4. 乐乐玩抛硬币游戏，规则是将一枚硬币抛起，落下后，若正面朝上，则向前走 $ 5 $ 步；若背面朝上，则后退 $ 2 $ 步。乐乐一共抛了 $ 20 $ 次，结果向前走了 $ 51 $ 步，硬币有多少次正面朝上？
答案：4. (5×20 - 51)÷(5 + 2)=7（次） 20 - 7=13（次）
提示：用假设的策略解题。假设全是正面朝上，那么就要向前走100步，比实际多向前走了49步，把一次背面朝上看作正面朝上，就多向前走7步，先求出背面朝上的次数，再求出正面朝上的次数。
提示：用假设的策略解题。假设全是正面朝上，那么就要向前走100步，比实际多向前走了49步，把一次背面朝上看作正面朝上，就多向前走7步，先求出背面朝上的次数，再求出正面朝上的次数。
5. 《墨子·经下》中提到：“沉，荆之具也。则沉浅非荆浅也，若易五之一。”意思是有的物体在水中下沉了一部分就静止了，是因为物体在水中受到的浮力等于它本身的重力。这是我国最早关于浮力的记载。为了调查物体在水中受到浮力的变化情况，小明进行了以下实验。
实验材料：底面半径为 $ 2 $ 厘米的圆柱形铁块、底面半径为 $ 6 $ 厘米的圆柱形容器(有出水口)、弹簧测力计、烧杯、水。
实验步骤：如图①，将适量水倒入容器中，此时水面高度与出水口持平，将空烧杯放在出水口的正下方；再将圆柱形铁块挂在弹簧测力计上；然后将圆柱形铁块从容器正上方(离容器底面 $ 18 $ 厘米处)向下缓慢移动，浸入水中。图②是记录弹簧测力计的示数 $ F_{拉力} $ 与铁块下降的高度 $ x $ 之间关系的统计图。
相关公式：铁块入水前，$ F_{拉力} = G_{重力} $；铁块入水后，$ F_{拉力} = G_{重力} - F_{浮力} $。
(1)观察上述实验，该铁块在刚好完全浸入水中时，所受的浮力是(
(2)实验中使用的圆柱形铁块的体积是多少立方厘米？
(3)当弹簧测力计的示数是 $ 5.6 \, N $($ F_{拉力} = 5.6 \, N $)时，烧杯内的水有多少毫升？
实验材料：底面半径为 $ 2 $ 厘米的圆柱形铁块、底面半径为 $ 6 $ 厘米的圆柱形容器(有出水口)、弹簧测力计、烧杯、水。
实验步骤：如图①，将适量水倒入容器中，此时水面高度与出水口持平，将空烧杯放在出水口的正下方；再将圆柱形铁块挂在弹簧测力计上；然后将圆柱形铁块从容器正上方(离容器底面 $ 18 $ 厘米处)向下缓慢移动，浸入水中。图②是记录弹簧测力计的示数 $ F_{拉力} $ 与铁块下降的高度 $ x $ 之间关系的统计图。
相关公式：铁块入水前，$ F_{拉力} = G_{重力} $；铁块入水后，$ F_{拉力} = G_{重力} - F_{浮力} $。
(1)观察上述实验，该铁块在刚好完全浸入水中时，所受的浮力是(
0.8
)$ N $。(2)实验中使用的圆柱形铁块的体积是多少立方厘米？
(3)当弹簧测力计的示数是 $ 5.6 \, N $($ F_{拉力} = 5.6 \, N $)时，烧杯内的水有多少毫升？
答案：5.（1）0.8
（2）12 - 6=6（厘米）
3.14×2²×6=75.36（立方厘米）
（3）5.8 - 5.6=0.2（N）
6÷(0.8÷0.2)=1.5（厘米）
3.14×2²×1.5=18.84（立方厘米）=18.84毫升
