1. (2025·常州期末)如图,某社区有两块相连的长方形空地,一块长为$(3a + 2b)$米,宽为$(2a + b)$米;另一块长为$(a + b)$米,宽为$(a - b)$米.现将两块空地进行改造,计划在中间边长为$(a - b)$米的正方形(阴影部分)中种花,其余部分种植草坪.
(1)求计划种植草坪的面积;
(2)已知$a = 30$,$b = 10$,求计划种植草坪的面积.
(1)求计划种植草坪的面积;
(2)已知$a = 30$,$b = 10$,求计划种植草坪的面积.
答案：1.(1)(3a+2b)(2a+b)+(a+b)(a−b)−(a−b)²=6a²+3ab+4ab+2b²+a²−b²−a²+2ab−b²=6a²+9ab,即计划种植草坪的面积为(6a²+9ab)平方米.
(2)当a=30,b=10时,6a²+9ab=6×30²+9×30×10=8100,计划种植草坪的面积为8100平方米.
(2)当a=30,b=10时,6a²+9ab=6×30²+9×30×10=8100,计划种植草坪的面积为8100平方米.
2. (2024·淮安期末)如图,$AB = a$,$P$是线段$AB$上任意一点,在$AB$同一侧分别以$AP$,$BP$为边作正方形$APCD$、正方形$PBEF$.设$AP = x$.解答下列问题:(用含$a$,$x$的代数式表示)
(1)①正方形$PBEF$的边长为
②求这两个正方形的面积之和$S$.(需化简)
(2)若$x ＜ \frac{1}{2}a$,连接$DF$,$BD$,$BF$,求图中阴影部分的面积.
(1)①正方形$PBEF$的边长为
a−x
;②求这两个正方形的面积之和$S$.(需化简)
(2)若$x ＜ \frac{1}{2}a$,连接$DF$,$BD$,$BF$,求图中阴影部分的面积.
答案：2.(1)①a−x 解析:由于AP=x,AB=a,则BP=a−x.
②两个正方形的面积之和S=x²+(a−x)²=2x²−2ax+a².
(2)
∵四边形APCD、四边形PBEF均为正方形,AP=x,BP=a−x,
∴CF=PF−PC=a−x−x=a−2x,
∴阴影部分的面积=S正方形APCD+S正方形PBEF+S△FCD−S△ABD−S△EFB=x²+(a−x)²+$\frac{1}{2}$x·(a−2x)−$\frac{1}{2}$x·a−$\frac{1}{2}$(a−x)²=x²+$\frac{1}{2}$(a−x)²+$\frac{1}{2}$x·(a−2x)−$\frac{1}{2}$x·a=x²+$\frac{1}{2}$a²−ax+$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$ax−x²−$\frac{1}{2}$ax=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$a²−ax.
②两个正方形的面积之和S=x²+(a−x)²=2x²−2ax+a².
(2)
∵四边形APCD、四边形PBEF均为正方形,AP=x,BP=a−x,
∴CF=PF−PC=a−x−x=a−2x,
∴阴影部分的面积=S正方形APCD+S正方形PBEF+S△FCD−S△ABD−S△EFB=x²+(a−x)²+$\frac{1}{2}$x·(a−2x)−$\frac{1}{2}$x·a−$\frac{1}{2}$(a−x)²=x²+$\frac{1}{2}$(a−x)²+$\frac{1}{2}$x·(a−2x)−$\frac{1}{2}$x·a=x²+$\frac{1}{2}$a²−ax+$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$ax−x²−$\frac{1}{2}$ax=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$a²−ax.
3. (2025·扬州期中)图①是一个长为$4a$、宽为$b$的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图②).
