1. (2024·雅安)计算$(1 - 3)^0$的结果是(
A.$-2$
B.$0$
C.$1$
D.$4$
C
)A.$-2$
B.$0$
C.$1$
D.$4$
答案：1.C
解析：
$(1 - 3)^0 = (-2)^0 = 1$，答案选C。
2. 有下列四个算式:①$(-c)^4÷ (-c)^2=-c^2$;②$(-y)^6÷ (-y)^3=-y^3$;③$(ab)^{-3}=ab^{-3}$;④$a^{4m}÷ a^m=a^4(a\neq 0)$.其中,错误的有(
A.$4$个
B.$3$个
C.$2$个
D.$1$个
B
)A.$4$个
B.$3$个
C.$2$个
D.$1$个
答案：2.B
解析：
①$(-c)^4÷(-c)^2=(-c)^{4-2}=(-c)^2=c^2$，原式错误；
②$(-y)^6÷(-y)^3=(-y)^{6-3}=(-y)^3=-y^3$，原式正确；
③$(ab)^{-3}=a^{-3}b^{-3}$，原式错误；
④$a^{4m}÷a^m=a^{4m-m}=a^{3m}$，原式错误。
错误的有①③④，共3个。
B
②$(-y)^6÷(-y)^3=(-y)^{6-3}=(-y)^3=-y^3$，原式正确；
③$(ab)^{-3}=a^{-3}b^{-3}$，原式错误；
④$a^{4m}÷a^m=a^{4m-m}=a^{3m}$，原式错误。
错误的有①③④，共3个。
B
3. (2024·烟台改编)目前全球最薄的手撕钢产自我国,厚度只有$0.015$毫米,约是$A4$纸厚度的六分之一.已知$1$米$ = 1000$毫米,则$0.015$毫米等于多少米?将结果用科学记数法表示为(
A.$0.15× 10^3$米
B.$1.5× 10^4$米
C.$15× 10^{-5}$米
D.$1.5× 10^{-5}$米
D
)A.$0.15× 10^3$米
B.$1.5× 10^4$米
C.$15× 10^{-5}$米
D.$1.5× 10^{-5}$米
答案：3.D
解析：
因为$1$米$=1000$毫米，所以$1$毫米$=10^{-3}$米。
$0.015$毫米$=0.015×10^{-3}$米$=1.5×10^{-2}×10^{-3}$米$=1.5×10^{-5}$米。
D
$0.015$毫米$=0.015×10^{-3}$米$=1.5×10^{-2}×10^{-3}$米$=1.5×10^{-5}$米。
D
4. 有下列说法:①当$m$为奇数时,一定有等式$(-2)^m=-2^m$;②无论$m$为何值,等式$(-a)^m=-a^m$都成立;③三个等式$(-a^3)^2=a^6$,$(a^2)^3=a^6$,$[-(-a^2)]^3=a^6$都成立;④若$2^{x + 3}· 3^{x + 3}=36^{2 - x}$,则$x = 1$.其中,正确的有(
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
B
)A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
答案：4.B
解析：
①当$m$为奇数时，$(-2)^m=-2^m$，正确；
②当$m$为偶数时，$(-a)^m=a^m\neq -a^m$，错误；
③$(-a^3)^2=a^6$，$(a^2)^3=a^6$，$[-(-a^2)]^3=(a^2)^3=a^6$，均正确；
④$2^{x + 3}·3^{x + 3}=(2×3)^{x + 3}=6^{x + 3}$，$36^{2 - x}=(6^2)^{2 - x}=6^{4 - 2x}$，则$x + 3=4 - 2x$，解得$x=\frac{1}{3}$，错误。
正确的有①③，共2个。
B
②当$m$为偶数时，$(-a)^m=a^m\neq -a^m$，错误；
③$(-a^3)^2=a^6$，$(a^2)^3=a^6$，$[-(-a^2)]^3=(a^2)^3=a^6$，均正确；
④$2^{x + 3}·3^{x + 3}=(2×3)^{x + 3}=6^{x + 3}$，$36^{2 - x}=(6^2)^{2 - x}=6^{4 - 2x}$，则$x + 3=4 - 2x$，解得$x=\frac{1}{3}$，错误。
正确的有①③，共2个。
B
5. 已知$a = 16^{21}$,$b = 32^{31}$,$c = 8^{41}$,则$a$,$b$,$c$的大小关系为
a＜c＜b
(用“$＜$”连接).答案：5.a＜c＜b
解析：
$a=16^{21}=(2^4)^{21}=2^{84}$，$b=32^{31}=(2^5)^{31}=2^{155}$，$c=8^{41}=(2^3)^{41}=2^{123}$，因为$84＜123＜155$，所以$2^{84}＜2^{123}＜2^{155}$，即$a＜c＜b$。
6. (1)若$a· a^3· a^{-m}=a^8$,则$m$的值为
(2)已知$3^m = 6$,$3^n = 8$,则$9^{m - n}$的值为
(3)若$x^{2n}=5$,则$(3x^{2n})^2 - 4(x^2)^{2n}$的值为
−4
;(2)已知$3^m = 6$,$3^n = 8$,则$9^{m - n}$的值为
$\frac{9}{16}$
;(3)若$x^{2n}=5$,则$(3x^{2n})^2 - 4(x^2)^{2n}$的值为
125
.答案：6.(1)−4 (2)$\frac{9}{16}$
(3)125 解析:原式=9(x²ⁿ)²−4(x²ⁿ)²=5(x²ⁿ)².将x²ⁿ=5代入,得原式=5×5²=125.