提示：（1）从题目所给信息可知，在铁块入水前，拉力等于重力，观察统计图可得出铁块重力为5.8N。又因为铁块下降12厘米时正好完全浸入水中，根据公式“浮力=铁块重力 - 拉力”，此时拉力从题图中可知为5N，所以所受浮力为5.8 - 5=0.8（N）。（2）由题目和统计图可知，铁块在下降过程中，从开始浸入到完全浸入，下降的高度差就是铁块的高度，即12 - 6=6（厘米）。已知铁块是底面半径为2厘米的圆柱，根据圆柱体积公式可知铁块体积为3.14×2²×6=75.36（立方厘米）。（3）首先，根据“浮力=铁块重力 - 拉力”，此时铁块重力为5.8N，拉力为5.6N，所以此时铁块受到的浮力为5.8 - 5.6=0.2（N）。由第（1）问可知，铁块完全浸入时浮力为0.8N，此时浮力为0.2N，因为浮力与排开液体体积成正比例，所以此时铁块浸入水中的高度与完全浸入时高度的比和浮力比相同。完全浸入时高度为6厘米，设此时铁块在水中高度为h厘米，则h=1.5。此时烧杯内水的体积等于底面半径为2厘米、高为1.5厘米的圆柱的体积，根据圆柱体积公式可得3.14×2²×1.5=18.84（立方厘米）=18.84毫升。
（2）12 - 6=6（厘米）
3.14×2²×6=75.36（立方厘米）
（3）5.8 - 5.6=0.2（N）
6÷(0.8÷0.2)=1.5（厘米）
3.14×2²×1.5=18.84（立方厘米）=18.84毫升
提示：（1）从题目所给信息可知，在铁块入水前，拉力等于重力，观察统计图可得出铁块重力为5.8N。又因为铁块下降12厘米时正好完全浸入水中，根据公式“浮力=铁块重力 - 拉力”，此时拉力从题图中可知为5N，所以所受浮力为5.8 - 5=0.8（N）。（2）由题目和统计图可知，铁块在下降过程中，从开始浸入到完全浸入，下降的高度差就是铁块的高度，即12 - 6=6（厘米）。已知铁块是底面半径为2厘米的圆柱，根据圆柱体积公式可知铁块体积为3.14×2²×6=75.36（立方厘米）。（3）首先，根据“浮力=铁块重力 - 拉力”，此时铁块重力为5.8N，拉力为5.6N，所以此时铁块受到的浮力为5.8 - 5.6=0.2（N）。由第（1）问可知，铁块完全浸入时浮力为0.8N，此时浮力为0.2N，因为浮力与排开液体体积成正比例，所以此时铁块浸入水中的高度与完全浸入时高度的比和浮力比相同。完全浸入时高度为6厘米，设此时铁块在水中高度为h厘米，则h=1.5。此时烧杯内水的体积等于底面半径为2厘米、高为1.5厘米的圆柱的体积，根据圆柱体积公式可得3.14×2²×1.5=18.84（立方厘米）=18.84毫升。
6. 甲、乙两个容器分别为圆锥形和圆柱形，它们的底面半径的比是 $ 3 : 4 $，高的比是 $ 4 : 5 $，现在每次用甲容器装满水倒入乙容器中，这样进行若干次后，乙容器水满了，甲容器中还剩 $ 120 $ 毫升水。甲容器的容积是多少毫升？
答案：6. (π×3²×4÷3):(π×4²×5)=3:20
20÷3=6……2 3 - 2=1
120÷1×3=360（毫升）
提示：根据题意，甲、乙两个容器的容积比是V甲:V乙=(π×3²×4÷3):(π×4²×5)=3:20，20÷3=6……2，3 - 2=1，则甲容器倒7次才能将乙容器倒满，甲容器还剩下1份，这1份就是120毫升。
20÷3=6……2 3 - 2=1
120÷1×3=360（毫升）
提示：根据题意，甲、乙两个容器的容积比是V甲:V乙=(π×3²×4÷3):(π×4²×5)=3:20，20÷3=6……2，3 - 2=1，则甲容器倒7次才能将乙容器倒满，甲容器还剩下1份，这1份就是120毫升。
7. 数形结合 一辆客车和一辆货车分别从甲、乙两城同时出发，相向而行，客车到达乙城后立即返回，货车到达甲城后也立即返回。已知客车和货车的速度比为 $ 4 : 3 $，两车第一次相遇地点距第二次相遇地点 $ 24 $ 千米。求甲、乙两城相距多少千米。
