3. (2025·江苏扬州模拟·8分)如图所示电路，电源电压保持不变，$R_{2}$为定值电阻，灯泡L标有“12V 9W”字样，滑动变阻器$R_{1}$的最大阻值为160Ω，电压表量程为0~15V.闭合开关S、$S_{1}$，断开$S_{2}$，$R_{1}$接入电路的阻值为8Ω时，灯泡L恰好正常发光；闭合开关S、$S_{2}$，断开$S_{1}$，将$R_{1}$的滑片P滑至a点时，$R_{1}$接入电路的阻值为$R_{a}$，电压表示数为$U_{a}$，将$R_{1}$的滑片P滑至b点时，$R_{1}$接入电路的阻值为$R_{b}$，电压表示数为$U_{b}$，此时$R_{1}$的功率$P_{b}=2.8W$，且$R_{a}:R_{b}=4:7$，$U_{a}:U_{b}=6:7$.求：
（1）灯泡L正常工作时的电流.
（2）电源电压.
（3）闭合开关S、$S_{2}$，断开$S_{1}$，在保证电路安全的情况下，计算$R_{2}$的最小功率.
（1）灯泡L正常工作时的电流.
（2）电源电压.
（3）闭合开关S、$S_{2}$，断开$S_{1}$，在保证电路安全的情况下，计算$R_{2}$的最小功率.
答案：3.(1)0.75 A (2)18 V (3)0.45 W 解析：(1)灯泡L正常工作时的电流$I_{L额}=\frac {P_{L额}} {U_{L额}}=\frac {9 W} {12 V}=0.75 A$.
(2)闭合开关S、$S_{1}$，断开$S_{2}$，灯泡L与滑动变阻器$R_{1}$串联，电压表测$R_{1}$两端的电压，$R_{1}$接入电路的阻值为8 $\Omega$时，灯泡L恰好正常发光，此时$R_{1}$两端电压$U_{1}=I_{L额}R_{1}=0.75 A×8 \Omega = 6 V$，电源电压$U = U_{1}+U_{L额}=6 V + 12 V = 18 V$.(3)闭合开关S、$S_{2}$，断开$S_{1}$时，滑动变阻器$R_{1}$与$R_{2}$串联，电压表测$R_{1}$两端的电压，$R_{1}$接入电路的阻值分别为$R_{a}$和$R_{b}$时，$R_{1}$两端电压之比$\frac {U_{a}} {U_{b}}=\frac {I_{a}R_{a}} {I_{b}R_{b}}=\frac {6} {7}$，已知$\frac {R_{a}} {R_{b}}=\frac {4} {7}$ ①，
则$\frac {I_{a}} {I_{b}}=\frac {3} {2}$ ②，电源电压不变，则有$I_{a}(R_{2}+R_{a}) =I_{b}(R_{2}+R_{b})$ ③.由①②③可得$R_{a}=2R_{2}$、$R_{b}=\frac {7} {2}R_{2}$,$R_{1}$接入电路的阻值为$R_{b}$时，$R_{2}$和$R_{1}$两端电压之比为$\frac {U_{2}} {U_{b}}=\frac {R_{2}} {R_{b}}=\frac {2} {7}$，且$U_{2}+U_{b}=18 V$，可得$U_{2}=4 V$、$U_{b}=14 V$，由$P = \frac {U^{2}} {R}$可得$R_{b}=\frac {U_{b}^{2}} {P_{b}}=\frac {(14 V)^{2}} {2.8 W}=70 \Omega$，
所以$R_{2}=20 \Omega$，因为电压表量程为0～15 V，设$R_{1}$接入电路的最大阻值为$R_{1max}$，则$R_{1max}=\frac {U_{Vmax}} {U - U_{Vmax}}R_{2}=$
$\frac {15 V} {18 V - 15 V}×20 \Omega = 100 \Omega ＜ 160 \Omega$，当电压表示数为15 V时，$R_{2}$两端的电压最小为$U_{2min}=U - U_{Vmax}=18 V - 15 V = 3 V$，此时$R_{2}$的功率最小，则$R_{2}$的最小功率$P_{2min}=\frac {U_{2min}^{2}} {R_{2}}=\frac {(3 V)^{2}} {20 \Omega}=0.45 W$.
