典例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=√{5}，D是AC上一点，连接BD。若tan A=1/2，tan∠ABD=1/3，则CD的长为 (
A.2√{5}
B.3
C.√{5}
D.2
C
)A.2√{5}
B.3
C.√{5}
D.2
答案：思路分析 过点D作DE⊥AB于点E，则∠AED=∠BED=90°，所以tan A=DE/AE=1/2，tan∠ABD=DE/BE=1/3。设DE=k，则AE=2k，BE=3k，所以AB=AE+BE=5k。因为∠C=90°，所以tan A=BC/AC=1/2。因为BC=√{5}，所以AC=2BC=2√{5}，所以AB=√{AC²+BC²}=5，所以5k=5，解得k=1，所以DE=1，AE=2，所以AD=√{AE²+DE²}=√{5}，所以CD=AC−AD=√{5}。
答案 C
答案 C
变式1 新素养 几何直观 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=6√{2}，D是边AC上一点。若tan∠DBA=1/5，则CD的长为 (
A.2
B.2√{2}
C.4√{2}
D.2√{3}
C
)A.2
B.2√{2}
C.4√{2}
D.2√{3}
答案：C
解析：
解：在等腰直角三角形$ABC$中，$\angle C = 90°$，$BC = 6\sqrt{2}$，则$AC = BC = 6\sqrt{2}$，$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{(6\sqrt{2})^2+(6\sqrt{2})^2}=12$。
过点$D$作$DE ⊥ AB$于点$E$，设$DE = x$。
因为$\tan\angle DBA=\frac{DE}{BE}=\frac{1}{5}$，所以$BE = 5x$。
$\angle A = 45°$，$\triangle ADE$是等腰直角三角形，$AE = DE = x$。
$AE + BE = AB$，即$x + 5x=12$，解得$x = 2$。
$AD=\sqrt{AE^2 + DE^2}=\sqrt{2^2 + 2^2}=2\sqrt{2}$。
$CD = AC - AD=6\sqrt{2}-2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。
答案：$4\sqrt{2}$
过点$D$作$DE ⊥ AB$于点$E$，设$DE = x$。
因为$\tan\angle DBA=\frac{DE}{BE}=\frac{1}{5}$，所以$BE = 5x$。
$\angle A = 45°$，$\triangle ADE$是等腰直角三角形，$AE = DE = x$。
$AE + BE = AB$，即$x + 5x=12$，解得$x = 2$。
$AD=\sqrt{AE^2 + DE^2}=\sqrt{2^2 + 2^2}=2\sqrt{2}$。
$CD = AC - AD=6\sqrt{2}-2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。
答案：$4\sqrt{2}$
典例2 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。若大正方形的面积是100，小正方形的面积是20，则sin θcos θ的值是 (
A.1/5
B.2/5
C.√{5}/5
D.2√{5}/5
B
)A.1/5
B.2/5
C.√{5}/5
D.2√{5}/5
答案：思路分析 设直角三角形的三边长分别为a，b，c(a ＜ b ＜ c)，则(b−a)²=20，c²=a²+b²=100，所以100−2ab=20，所以ab=40，所以sin θcos θ=a/c·b/c=ab/c²=2/5。
答案 B
答案 B