OC} = \frac{EF}{FG}$. 设 $ OA = x $ m, $ OB = y $ m. 因为 $ OC = 16 $ m, $ OD = 20 $ m, $ FG = 2.4 $ m, $ EF = 1.8 $ m, 所以 $\frac{x}{20} = \frac{y}{16} = \frac{1.8}{2.4}$, 解得 $ x = 15 $, $ y = 12 $, 所以 $ OA = 15 $ m, $ OB = 12 $ m, 所以 $ AB = OA - OB = 3 $ m. 故旗杆 $ AB $ 的高为 $ 3 $ m.
【答案】由题意, 得 $\frac{OA}{OD} = \frac{OB}{OC} = \frac{EF}{FG}$. 设 $ OA = x $ m, $ OB = y $ m. 因为 $ OC = 16 $ m, $ OD = 20 $ m, $ FG = 2.4 $ m, $ EF = 1.8 $ m, 所以 $\frac{x}{20} = \frac{y}{16} = \frac{1.8}{2.4}$, 解得 $ x = 15 $, $ y = 12 $, 所以 $ OA = 15 $ m, $ OB = 12 $ m, 所以 $ AB = OA - OB = 3 $ m. 故旗杆 $ AB $ 的高为 $ 3 $ m.
【变式1】(2025·江苏南京模拟) 在同一时刻两根竹竿在太阳光下的影子如图所示, 其中竹竿 $ AB = 2 $ m, 它的影子 $ BC = 1.6 $ m, 竹竿 $ PQ $ 落在地面上的影子 $ PM = 1.8 $ m, 落在墙上的影子 $ MN = 1.1 $ m, 求竹竿 $ PQ $ 的高.
答案：过点N作ND⊥PQ于点D，则∠PDN = 90°。因为MN⊥PM，PQ⊥PM，所以∠MPQ = ∠PMN = 90°，所以四边形PMND为矩形，所以DP = MN = 1.1 m，DN = PM = 1.8 m。由题意，得$\frac{DQ}{DN} = \frac{AB}{BC}$。因为AB = 2 m，BC = 1.6 m，所以DQ = 2.25 m，所以PQ = DP + DQ = 3.35 m。故竹竿PQ的高为3.35 m。
解析：
过点$N$作$ND ⊥ PQ$于点$D$，则$\angle PDN = 90°$。
因为$MN ⊥ PM$，$PQ ⊥ PM$，所以$\angle MPQ = \angle PMN = 90°$，
所以四边形$PMND$为矩形，因此$DP = MN = 1.1\ \mathrm{m}$，$DN = PM = 1.8\ \mathrm{m}$。
由题意，得$\frac{DQ}{DN} = \frac{AB}{BC}$。
因为$AB = 2\ \mathrm{m}$，$BC = 1.6\ \mathrm{m}$，所以$\frac{DQ}{1.8} = \frac{2}{1.6}$，解得$DQ = 2.25\ \mathrm{m}$。
所以$PQ = DP + DQ = 1.1 + 2.25 = 3.35\ \mathrm{m}$。
故竹竿$PQ$的高为$3.35\ \mathrm{m}$。
因为$MN ⊥ PM$，$PQ ⊥ PM$，所以$\angle MPQ = \angle PMN = 90°$，
所以四边形$PMND$为矩形，因此$DP = MN = 1.1\ \mathrm{m}$，$DN = PM = 1.8\ \mathrm{m}$。
由题意，得$\frac{DQ}{DN} = \frac{AB}{BC}$。
因为$AB = 2\ \mathrm{m}$，$BC = 1.6\ \mathrm{m}$，所以$\frac{DQ}{1.8} = \frac{2}{1.6}$，解得$DQ = 2.25\ \mathrm{m}$。
所以$PQ = DP + DQ = 1.1 + 2.25 = 3.35\ \mathrm{m}$。
故竹竿$PQ$的高为$3.35\ \mathrm{m}$。