(1)图②中的阴影部分正方形边长为
(2)观察图②,请你写出$(a + b)^2$,$(a - b)^2$,$ab$之间的等量关系是
(3)利用(2)中的结论,请直接写出下列问题答案:
①若$x + y = 5$,$xy = \frac{9}{4}$,则$(x - y)^2 =$
②若$(4 - m)(5 - m) = 6$,则$(4 - m)^2 + (5 - m)^2 =$
(4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式,如图③,请你写出这个等式:
(5)如图④,正方形$AEGO$和长方形$KLMC$重叠,重叠部分是长方形$BEFC$,其面积是$300$,分别延长$FC$,$BC$交$AO$和$OG$于$D$,$H$两点,构成的四边形$ABCD$和$CFGH$都是正方形,四边形$ODCH$是长方形.设$CM = x$,$KC = 3CM = 3x$,$KB = 54$,$FM = 20$,延长$AO$至点$P$,使$OP = 2OD$,延长$AE$至点$R$,使$RE = 2BE$,过点$P$,$R$作$AP$,$AR$的垂线,两垂线交于点$N$,求正方形$ARNP$的面积.(结果是一个具体的数值)
(1)图②中的阴影部分正方形边长为
b−a
;(用含$a$,$b$的代数式表示)(2)观察图②,请你写出$(a + b)^2$,$(a - b)^2$,$ab$之间的等量关系是
(a+b)²=(a−b)²+4ab
;(3)利用(2)中的结论,请直接写出下列问题答案:
①若$x + y = 5$,$xy = \frac{9}{4}$,则$(x - y)^2 =$
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;②若$(4 - m)(5 - m) = 6$,则$(4 - m)^2 + (5 - m)^2 =$
13
.(4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式,如图③,请你写出这个等式:
(a+b)(3a+b)=3a²+4ab+b²
;(5)如图④,正方形$AEGO$和长方形$KLMC$重叠,重叠部分是长方形$BEFC$,其面积是$300$,分别延长$FC$,$BC$交$AO$和$OG$于$D$,$H$两点,构成的四边形$ABCD$和$CFGH$都是正方形,四边形$ODCH$是长方形.设$CM = x$,$KC = 3CM = 3x$,$KB = 54$,$FM = 20$,延长$AO$至点$P$,使$OP = 2OD$,延长$AE$至点$R$,使$RE = 2BE$,过点$P$,$R$作$AP$,$AR$的垂线,两垂线交于点$N$,求正方形$ARNP$的面积.(结果是一个具体的数值)
答案：3.(1)b−a 解析:由题图可得阴影部分正方形边长为“小长方形的长”−“小长方形的宽”=b−a.
(2)(a+b)²=(a−b)²+4ab 解析:由题图可知,大正方形的面积=(a+b)²=(a−b)²+4ab.
(3)①16 解析:
∵x+y=5,xy=$\frac{9}{4}$,
∴(x+y)²=25,由(2)知(x+y)²=(x−y)²+4xy,
∴(x−y)²=(x+y)²−4xy=25−4×$\frac{9}{4}$=16.
②13 解析:令4−m=a,5−m=b,则a−b=4−m−5+m=−1,ab=6,
∴(a−b)²=a²+b²−2ab=a²+b²−2×6=1,
∴a²+b²=13,即(4−m)²+(5−m)²=13.
(4)(a+b)(3a+b)=3a²+4ab+b² 解析:由题图可知,大长方形的面积=(a+b)(3a+b)=3a²+4ab+b².
(5)
∵CM=x,KC=3CM=3x,KB=54,FM=20,
∴BC=KC−KB=3x−54,CF=CM−FM=x−20.
∵长方形BEFC的面积是300,
∴BC·CF=(3x−54)(x−20)=300,由题意得AB=BC=3x−54,CF=BE=x−20,
∵RE=2BE,
∴BR=3BE=3x−60,
∴AR=AB+BR=(3x−54)+(3x−60).
∵(3x−54)(x−20)=300,
∴(3x−54)·(3x−60)=300×3=900,设3x−54=a,3x−60=b,
∴b−a=−6,ab=900,
∴AR²=(a+b)²=(a−b)²+4ab=36+4×900=3636,
∴正方形ARNP的面积为3636.
(2)(a+b)²=(a−b)²+4ab 解析:由题图可知,大正方形的面积=(a+b)²=(a−b)²+4ab.
(3)①16 解析:
∵x+y=5,xy=$\frac{9}{4}$,
∴(x+y)²=25,由(2)知(x+y)²=(x−y)²+4xy,
∴(x−y)²=(x+y)²−4xy=25−4×$\frac{9}{4}$=16.
②13 解析:令4−m=a,5−m=b,则a−b=4−m−5+m=−1,ab=6,
∴(a−b)²=a²+b²−2ab=a²+b²−2×6=1,
∴a²+b²=13,即(4−m)²+(5−m)²=13.
(4)(a+b)(3a+b)=3a²+4ab+b² 解析:由题图可知,大长方形的面积=(a+b)(3a+b)=3a²+4ab+b².
(5)
∵CM=x,KC=3CM=3x,KB=54,FM=20,
∴BC=KC−KB=3x−54,CF=CM−FM=x−20.
∵长方形BEFC的面积是300,
∴BC·CF=(3x−54)(x−20)=300,由题意得AB=BC=3x−54,CF=BE=x−20,
∵RE=2BE,
∴BR=3BE=3x−60,
∴AR=AB+BR=(3x−54)+(3x−60).
∵(3x−54)(x−20)=300,
∴(3x−54)·(3x−60)=300×3=900,设3x−54=a,3x−60=b,
∴b−a=−6,ab=900,
∴AR²=(a+b)²=(a−b)²+4ab=36+4×900=3636,
∴正方形ARNP的面积为3636.