答案：
7. 24÷$(\frac{4}{4+3}×3 - 1 - \frac{3}{4+3})$=84（千米）
提示：如图，根据题意，可以画出示意图。由于客、货两车行驶的时间是相同的，它们行驶的速度比为4:3，则行驶的路程比也是4:3。第一次相遇时，客车行了全程的$\frac{4}{4+3}$，货车行了全程的$\frac{3}{4+3}$。当第二次相遇时，客、货两车一共行了3个全程，则客车一共行了全程的$(\frac{4}{4+3}×3)$，这里面包括1个全程、全程的$\frac{3}{4+3}$和24千米，所以24千米占全程的$(\frac{4}{4+3}×3 - 1 - \frac{3}{4+3})$，据此可求出全程（甲、乙两城相距的千米数）。
7. 24÷$(\frac{4}{4+3}×3 - 1 - \frac{3}{4+3})$=84（千米）
提示：如图，根据题意，可以画出示意图。由于客、货两车行驶的时间是相同的，它们行驶的速度比为4:3，则行驶的路程比也是4:3。第一次相遇时，客车行了全程的$\frac{4}{4+3}$，货车行了全程的$\frac{3}{4+3}$。当第二次相遇时，客、货两车一共行了3个全程，则客车一共行了全程的$(\frac{4}{4+3}×3)$，这里面包括1个全程、全程的$\frac{3}{4+3}$和24千米，所以24千米占全程的$(\frac{4}{4+3}×3 - 1 - \frac{3}{4+3})$，据此可求出全程（甲、乙两城相距的千米数）。
强基直通车 林叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了 $ \frac{1}{9} $，结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶 $ 280 $ 千米后，将车速提高 $ \frac{1}{6} $，于是提前 $ 1 $ 小时 $ 40 $ 分钟到达北京。北京、上海两市间的路程是(
1260
)千米。答案：强基直通车
1260
提示：出发后，计划速度：实际速度=1:$(1+\frac{1}{9})$=9:10。路程相同，速度和时间成反比例，即计划时间：实际时间=10:9。比原计划少(10 - 9)÷10=$\frac{1}{10}$。由题知，提前一个半小时到达上海，所以原计划时间为1.5÷$\frac{1}{10}$=15（小时）。返回时，车速提高了$\frac{1}{6}$，则用时应缩短15÷(1 + 6)=$\frac{15}{7}$（小时），实际缩短了1小时40分钟，即$\frac{5}{3}$小时，所以北京到上海的路程为$\frac{15}{7}$÷$(\frac{15}{7}-\frac{5}{3})$×280=1260（千米）。
1260
提示：出发后，计划速度：实际速度=1:$(1+\frac{1}{9})$=9:10。路程相同，速度和时间成反比例，即计划时间：实际时间=10:9。比原计划少(10 - 9)÷10=$\frac{1}{10}$。由题知，提前一个半小时到达上海，所以原计划时间为1.5÷$\frac{1}{10}$=15（小时）。返回时，车速提高了$\frac{1}{6}$，则用时应缩短15÷(1 + 6)=$\frac{15}{7}$（小时），实际缩短了1小时40分钟，即$\frac{5}{3}$小时，所以北京到上海的路程为$\frac{15}{7}$÷$(\frac{15}{7}-\frac{5}{3})$×280=1260（千米）。