(3)125 解析:原式=9(x²ⁿ)²−4(x²ⁿ)²=5(x²ⁿ)².将x²ⁿ=5代入,得原式=5×5²=125.
7. 我们知道,同底数幂的乘法运算性质为$a^m· a^n=a^{m + n}$($m$,$n$为正整数),类似地,我们规定关于任意正整数$m$,$n$的一种新运算:$h(m + n)=h(m)· h(n)$.已知$h(2)=3$,$h(4)=h(2 + 2)=3× 3 = 9$,则$h(2n)· h(2026)=$
3ⁿ⁺¹⁰¹³
(用含$n$的式子表示).答案：7.3ⁿ⁺¹⁰¹³ 解析:
∵h(m + n)=h(m)·h(n),h(2)=3,h(4)=9 = 3²,h(6)=h(4 + 2)=h(4)·h(2)=h(2)·h(2)·h(2)=3³,
∴$h(2n)·h(2026)=h(2 + 2 + … + 2)·h(2 + 2 + … + 2)= \underbrace{h(2)·h(2)·…·h(2)}_{n个}×\underbrace{h(2)·h(2)·…·h(2)}_{1013个}=3ⁿ·3¹⁰¹³=3ⁿ⁺¹⁰¹³.$
∵h(m + n)=h(m)·h(n),h(2)=3,h(4)=9 = 3²,h(6)=h(4 + 2)=h(4)·h(2)=h(2)·h(2)·h(2)=3³,
∴$h(2n)·h(2026)=h(2 + 2 + … + 2)·h(2 + 2 + … + 2)= \underbrace{h(2)·h(2)·…·h(2)}_{n个}×\underbrace{h(2)·h(2)·…·h(2)}_{1013个}=3ⁿ·3¹⁰¹³=3ⁿ⁺¹⁰¹³.$
8. 计算:
(1)$a^n· a^{n + 5}÷ a^7$;
(2)$(2m - n)^2· (2m - n)^a· (n - 2m)^7$;
(3)$16^{2n}÷ 8^{2n}÷ 4^n$;
(4)$-1^0 + 2^{-1}× 2^{-3}-(\dfrac{2}{3})^{-2}$;
(5)$(-a^{m + 1})^2÷ [(a^m)^2· a]$;
(6)$\dfrac{2^{20}× 0.25^{12}}{0.5^{11}× 4^3}$.
(1)$a^n· a^{n + 5}÷ a^7$;
(2)$(2m - n)^2· (2m - n)^a· (n - 2m)^7$;
(3)$16^{2n}÷ 8^{2n}÷ 4^n$;
(4)$-1^0 + 2^{-1}× 2^{-3}-(\dfrac{2}{3})^{-2}$;
(5)$(-a^{m + 1})^2÷ [(a^m)^2· a]$;
(6)$\dfrac{2^{20}× 0.25^{12}}{0.5^{11}× 4^3}$.
