1. (2025·新疆二模)如图所示,有两个质地均匀的实心正方体物体A、B叠放在水平桌面上,甲图中A对B的压强等于B对桌面的压强;乙图中B对A的压强与A对桌面的压强之比为3:4;则A、B两实心物体的密度之比为(A与B的重心均在同一竖直线上)(
A.2:1
B.3:1
C.4:3
D.8:3
D
)A.2:1
B.3:1
C.4:3
D.8:3
答案：1. D
解析：
设正方体A的边长为$a$，密度为$\rho_A$；正方体B的边长为$b$，密度为$\rho_B$。
甲图分析：
A对B的压力：$F_{A→B}=G_A=\rho_A a^3 g$，受力面积$S_{A→B}=a^2$，压强$p_1=\frac{\rho_A a^3 g}{a^2}=\rho_A a g$。
B对桌面的压力：$F_{B→桌}=G_A+G_B=\rho_A a^3 g+\rho_B b^3 g$，受力面积$S_{B→桌}=b^2$，压强$p_2=\frac{(\rho_A a^3+\rho_B b^3)g}{b^2}$。
由$p_1=p_2$得：$\rho_A a g=\frac{(\rho_A a^3+\rho_B b^3)g}{b^2}$，化简为$\rho_A a b^2=\rho_A a^3+\rho_B b^3$ ①。
乙图分析：
B对A的压力：$F_{B→A}=G_B=\rho_B b^3 g$，受力面积$S_{B→A}=a^2$，压强$p_3=\frac{\rho_B b^3 g}{a^2}$。
A对桌面的压力：$F_{A→桌}=G_A+G_B=\rho_A a^3 g+\rho_B b^3 g$，受力面积$S_{A→桌}=a^2$，压强$p_4=\frac{(\rho_A a^3+\rho_B b^3)g}{a^2}$。
由$\frac{p_3}{p_4}=\frac{3}{4}$得：$\frac{\rho_B b^3}{\rho_A a^3+\rho_B b^3}=\frac{3}{4}$，化简为$4\rho_B b^3=3\rho_A a^3+3\rho_B b^3$，即$\rho_B b^3=3\rho_A a^3$ ②。
联立求解：
将②代入①：$\rho_A a b^2=\rho_A a^3+3\rho_A a^3=4\rho_A a^3$，消去$\rho_A a$得$b^2=4a^2$，则$b=2a$。
由②：$\rho_B (2a)^3=3\rho_A a^3\Rightarrow 8\rho_B a^3=3\rho_A a^3\Rightarrow \frac{\rho_A}{\rho_B}=\frac{8}{3}$。
答案：D
甲图分析：
A对B的压力：$F_{A→B}=G_A=\rho_A a^3 g$，受力面积$S_{A→B}=a^2$，压强$p_1=\frac{\rho_A a^3 g}{a^2}=\rho_A a g$。
B对桌面的压力：$F_{B→桌}=G_A+G_B=\rho_A a^3 g+\rho_B b^3 g$，受力面积$S_{B→桌}=b^2$，压强$p_2=\frac{(\rho_A a^3+\rho_B b^3)g}{b^2}$。
由$p_1=p_2$得：$\rho_A a g=\frac{(\rho_A a^3+\rho_B b^3)g}{b^2}$，化简为$\rho_A a b^2=\rho_A a^3+\rho_B b^3$ ①。
乙图分析：
B对A的压力：$F_{B→A}=G_B=\rho_B b^3 g$，受力面积$S_{B→A}=a^2$，压强$p_3=\frac{\rho_B b^3 g}{a^2}$。
A对桌面的压力：$F_{A→桌}=G_A+G_B=\rho_A a^3 g+\rho_B b^3 g$，受力面积$S_{A→桌}=a^2$，压强$p_4=\frac{(\rho_A a^3+\rho_B b^3)g}{a^2}$。
由$\frac{p_3}{p_4}=\frac{3}{4}$得：$\frac{\rho_B b^3}{\rho_A a^3+\rho_B b^3}=\frac{3}{4}$，化简为$4\rho_B b^3=3\rho_A a^3+3\rho_B b^3$，即$\rho_B b^3=3\rho_A a^3$ ②。
联立求解：
将②代入①：$\rho_A a b^2=\rho_A a^3+3\rho_A a^3=4\rho_A a^3$，消去$\rho_A a$得$b^2=4a^2$，则$b=2a$。
由②：$\rho_B (2a)^3=3\rho_A a^3\Rightarrow 8\rho_B a^3=3\rho_A a^3\Rightarrow \frac{\rho_A}{\rho_B}=\frac{8}{3}$。
答案：D
2. (2025·江苏无锡月考)如图所示,实心均匀正方体甲、乙放在水平面上,它们对水平面的压强相等.现分别沿竖直或水平方向切割相等厚度后,甲、乙剩余部分对水平面的压力变化量、压强变化量分别为ΔF'₍甲₎、ΔF'₍乙₎、Δp'₍甲₎、Δp'₍乙₎.下列大小关系中,正确的有 (
若沿竖直方向切割,则①ΔF'₍甲₎＜ΔF'₍乙₎,②Δp'₍甲₎＞Δp'₍乙₎;
若沿水平方向切割,则③ΔF'₍甲₎＞ΔF'₍乙₎,④Δp'₍甲₎＜Δp'₍乙₎
