3. 项目学习小组,将一瓶身为柱状体的空塑料瓶,去掉瓶盖及上端,在瓶底处系上一块质量合适的石块,做好密封,然后将其放置在盛有适量水的容器里,即可制作出浮力秤,其总质量为 25 g。不放物体时,待浮力秤静止,液面所对应瓶子的位置标记为“0”刻度,如图所示。(g 取 10 N/kg,$\rho_{水}=1.0$ g/$cm^{3}$)
(1) 空载时浮力秤所受的浮力是多少?
(2) 若浮力秤圆柱状部分的横截面积为 40 $cm^{2}$,则图中“2”刻度右边对应的质量应标上多少?
(3) 将该浮力秤放在水中时,液面距离瓶底的距离为$h_{1}$,若在某液体中液面距离瓶底的距离为$h_{2}$,则该液体的密度$\rho_{液}$是多少? (忽略石块的体积,用物理量符号$\rho_{水}$、$h_{1}$、$h_{2}$表示$\rho_{液}$)
(1) 空载时浮力秤所受的浮力是多少?
(2) 若浮力秤圆柱状部分的横截面积为 40 $cm^{2}$,则图中“2”刻度右边对应的质量应标上多少?
(3) 将该浮力秤放在水中时,液面距离瓶底的距离为$h_{1}$,若在某液体中液面距离瓶底的距离为$h_{2}$,则该液体的密度$\rho_{液}$是多少? (忽略石块的体积,用物理量符号$\rho_{水}$、$h_{1}$、$h_{2}$表示$\rho_{液}$)
答案：3．（1）空载时浮力秤漂浮，依据平衡条件可知$F_{浮}=G_{秤}=m_{秤}g=0.025kg × 10N/kg=0.25N （2）$浮力秤浸到“2”刻度漂浮时，秤内被测物的质量为$m_{测}，$依据漂浮时受力平衡，不放被测物时$G_{秤}=F_{浮}=\rho_{水}gV_{0}，$放入被测物时，$F_{浮}'=G_{秤}+m_{测}g，$由阿基米德原理可知$F_{浮}'=\rho_{水}gV_{0}+\rho_{水}g \Delta V_{排}，$则$G_{秤}+m_{测}g=\rho_{水}gV_{0}+\rho_{水}g \Delta V_{排}，$即$m_{测}g=\rho_{水}gV_{0}+\rho_{水}g \Delta V_{排}-G_{秤}=\rho_{水}gV_{0}+\rho_{水}g \Delta V_{排}-\rho_{水}gV_{0}，$$m_{测}=\rho_{水} \Delta V_{排}=\rho_{水}S \Delta h=1.0g/cm^{3} × 40cm^{2} × 2cm=80g$
（3）在水和液体中浮力秤均漂浮，浮力等于重力，则$\rho_{水}gSh_{1}=\rho_{液}gSh_{2}，$故$\rho_{液}=\rho_{水} \frac{h_{1}}{h_{2}}$
（3）在水和液体中浮力秤均漂浮，浮力等于重力，则$\rho_{水}gSh_{1}=\rho_{液}gSh_{2}，$故$\rho_{液}=\rho_{水} \frac{h_{1}}{h_{2}}$
4. (2025·宿迁校级一模)如图甲所示,在容器底部固定一个轻质弹簧,在弹簧上端连有一棱长为 0.1 m 的实心正方体物块 A,当容器中水的深度为 20 cm 时,物块 A 有$\frac{3}{5}$的体积露出水面,此时弹簧恰好处于自然伸长状态。求:(已知水的密度为$1×10^{3}$ kg/$m^{3}$,g 取 10 N/kg)
(1) 物块 A 受到的浮力。
(2) 物块 A 的密度。
(3) 往容器中缓慢加水(水未溢出)至物块 A 恰好浸没时水面升高的高度(整个过程弹簧受到的拉力跟弹簧的伸长量的关系如图乙所示)。
(1) 物块 A 受到的浮力。
(2) 物块 A 的密度。
(3) 往容器中缓慢加水(水未溢出)至物块 A 恰好浸没时水面升高的高度(整个过程弹簧受到的拉力跟弹簧的伸长量的关系如图乙所示)。
答案：4．（1）正方体物块A的体积$V=(0.1m)^{3}=0.001m^{3}，$排开水的体积$V_{排}=V-V_{露}=V-\frac{3}{5}V=\frac{2}{5}V=\frac{2}{5} × 0.001m^{3}=4 × 10^{-4}m^{3}，$所以物块A受到的浮力$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}=1 × 10^{3} kg/m^{3} × 10N/kg × 4 × 10^{-4}m^{3}=4N （2）$弹簧恰好处于自然状态时没有发生形变，此时物块漂浮，所以$F_{浮}=G，$即$\rho_{水}gV_{排}=\rho_{物}gV，$所以物块A的密度$\rho_{物}=\frac{V_{排}}{V} \rho_{水}=\frac{2}{5} × 1 × 10^{3} kg/m^{3}=0.4 × 10^{3} kg/m^{3} （3）$物块A刚好浸没时，弹簧的拉力$F_{1}=F_{浮}'-G=\rho_{水}gV-\rho_{物}gV=1 × 10^{3} kg/m^{3} × 10N/kg × 0.001m^{3}-0.4 × 10^{3} kg/m^{3} × 10N/kg × 0.001m^{3}=6N，$由图乙可知，此时弹簧伸长了6cm，当容器中水的深度为20cm时，物块A有$\frac{3}{5}$的体积露出水面，此时弹簧恰好处于自然伸长状态，则弹簧的原长$L_{0}=h_{1}-h_{A浸}=20cm-(1-\frac{3}{5}) × 10cm=16cm，$所以，物块A刚好浸没时弹簧的长度$L'=L_{0}+\Delta L=16cm+6cm=22cm；$则浸没时水面的高度$h_{2}=L'+L_{A}=22cm+10cm=32cm，$所以水面升高的高度$\Delta h=h_{2}-h_{1}=32cm-20cm=12cm$