答案：1. （1）
解：根据同底数幂的乘法法则$a^{m}· a^{n}=a^{m + n}$，同底数幂的除法法则$a^{m}÷ a^{n}=a^{m - n}(a≠0,m,n$是正整数$)$。
$a^{n}· a^{n + 5}÷ a^{7}=a^{n+(n + 5)-7}$
化简$n+(n + 5)-7$得$n + n+5 - 7=2n - 2$。
所以$a^{n}· a^{n + 5}÷ a^{7}=a^{2n - 2}$。
2. （2）
解：因为$(n - 2m)^{7}=-(2m - n)^{7}$。
则$(2m - n)^{2}·(2m - n)^{a}·(n - 2m)^{7}=(2m - n)^{2}·(2m - n)^{a}·[-(2m - n)^{7}]$。
根据同底数幂的乘法法则$a^{m}· a^{n}=a^{m + n}$，可得$-(2m - n)^{2 + a+7}=-(2m - n)^{a + 9}$。
3. （3）
解：将$16 = 2^{4}$，$8 = 2^{3}$，$4 = 2^{2}$代入式子。
$16^{2n}÷8^{2n}÷4^{n}=(2^{4})^{2n}÷(2^{3})^{2n}÷(2^{2})^{n}$。
根据幂的乘方法则$(a^{m})^{n}=a^{mn}$，则$(2^{4})^{2n}=2^{8n}$，$(2^{3})^{2n}=2^{6n}$，$(2^{2})^{n}=2^{2n}$。
再根据同底数幂的除法法则$a^{m}÷ a^{n}=a^{m - n}$，$2^{8n}÷2^{6n}÷2^{2n}=2^{8n-6n - 2n}$。
因为$8n-6n - 2n=(8 - 6 - 2)n = 0$，所以$2^{8n-6n - 2n}=2^{0}=1$。
4. （4）
解：根据零指数幂$a^{0}=1(a≠0)$，负整数指数幂$a^{-p}=\frac{1}{a^{p}}(a≠0,p$是正整数$)$。
$-1^{0}+2^{-1}×2^{-3}-(\frac{2}{3})^{-2}$。
因为$-1^{0}=-1$，$2^{-1}×2^{-3}=2^{-1+( - 3)}=2^{-4}=\frac{1}{2^{4}}=\frac{1}{16}$，$(\frac{2}{3})^{-2}=\frac{1}{(\frac{2}{3})^{2}}=\frac{9}{4}$。
则$-1+\frac{1}{16}-\frac{9}{4}=-1+\frac{1 - 36}{16}=-1-\frac{35}{16}=-\frac{16 + 35}{16}=-\frac{51}{16}$。
5. （5）
解：根据幂的乘方法则$(a^{m})^{n}=a^{mn}$，$(-a^{m + 1})^{2}=a^{2(m + 1)}=a^{2m+2}$，$(a^{m})^{2}=a^{2m}$。
则$(-a^{m + 1})^{2}÷[(a^{m})^{2}· a]=a^{2m + 2}÷(a^{2m}· a)$。
根据同底数幂的乘法法则$a^{2m}· a=a^{2m + 1}$。
再根据同底数幂的除法法则$a^{2m + 2}÷ a^{2m + 1}=a^{(2m + 2)-(2m + 1)}$。
化简$(2m + 2)-(2m + 1)=2m + 2-2m - 1 = 1$，所以$a^{(2m + 2)-(2m + 1)}=a$。
6. （6）
解：将$0.25=\frac{1}{4}=2^{-2}$，$0.5 = 2^{-1}$，$4 = 2^{2}$代入式子。
$\frac{2^{20}×0.25^{12}}{0.5^{11}×4^{3}}=\frac{2^{20}×(2^{-2})^{12}}{(2^{-1})^{11}×(2^{2})^{3}}$。
根据幂的乘方法则$(a^{m})^{n}=a^{mn}$，$(2^{-2})^{12}=2^{-24}$，$(2^{-1})^{11}=2^{-11}$，$(2^{2})^{3}=2^{6}$。
则$\frac{2^{20}×2^{-24}}{2^{-11}×2^{6}}$。
根据同底数幂的乘法法则$a^{m}· a^{n}=a^{m + n}$，分子$2^{20}×2^{-24}=2^{20-24}=2^{-4}$，分母$2^{-11}×2^{6}=2^{-11 + 6}=2^{-5}$。
再根据同底数幂的除法法则$2^{-4}÷2^{-5}=2^{-4-( - 5)}=2^{-4 + 5}=2$。
综上，答案依次为：（1）$a^{2n - 2}$；（2）$-(2m - n)^{a + 9}$；（3）$1$；（4）$-\frac{51}{16}$；（5）$a$；（6）$2$。