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)若沿竖直方向切割,则①ΔF'₍甲₎＜ΔF'₍乙₎,②Δp'₍甲₎＞Δp'₍乙₎;
若沿水平方向切割,则③ΔF'₍甲₎＞ΔF'₍乙₎,④Δp'₍甲₎＜Δp'₍乙₎
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：2. B 解析：沿竖直或水平方向切割相等厚度后，甲、乙剩余部分对水平面的压力变化量为切去部分重力的大小，设甲的棱长为$a$、乙的棱长为$b$，由图可知$a＞b$，设切去相同的厚度为$d$，柱状固体对水平面的的压强$p = \frac{F}{S} = \frac{G}{S} = \frac{mg}{S} = \frac{\rho Vg}{S} = \frac{\rho Shg}{S} = \rho gh$，即柱状固体对水平面的压强由密度和高度决定.开始时甲、乙对水平面的的压强相等$p_{甲} = p_{乙}$，即$\rho_{甲}ga = \rho_{乙}gb$，因为$a ＞ b$，所以$\rho_{甲} ＜ \rho_{乙}$，无论横切还是竖切，切去前后，甲、乙对地面的压力变化量等于被切去的那部分重力的大小，所以$\Delta F_{甲}^\prime = G_{甲切} = \rho_{甲}gV_{甲切} = \rho_{甲}ga · ad$，$\Delta F_{乙}^\prime = G_{乙切} = \rho_{乙}gV_{乙切} = \rho_{乙}gb · bd$，由于$\rho_{甲}ga = \rho_{乙}gb$，且$a ＞ b$，可得$\Delta F_{甲}^\prime ＞ \Delta F_{乙}^\prime$，①正确.若沿竖直方向切割：它们的密度和高度均未变化，所以甲、乙对水平面的压强不变，$\Delta p_{甲}^\prime = \Delta p_{乙}^\prime = 0$；若沿水平方向切割：甲的底面积为$a^{2}$，乙的底面积为$b^{2}$，横切时底面积不变，压强的变化量等于压力变化量除以受力面积，所以$\Delta p_{甲}^\prime = \frac{\rho_{甲}ga^{2}d}{a^{2}} = \rho_{甲}gd$，$\Delta p_{乙}^\prime = \frac{\rho_{乙}gb^{2}d}{b^{2}} = \rho_{乙}gd$，因为$\rho_{甲} ＜ \rho_{乙}$，所以$\Delta p_{甲}^\prime ＜ \Delta p_{乙}^\prime$，④正确.故选B.
3. 新素养 科学思维 如图所示,a面为正方形的长方体空心砖,内有若干个柱形圆孔,空心砖的质量为3kg,空心部分(柱形圆孔)体积占长方体体积的四分之一.将其分别竖放、横放于水平地面上时,空心砖对水平地面的压强分别为p₁、p₂,且p₁:p₂=2:1,已知空心砖竖放时与水平地面的接触面积为100cm².空心砖竖放时对水平地面的压强为
3000
Pa;空心砖的材料密度为$2 × 10^{3}$
kg/m³.(g取10N/kg)答案：3. 3000 $2 × 10^{3}$
解析：
空心砖竖放时对水平地面的压力：$F = G = mg = 3\ \mathrm{kg} × 10\ \mathrm{N/kg} = 30\ \mathrm{N}$，接触面积$S_1 = 100\ \mathrm{cm}^2 = 0.01\ \mathrm{m}^2$，压强$p_1=\frac{F}{S_1}=\frac{30\ \mathrm{N}}{0.01\ \mathrm{m}^2}=3000\ \mathrm{Pa}$。
设长方体体积为$V$，空心部分体积$V_{\mathrm{空}}=\frac{1}{4}V$，材料体积$V_{\mathrm{材}}=V - V_{\mathrm{空}}=\frac{3}{4}V$。
竖放与横放压强$p_1:p_2=2:1$，由$p=\frac{F}{S}$，$F$相同，得$S_1:S_2=1:2$，$S_2=2S_1=200\ \mathrm{cm}^2=0.02\ \mathrm{m}^2$。
设$a$面边长为$a$，竖放时$S_1=a^2=0.01\ \mathrm{m}^2$，$a=0.1\ \mathrm{m}$；横放时$S_2=a × b=0.02\ \mathrm{m}^2$，$b=0.2\ \mathrm{m}$，长方体体积$V=a × a × b=0.1\ \mathrm{m} × 0.1\ \mathrm{m} × 0.2\ \mathrm{m}=0.002\ \mathrm{m}^3$。
材料密度$\rho=\frac{m}{V_{\mathrm{材}}}=\frac{3\ \mathrm{kg}}{\frac{3}{4} × 0.002\ \mathrm{m}^3}=2×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
3000；$2×10^{3}$
设长方体体积为$V$，空心部分体积$V_{\mathrm{空}}=\frac{1}{4}V$，材料体积$V_{\mathrm{材}}=V - V_{\mathrm{空}}=\frac{3}{4}V$。