(2)闭合开关S、$S_{1}$，断开$S_{2}$，灯泡L与滑动变阻器$R_{1}$串联，电压表测$R_{1}$两端的电压，$R_{1}$接入电路的阻值为8 $\Omega$时，灯泡L恰好正常发光，此时$R_{1}$两端电压$U_{1}=I_{L额}R_{1}=0.75 A×8 \Omega = 6 V$，电源电压$U = U_{1}+U_{L额}=6 V + 12 V = 18 V$.(3)闭合开关S、$S_{2}$，断开$S_{1}$时，滑动变阻器$R_{1}$与$R_{2}$串联，电压表测$R_{1}$两端的电压，$R_{1}$接入电路的阻值分别为$R_{a}$和$R_{b}$时，$R_{1}$两端电压之比$\frac {U_{a}} {U_{b}}=\frac {I_{a}R_{a}} {I_{b}R_{b}}=\frac {6} {7}$，已知$\frac {R_{a}} {R_{b}}=\frac {4} {7}$ ①，
则$\frac {I_{a}} {I_{b}}=\frac {3} {2}$ ②，电源电压不变，则有$I_{a}(R_{2}+R_{a}) =I_{b}(R_{2}+R_{b})$ ③.由①②③可得$R_{a}=2R_{2}$、$R_{b}=\frac {7} {2}R_{2}$,$R_{1}$接入电路的阻值为$R_{b}$时，$R_{2}$和$R_{1}$两端电压之比为$\frac {U_{2}} {U_{b}}=\frac {R_{2}} {R_{b}}=\frac {2} {7}$，且$U_{2}+U_{b}=18 V$，可得$U_{2}=4 V$、$U_{b}=14 V$，由$P = \frac {U^{2}} {R}$可得$R_{b}=\frac {U_{b}^{2}} {P_{b}}=\frac {(14 V)^{2}} {2.8 W}=70 \Omega$，
所以$R_{2}=20 \Omega$，因为电压表量程为0～15 V，设$R_{1}$接入电路的最大阻值为$R_{1max}$，则$R_{1max}=\frac {U_{Vmax}} {U - U_{Vmax}}R_{2}=$
$\frac {15 V} {18 V - 15 V}×20 \Omega = 100 \Omega ＜ 160 \Omega$，当电压表示数为15 V时，$R_{2}$两端的电压最小为$U_{2min}=U - U_{Vmax}=18 V - 15 V = 3 V$，此时$R_{2}$的功率最小，则$R_{2}$的最小功率$P_{2min}=\frac {U_{2min}^{2}} {R_{2}}=\frac {(3 V)^{2}} {20 \Omega}=0.45 W$.
4. (2025·山东泰安一模·10分)如图甲所示为一种自动蓄水装置示意图，轻质弹簧上端固定，下端与木块相连，弹簧下端固定的轻质滑片P可在粗细均匀的金属电阻$R_{2}$上滑动且接触良好，水箱中没有水时，滑片P恰好位于$R_{2}$最下端A处.闭合S，水泵工作，向空水箱里缓慢注水.当滑片P上滑至B处($R_{2}$的中点)时，水面到达设定高度，水泵自动停止注水.弹簧对木块的弹力F与滑片P上滑长度x之间的关系如图乙所示.已知：电阻箱$R_{1}$接入电路的阻值为20Ω，$R_{2}$的总电阻为24Ω，长度为L；当线圈中电流$I≥0.1A$时，衔铁被吸下；$ρ_{水}=1.0×10^{3}kg/m^{3}$，$ρ_{木}=0.6×10^{3}kg/m^{3}$，g取10N/kg，弹簧始终处于弹性范围，不考虑线圈的电阻和滑片P滑动时的摩擦.
（1）求电源电压U.
（2）当P滑至B处时，求木块浸入水中的体积.
（3）考虑到不同的需求，可以通过调节电阻箱$R_{1}$的阻值调节水箱中水位的设定位置.若要使该装置能够有效控制水泵，则电阻箱$R_{1}$的阻值可在哪个范围内调节？
（1）求电源电压U.