解析：
(1) 物块$A$的体积$V=(0.1\,\mathrm{m})^{3}=1×10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}$，排开水的体积$V_{\mathrm{排}}=V-\frac{3}{5}V=\frac{2}{5}V=\frac{2}{5}×1×10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}=4×10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$，浮力$F_{\mathrm{浮}}=\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{排}}=1×10^{3}\,\mathrm{kg/m}^{3}×10\,\mathrm{N/kg}×4×10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}=4\,\mathrm{N}$。
(2) 弹簧自然伸长时物块漂浮，$G=F_{\mathrm{浮}}=4\,\mathrm{N}$，物块质量$m=\frac{G}{g}=\frac{4\,\mathrm{N}}{10\,\mathrm{N/kg}}=0.4\,\mathrm{kg}$，密度$\rho_{\mathrm{物}}=\frac{m}{V}=\frac{0.4\,\mathrm{kg}}{1×10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}}=0.4×10^{3}\,\mathrm{kg/m}^{3}$。
(3) 物块浸没时浮力$F_{\mathrm{浮}}'=\rho_{\mathrm{水}}gV=1×10^{3}\,\mathrm{kg/m}^{3}×10\,\mathrm{N/kg}×1×10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}=10\,\mathrm{N}$，弹簧拉力$F=F_{\mathrm{浮}}'-G=10\,\mathrm{N}-4\,\mathrm{N}=6\,\mathrm{N}$，由图乙得弹簧伸长量$\Delta L=6\,\mathrm{cm}$。初始时物块浸入深度$h_{\mathrm{浸}}=(1-\frac{3}{5})×10\,\mathrm{cm}=4\,\mathrm{cm}$，弹簧原长$L_{0}=20\,\mathrm{cm}-4\,\mathrm{cm}=16\,\mathrm{cm}$，浸没时弹簧长度$L'=16\,\mathrm{cm}+6\,\mathrm{cm}=22\,\mathrm{cm}$，水面高度$h_{2}=22\,\mathrm{cm}+10\,\mathrm{cm}=32\,\mathrm{cm}$，水面升高$\Delta h=32\,\mathrm{cm}-20\,\mathrm{cm}=12\,\mathrm{cm}$。
(1) $4\,\mathrm{N}$；(2) $0.4×10^{3}\,\mathrm{kg/m}^{3}$；(3) $12\,\mathrm{cm}$
(2) 弹簧自然伸长时物块漂浮，$G=F_{\mathrm{浮}}=4\,\mathrm{N}$，物块质量$m=\frac{G}{g}=\frac{4\,\mathrm{N}}{10\,\mathrm{N/kg}}=0.4\,\mathrm{kg}$，密度$\rho_{\mathrm{物}}=\frac{m}{V}=\frac{0.4\,\mathrm{kg}}{1×10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}}=0.4×10^{3}\,\mathrm{kg/m}^{3}$。
(3) 物块浸没时浮力$F_{\mathrm{浮}}'=\rho_{\mathrm{水}}gV=1×10^{3}\,\mathrm{kg/m}^{3}×10\,\mathrm{N/kg}×1×10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}=10\,\mathrm{N}$，弹簧拉力$F=F_{\mathrm{浮}}'-G=10\,\mathrm{N}-4\,\mathrm{N}=6\,\mathrm{N}$，由图乙得弹簧伸长量$\Delta L=6\,\mathrm{cm}$。初始时物块浸入深度$h_{\mathrm{浸}}=(1-\frac{3}{5})×10\,\mathrm{cm}=4\,\mathrm{cm}$，弹簧原长$L_{0}=20\,\mathrm{cm}-4\,\mathrm{cm}=16\,\mathrm{cm}$，浸没时弹簧长度$L'=16\,\mathrm{cm}+6\,\mathrm{cm}=22\,\mathrm{cm}$，水面高度$h_{2}=22\,\mathrm{cm}+10\,\mathrm{cm}=32\,\mathrm{cm}$，水面升高$\Delta h=32\,\mathrm{cm}-20\,\mathrm{cm}=12\,\mathrm{cm}$。
(1) $4\,\mathrm{N}$；(2) $0.4×10^{3}\,\mathrm{kg/m}^{3}$；(3) $12\,\mathrm{cm}$