竖放与横放压强$p_1:p_2=2:1$，由$p=\frac{F}{S}$，$F$相同，得$S_1:S_2=1:2$，$S_2=2S_1=200\ \mathrm{cm}^2=0.02\ \mathrm{m}^2$。
设$a$面边长为$a$，竖放时$S_1=a^2=0.01\ \mathrm{m}^2$，$a=0.1\ \mathrm{m}$；横放时$S_2=a × b=0.02\ \mathrm{m}^2$，$b=0.2\ \mathrm{m}$，长方体体积$V=a × a × b=0.1\ \mathrm{m} × 0.1\ \mathrm{m} × 0.2\ \mathrm{m}=0.002\ \mathrm{m}^3$。
材料密度$\rho=\frac{m}{V_{\mathrm{材}}}=\frac{3\ \mathrm{kg}}{\frac{3}{4} × 0.002\ \mathrm{m}^3}=2×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
3000；$2×10^{3}$
4. (2025·重庆二模)如图甲,水平地面上的工艺品由A、B两部分正方体组成,ρ₍A₎:ρ₍B₎=1:4,现在沿水平方向切割工艺品,并把切去部分放在水平地面上,根据切去的高度不同,切去部分有乙或丙两种形状,切去部分对水平地面的压强随切去高度的变化如图丁.(g取10N/kg)求:
(1) B部分的重力.
(2) p₀的大小.
(3) 若剩余部分和切去部分对地面的压强相等,求切去的高度Δh.
(1) B部分的重力.
(2) p₀的大小.
(3) 若剩余部分和切去部分对地面的压强相等,求切去的高度Δh.
答案：4. (1) 40 N (2) $3 × 10^{3} Pa$ (3) 6 cm或15 cm
解析：由图丁可知正方体B的棱长$b = 10 cm$，其体积$V_{B} = b^{3} = (10 cm)^{3} = 1000 cm^{3} = 0.001 m^{3}$，$\Delta h = 10 cm$，时正方体B对地面的压强$p_{B} = 4 × 10^{3} Pa$；正方体A的棱长$a = 30 cm - 10 cm = 20 cm$，其体积$V_{A} = a^{3} = (20 cm)^{3} = 8000 cm^{3} = 0.008 m^{3}$，$p_{0}$为甲图中A、B整体对地面的压强. (1) 由$p = \rho gh$可得，正方体B的密度$\rho_{B} = \frac{p_{B}}{gb} = \frac{4 × 10^{3} Pa}{10 N/kg × 0.1 m} = 4 × 10^{3} kg/m^{3}$，则正方体B的重力$G_{B} = m_{B}g = \rho_{B}gV_{B} = 4 × 10^{3} kg/m^{3} × 10 N/kg × 0.001 m^{3} = 40 N$. (2) 因为$\rho_{A} : \rho_{B} = 1 : 4$，所以$\rho_{A} = \frac{1}{4} \rho_{B} = \frac{1}{4} × 4 × 10^{3} kg/m^{3} = 1 × 10^{3} kg/m^{3}$，正方体A的重力$G_{A} = m_{A}g = \rho_{A}gV_{A} = 1 × 10^{3} kg/m^{3} × 10 N/kg × 0.008 m^{3} = 80 N$，则$p_{0} = \frac{G_{A} + G_{B}}{S_{A}} = \frac{80 N + 40 N}{(0.2 m)^{2}} = 3 × 10^{3} Pa$. (3) 若剩余部分和切去部分对地面的压强相等，则有两种情况：第一种只切去B的高度为$\Delta h_{B}$，则有$\frac{G_{A} + G_{B} - \rho_{B}gS_{B}\Delta h_{B}}{S_{A}} = \rho_{B}g\Delta h_{B}$，即$\frac{80 N + 40 N - 4 × 10^{3} kg/m^{3} × 10 N/kg × (0.1 m)^{2} \Delta h_{B}}{(0.2 m)^{2}} = 4 × 10^{3} kg/m^{3} × 10 N/kg × \Delta h_{B}$，解得$\Delta h_{B} = 0.06 m = 6 cm$；第二种切去部分的形状如图丙，设其中切去A的高度为$\Delta h_{A}$，则有$\frac{G_{B} + \rho_{A}gS_{A}\Delta h_{A}}{S_{A}} = \rho_{A}g(a - \Delta h_{A})$，即$40 N + 1 × 10^{3} kg/m^{3} × 10 N/kg × (0.2 m)^{2} × \Delta h_{A} = 1 × 10^{3} kg/m^{3} × 10 N/kg × (0.2 m - \Delta h_{A})$，解得$\Delta h_{A} = 0.05 m = 5 cm$.所以切去的高度可能为$\Delta h_{B} = 6 cm$或$\Delta h = b + \Delta h_{A} = 10 cm + 5 cm = 15 cm$.