解：根据同底数幂的乘法法则$a^{m}· a^{n}=a^{m + n}$，同底数幂的除法法则$a^{m}÷ a^{n}=a^{m - n}(a≠0,m,n$是正整数$)$。
$a^{n}· a^{n + 5}÷ a^{7}=a^{n+(n + 5)-7}$
化简$n+(n + 5)-7$得$n + n+5 - 7=2n - 2$。
所以$a^{n}· a^{n + 5}÷ a^{7}=a^{2n - 2}$。
2. （2）
解：因为$(n - 2m)^{7}=-(2m - n)^{7}$。
则$(2m - n)^{2}·(2m - n)^{a}·(n - 2m)^{7}=(2m - n)^{2}·(2m - n)^{a}·[-(2m - n)^{7}]$。
根据同底数幂的乘法法则$a^{m}· a^{n}=a^{m + n}$，可得$-(2m - n)^{2 + a+7}=-(2m - n)^{a + 9}$。
3. （3）
解：将$16 = 2^{4}$，$8 = 2^{3}$，$4 = 2^{2}$代入式子。
$16^{2n}÷8^{2n}÷4^{n}=(2^{4})^{2n}÷(2^{3})^{2n}÷(2^{2})^{n}$。
根据幂的乘方法则$(a^{m})^{n}=a^{mn}$，则$(2^{4})^{2n}=2^{8n}$，$(2^{3})^{2n}=2^{6n}$，$(2^{2})^{n}=2^{2n}$。
再根据同底数幂的除法法则$a^{m}÷ a^{n}=a^{m - n}$，$2^{8n}÷2^{6n}÷2^{2n}=2^{8n-6n - 2n}$。
因为$8n-6n - 2n=(8 - 6 - 2)n = 0$，所以$2^{8n-6n - 2n}=2^{0}=1$。
4. （4）
解：根据零指数幂$a^{0}=1(a≠0)$，负整数指数幂$a^{-p}=\frac{1}{a^{p}}(a≠0,p$是正整数$)$。
$-1^{0}+2^{-1}×2^{-3}-(\frac{2}{3})^{-2}$。
因为$-1^{0}=-1$，$2^{-1}×2^{-3}=2^{-1+( - 3)}=2^{-4}=\frac{1}{2^{4}}=\frac{1}{16}$，$(\frac{2}{3})^{-2}=\frac{1}{(\frac{2}{3})^{2}}=\frac{9}{4}$。
则$-1+\frac{1}{16}-\frac{9}{4}=-1+\frac{1 - 36}{16}=-1-\frac{35}{16}=-\frac{16 + 35}{16}=-\frac{51}{16}$。
5. （5）
解：根据幂的乘方法则$(a^{m})^{n}=a^{mn}$，$(-a^{m + 1})^{2}=a^{2(m + 1)}=a^{2m+2}$，$(a^{m})^{2}=a^{2m}$。
则$(-a^{m + 1})^{2}÷[(a^{m})^{2}· a]=a^{2m + 2}÷(a^{2m}· a)$。
根据同底数幂的乘法法则$a^{2m}· a=a^{2m + 1}$。
再根据同底数幂的除法法则$a^{2m + 2}÷ a^{2m + 1}=a^{(2m + 2)-(2m + 1)}$。
化简$(2m + 2)-(2m + 1)=2m + 2-2m - 1 = 1$，所以$a^{(2m + 2)-(2m + 1)}=a$。
6. （6）
解：将$0.25=\frac{1}{4}=2^{-2}$，$0.5 = 2^{-1}$，$4 = 2^{2}$代入式子。
$\frac{2^{20}×0.25^{12}}{0.5^{11}×4^{3}}=\frac{2^{20}×(2^{-2})^{12}}{(2^{-1})^{11}×(2^{2})^{3}}$。
根据幂的乘方法则$(a^{m})^{n}=a^{mn}$，$(2^{-2})^{12}=2^{-24}$，$(2^{-1})^{11}=2^{-11}$，$(2^{2})^{3}=2^{6}$。
则$\frac{2^{20}×2^{-24}}{2^{-11}×2^{6}}$。
根据同底数幂的乘法法则$a^{m}· a^{n}=a^{m + n}$，分子$2^{20}×2^{-24}=2^{20-24}=2^{-4}$，分母$2^{-11}×2^{6}=2^{-11 + 6}=2^{-5}$。
再根据同底数幂的除法法则$2^{-4}÷2^{-5}=2^{-4-( - 5)}=2^{-4 + 5}=2$。
综上，答案依次为：（1）$a^{2n - 2}$；（2）$-(2m - n)^{a + 9}$；（3）$1$；（4）$-\frac{51}{16}$；（5）$a$；（6）$2$。