典例1 新素养 几何直观
如图，在$\triangle ABC$中，$AD$是高，$AE$是中线，$\angle C = 45^{\circ}$，$\sin B = \frac{1}{3}$，$AD = 1$。
(1) 求$BC$的长；
(2) 求$\tan\angle DAE$的值。
如图，在$\triangle ABC$中，$AD$是高，$AE$是中线，$\angle C = 45^{\circ}$，$\sin B = \frac{1}{3}$，$AD = 1$。
(1) 求$BC$的长；
(2) 求$\tan\angle DAE$的值。
答案：【思路分析】(1) 求出$BD$，$CD$的长即可；(2) 求出$DE$，$AD$的长即可。
【答案】(1) 因为$AD$是边$BC$上的高，所以$AD⊥ BC$，所以$\angle ADB = \angle ADC = 90^{\circ}$。因为$\angle C = 45^{\circ}$，所以$\tan C = \frac{AD}{CD} = 1$，所以$CD = AD = 1$。因为$\sin B = \frac{AD}{AB} = \frac{1}{3}$，所以$AB = 3AD = 3$，所以$BD = \sqrt{AB^{2} - AD^{2}} = 2\sqrt{2}$，所以$BC = BD + CD = 2\sqrt{2} + 1$。
(2) 因为$AE$是$\triangle ABC$的中线，$BC = 2\sqrt{2} + 1$，所以$CE = \frac{1}{2}BC = \sqrt{2} + \frac{1}{2}$。因为$CD = 1$，所以$DE = CE - CD = \sqrt{2} - \frac{1}{2}$，所以$\tan\angle DAE = \frac{DE}{AD} = \sqrt{2} - \frac{1}{2}$。
【答案】(1) 因为$AD$是边$BC$上的高，所以$AD⊥ BC$，所以$\angle ADB = \angle ADC = 90^{\circ}$。因为$\angle C = 45^{\circ}$，所以$\tan C = \frac{AD}{CD} = 1$，所以$CD = AD = 1$。因为$\sin B = \frac{AD}{AB} = \frac{1}{3}$，所以$AB = 3AD = 3$，所以$BD = \sqrt{AB^{2} - AD^{2}} = 2\sqrt{2}$，所以$BC = BD + CD = 2\sqrt{2} + 1$。
(2) 因为$AE$是$\triangle ABC$的中线，$BC = 2\sqrt{2} + 1$，所以$CE = \frac{1}{2}BC = \sqrt{2} + \frac{1}{2}$。因为$CD = 1$，所以$DE = CE - CD = \sqrt{2} - \frac{1}{2}$，所以$\tan\angle DAE = \frac{DE}{AD} = \sqrt{2} - \frac{1}{2}$。
【变式1】(2025·江苏镇江模拟)
如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\sin\angle ABC = \frac{3}{5}$，点$D$在边$BC$上，$BD = 4$，连接$AD$。若$\tan\angle DAC = \frac{2}{3}$，则$AC$的长为
如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\sin\angle ABC = \frac{3}{5}$，点$D$在边$BC$上，$BD = 4$，连接$AD$。若$\tan\angle DAC = \frac{2}{3}$，则$AC$的长为
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。答案：【变式1】6
解析：
解：设$AC = 3x$，$BC = 4x$，$CD = y$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\sin\angle ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$，设$AC = 3x$，则$AB = 5x$，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=4x$。
在$Rt\triangle ACD$中，$\tan\angle DAC=\frac{CD}{AC}=\frac{y}{3x}=\frac{2}{3}$，解得$y = 2x$。
因为$BC=CD + BD$，$BD = 4$，所以$4x=2x + 4$，解得$x = 2$。
则$AC=3x=6$。
6
在$Rt\triangle ABC$中，$\sin\angle ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$，设$AC = 3x$，则$AB = 5x$，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=4x$。
在$Rt\triangle ACD$中，$\tan\angle DAC=\frac{CD}{AC}=\frac{y}{3x}=\frac{2}{3}$，解得$y = 2x$。
因为$BC=CD + BD$，$BD = 4$，所以$4x=2x + 4$，解得$x = 2$。
则$AC=3x=6$。
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典例2
在$\triangle ABC$中，若$AB = 3\sqrt{6}$，$AC = 6$，$\angle B = 45^{\circ}$，则$BC =$。
在$\triangle ABC$中，若$AB = 3\sqrt{6}$，$AC = 6$，$\angle B = 45^{\circ}$，则$BC =$。
答案：
【思路分析】过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，则$\angle ADB = \angle ADC = 90^{\circ}$。因为$AB = 3\sqrt{6}$，$AC = 6$，$\angle B = 45^{\circ}$，所以分类讨论如下：① 如图①，当$AD$在$\triangle ABC$内部时，$BD = AB·\cos B = 3\sqrt{3}$，$AD = AB·\sin B = 3\sqrt{3}$，所以$CD = \sqrt{AC^{2} - AD^{2}} = 3$，所以$BC = BD + CD = 3\sqrt{3} + 3$；② 如图②，当$AD$在$\triangle ABC$外部时，$BC = BD - CD = 3\sqrt{3} - 3$。综上所述，$BC$的长为$3\sqrt{3} \pm 3$。
【思路分析】过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，则$\angle ADB = \angle ADC = 90^{\circ}$。因为$AB = 3\sqrt{6}$，$AC = 6$，$\angle B = 45^{\circ}$，所以分类讨论如下：① 如图①，当$AD$在$\triangle ABC$内部时，$BD = AB·\cos B = 3\sqrt{3}$，$AD = AB·\sin B = 3\sqrt{3}$，所以$CD = \sqrt{AC^{2} - AD^{2}} = 3$，所以$BC = BD + CD = 3\sqrt{3} + 3$；② 如图②，当$AD$在$\triangle ABC$外部时，$BC = BD - CD = 3\sqrt{3} - 3$。综上所述，$BC$的长为$3\sqrt{3} \pm 3$。