解析：由图丁可知正方体B的棱长$b = 10 cm$，其体积$V_{B} = b^{3} = (10 cm)^{3} = 1000 cm^{3} = 0.001 m^{3}$，$\Delta h = 10 cm$，时正方体B对地面的压强$p_{B} = 4 × 10^{3} Pa$；正方体A的棱长$a = 30 cm - 10 cm = 20 cm$，其体积$V_{A} = a^{3} = (20 cm)^{3} = 8000 cm^{3} = 0.008 m^{3}$，$p_{0}$为甲图中A、B整体对地面的压强. (1) 由$p = \rho gh$可得，正方体B的密度$\rho_{B} = \frac{p_{B}}{gb} = \frac{4 × 10^{3} Pa}{10 N/kg × 0.1 m} = 4 × 10^{3} kg/m^{3}$，则正方体B的重力$G_{B} = m_{B}g = \rho_{B}gV_{B} = 4 × 10^{3} kg/m^{3} × 10 N/kg × 0.001 m^{3} = 40 N$. (2) 因为$\rho_{A} : \rho_{B} = 1 : 4$，所以$\rho_{A} = \frac{1}{4} \rho_{B} = \frac{1}{4} × 4 × 10^{3} kg/m^{3} = 1 × 10^{3} kg/m^{3}$，正方体A的重力$G_{A} = m_{A}g = \rho_{A}gV_{A} = 1 × 10^{3} kg/m^{3} × 10 N/kg × 0.008 m^{3} = 80 N$，则$p_{0} = \frac{G_{A} + G_{B}}{S_{A}} = \frac{80 N + 40 N}{(0.2 m)^{2}} = 3 × 10^{3} Pa$. (3) 若剩余部分和切去部分对地面的压强相等，则有两种情况：第一种只切去B的高度为$\Delta h_{B}$，则有$\frac{G_{A} + G_{B} - \rho_{B}gS_{B}\Delta h_{B}}{S_{A}} = \rho_{B}g\Delta h_{B}$，即$\frac{80 N + 40 N - 4 × 10^{3} kg/m^{3} × 10 N/kg × (0.1 m)^{2} \Delta h_{B}}{(0.2 m)^{2}} = 4 × 10^{3} kg/m^{3} × 10 N/kg × \Delta h_{B}$，解得$\Delta h_{B} = 0.06 m = 6 cm$；第二种切去部分的形状如图丙，设其中切去A的高度为$\Delta h_{A}$，则有$\frac{G_{B} + \rho_{A}gS_{A}\Delta h_{A}}{S_{A}} = \rho_{A}g(a - \Delta h_{A})$，即$40 N + 1 × 10^{3} kg/m^{3} × 10 N/kg × (0.2 m)^{2} × \Delta h_{A} = 1 × 10^{3} kg/m^{3} × 10 N/kg × (0.2 m - \Delta h_{A})$，解得$\Delta h_{A} = 0.05 m = 5 cm$.所以切去的高度可能为$\Delta h_{B} = 6 cm$或$\Delta h = b + \Delta h_{A} = 10 cm + 5 cm = 15 cm$.
5. 如图所示,用细线将一金属柱体从水中匀速提起至其下表面刚好离开水面,此过程中忽略细线的体积,则容器底受到水的压强p随时间t变化的关系图像应大致如下图中的 (
A.
B.
C.
D.
B
)A.
B.
C.
D.
答案：5. B