（2）当P滑至B处时，求木块浸入水中的体积.
（3）考虑到不同的需求，可以通过调节电阻箱$R_{1}$的阻值调节水箱中水位的设定位置.若要使该装置能够有效控制水泵，则电阻箱$R_{1}$的阻值可在哪个范围内调节？
答案：4.(1)3.2 V (2)$6×10^{-4} m^{3}$ (3)12～32 $\Omega$
解析：(1)图甲左侧控制电路中$R_{1}$和$R_{2}$串联.当滑片P上滑至B处($R_{2}$的中点)时，水面到达设定高度，水泵自动停止注水，则此时$R_{2}$接入电路的阻值$R_{2}=\frac {1} {2}×24 \Omega = 12 \Omega$，衔铁被释放，此时电路中的电流$I =0.1 A$，由欧姆定律可得，电源电压$U = I(R_{1}+R_{2}) =0.1 A×(20 \Omega + 12 \Omega)=3.2 V$.(2)当水箱中没有水时，滑片P恰好位于$R_{2}$最下端A处，此时滑片P上滑长度$x = 0$，木块只受重力和弹簧的弹力，由图乙可知此时弹簧的弹力为6 N，由二力平衡的条件可知木块的重力$G = F_{0}=6 N$;当P上滑至B处，此时滑片P上滑长度$x = 0.5L$，弹簧弹力$F = 0 N$，此时木块刚好漂浮，所受浮力等于重力，则木块浸入水中的体积$V_{排}=\frac {F_{浮}} {\rho_{水}g}=\frac {6 N} {1.0×10^{3} kg/m^{3}×10 N/kg}=6×10^{-4} m^{3}$.(3)由$G = mg = \rho Vg$可得，木块的体积$V_{木}=\frac {G} {\rho_{水}g}=\frac {6 N} {0.6×10^{3} kg/m^{3}×10 N/kg}=1×10^{-3} m^{3}$;若设定高度高于题中的设定高度，则木块浸入水中的体积增大，木块受到的浮力增大，滑片P将上滑，由图乙可知，滑片P上滑长度$x ＞ 0.5L$时，弹簧的弹力逐渐增大，说明此时弹簧对木块有向下的压力，若木块浸没在水中，其受到的浮力$F_{浮}'=\rho_{水}V_{排}g =\rho_{水}V_{木}g = 1.0×10^{3} kg/m^{3}×1×10^{-3} m^{3}×10 N/kg =10 N$，此时木块受到的弹力$F' = F_{浮}' - G = 10 N -6 N = 4 N$，由图乙可知，$x ＞ 0.5L$时，弹簧的弹力与滑片从中点上滑的距离成正比，设木块浸没时滑片P上滑的长度为$x'$，则有$\frac {4 N} {6 N}=\frac {x' - 0.5L} {L - 0.5L}$，解得$x'=\frac {5} {6}L$，
此时$R_{2}$接入电路的阻值$R_{2}'=\frac {\frac {5} {6}L} {L}×24 \Omega = 20 \Omega$，当木块浸没后，继续注水，木块受到的浮力不变，弹簧的弹力也不变，滑片P不能上滑，不能实现水泵自动停止注水，所以滑片P上滑长度为$\frac {5} {6}L$时对应水位的最高设定高度，则$R_{2}$接入电路的最大阻值$R_{2大}=R_{2}'=20 \Omega$;若设定高度小于或等于木块底部所处的高度，则$R_{2}$接入电路的最小阻值$R_{2小}=0 \Omega$，衔铁被释放，水泵自动停止注水时控制电路中的电流为0.1 A，由欧姆定律可得，此时控制电路的总电阻$R_{总}=\frac {U} {I}=$
$\frac {3.2 V} {0.1 A}=32 \Omega$，因为$R_{2}$的取值范围为0～20 $\Omega$，且$R_{总}=R_{1}+R_{2}$，所以电阻箱$R_{1}$的最小阻值$R_{1小}=R_{总}-R_{2大}=32 \Omega - 20 \Omega = 12 \Omega$，电阻箱$R_{1}$的最大阻值$R_{1大}=R_{总}-R_{2小}=32 \Omega - 0 \Omega = 32 \Omega$，综上可知，电阻箱$R_{1}$的阻值调节范围为12～32 $\Omega$.
解析：(1)图甲左侧控制电路中$R_{1}$和$R_{2}$串联.当滑片P上滑至B处($R_{2}$的中点)时，水面到达设定高度，水泵自动停止注水，则此时$R_{2}$接入电路的阻值$R_{2}=\frac {1} {2}×24 \Omega = 12 \Omega$，衔铁被释放，此时电路中的电流$I =0.1 A$，由欧姆定律可得，电源电压$U = I(R_{1}+R_{2}) =0.1 A×(20 \Omega + 12 \Omega)=3.2 V$.(2)当水箱中没有水时，滑片P恰好位于$R_{2}$最下端A处，此时滑片P上滑长度$x = 0$，木块只受重力和弹簧的弹力，由图乙可知此时弹簧的弹力为6 N，由二力平衡的条件可知木块的重力$G = F_{0}=6 N$;当P上滑至B处，此时滑片P上滑长度$x = 0.5L$，弹簧弹力$F = 0 N$，此时木块刚好漂浮，所受浮力等于重力，则木块浸入水中的体积$V_{排}=\frac {F_{浮}} {\rho_{水}g}=\frac {6 N} {1.0×10^{3} kg/m^{3}×10 N/kg}=6×10^{-4} m^{3}$.(3)由$G = mg = \rho Vg$可得，木块的体积$V_{木}=\frac {G} {\rho_{水}g}=\frac {6 N} {0.6×10^{3} kg/m^{3}×10 N/kg}=1×10^{-3} m^{3}$;若设定高度高于题中的设定高度，则木块浸入水中的体积增大，木块受到的浮力增大，滑片P将上滑，由图乙可知，滑片P上滑长度$x ＞ 0.5L$时，弹簧的弹力逐渐增大，说明此时弹簧对木块有向下的压力，若木块浸没在水中，其受到的浮力$F_{浮}'=\rho_{水}V_{排}g =\rho_{水}V_{木}g = 1.0×10^{3} kg/m^{3}×1×10^{-3} m^{3}×10 N/kg =10 N$，此时木块受到的弹力$F' = F_{浮}' - G = 10 N -6 N = 4 N$，由图乙可知，$x ＞ 0.5L$时，弹簧的弹力与滑片从中点上滑的距离成正比，设木块浸没时滑片P上滑的长度为$x'$，则有$\frac {4 N} {6 N}=\frac {x' - 0.5L} {L - 0.5L}$，解得$x'=\frac {5} {6}L$，
此时$R_{2}$接入电路的阻值$R_{2}'=\frac {\frac {5} {6}L} {L}×24 \Omega = 20 \Omega$，当木块浸没后，继续注水，木块受到的浮力不变，弹簧的弹力也不变，滑片P不能上滑，不能实现水泵自动停止注水，所以滑片P上滑长度为$\frac {5} {6}L$时对应水位的最高设定高度，则$R_{2}$接入电路的最大阻值$R_{2大}=R_{2}'=20 \Omega$;若设定高度小于或等于木块底部所处的高度，则$R_{2}$接入电路的最小阻值$R_{2小}=0 \Omega$，衔铁被释放，水泵自动停止注水时控制电路中的电流为0.1 A，由欧姆定律可得，此时控制电路的总电阻$R_{总}=\frac {U} {I}=$
$\frac {3.2 V} {0.1 A}=32 \Omega$，因为$R_{2}$的取值范围为0～20 $\Omega$，且$R_{总}=R_{1}+R_{2}$，所以电阻箱$R_{1}$的最小阻值$R_{1小}=R_{总}-R_{2大}=32 \Omega - 20 \Omega = 12 \Omega$，电阻箱$R_{1}$的最大阻值$R_{1大}=R_{总}-R_{2小}=32 \Omega - 0 \Omega = 32 \Omega$，综上可知，电阻箱$R_{1}$的阻值调节范围为12～32 $\Omega$.