3. (2025·宿迁期末)(1)如图①，$∠ EFG = 120^{\circ}$，顶点$F$在直线$CD$上，边$FE$，$FG$分别与直线$AB$交于点$M$，$H$，且$∠ CFE+∠ GHB = 60^{\circ}$.求证：$AB// CD$；
(2)如图②，在(1)的条件下分别作$∠ EFD$与$∠ AHG$的平分线$FN$，$HN$交于点$N$，求$∠ N$的度数；
(3)如图③，在(1)的条件下作$∠ CFE$的平分线$FI$，过点$H$作一条射线$HQ$，交直线$FI$于点$P$，当$∠ HPF = 30^{\circ}$时，请直接写出$∠ BHP$与$∠ FHP$的关系式.
(2)如图②，在(1)的条件下分别作$∠ EFD$与$∠ AHG$的平分线$FN$，$HN$交于点$N$，求$∠ N$的度数；
(3)如图③，在(1)的条件下作$∠ CFE$的平分线$FI$，过点$H$作一条射线$HQ$，交直线$FI$于点$P$，当$∠ HPF = 30^{\circ}$时，请直接写出$∠ BHP$与$∠ FHP$的关系式.
答案：
3.(1)
∵∠EFG=120°,顶点F在直线CD上,
∴∠CFE+∠GFD=180°−∠EFG=180°−120°=60°.
∵∠CFE+∠GHB=60°,
∴∠GHB=∠GFD,
∴AB//CD.
(2)设∠GFD=$α$,
∵∠EFG=120°,
∴∠EFD=120°+$α$.
∵FN是∠EFD的平分线，
∴∠NFD=$\frac{1}{2}$(120°+$α$)=60°+$\frac{1}{2}$$α$,
∴∠NFH=∠NFD−∠GFD=60°+$\frac{1}{2}$$α$−$α$=60°−$\frac{1}{2}$$α$.
∵AB//CD,
∴∠GHB=∠GFD=$α$.
∵HN是∠AHG的平分线，
∴∠NHG=$\frac{1}{2}$∠AHG=$\frac{1}{2}$(180°−$α$)=90°−$\frac{1}{2}$$α$.
∵∠NHG是△NFH的一个外角，
∴∠N=∠NHG−∠NFH=(90°−$\frac{1}{2}$$α$)−(60°−$\frac{1}{2}$$α$)=30°.
(3)∠BHP+∠FHP=180°或∠FHP−∠BHP=60° 解析:当点P在CD的上方时，如图①所示，过点P作PT//AB.
设∠IFC=$β$,
∵FI平分∠CFE,
∴∠EFI=∠CFI=$β$,则∠GFD=180°−∠EFC−∠EFG=60°−2$β$.
∵AB//CD,
∴∠FHB=∠CFG=120°+2$β$.
∵PT//AB,AB//CD,
∴PT//CD,
∴∠AHP=∠HPT,∠TPF=∠IFC=$β$.又
∵∠HPF=30°,
∴∠AHP=∠HPT=∠HPF−∠FPT=∠HPF−∠IFC=30°−$β$,
∴∠BHP=180°−∠AHP=180°−(30°−$β$)=150°+$β$,
∴∠FHP=∠BHP−∠FHB=150°+$β$−(120°+2$β$)=30°−$β$,
∴∠BHP+∠FHP=150°+$β$+30°−$β$=180°,即∠BHP+∠FHP=180°;
当P在CD的下方时,如图②所示，过点P作PT//AB,
设∠IFC=$β$,
∴∠DFP=∠CFI=$β$.
∵PT//AB,AB//CD,
∴PT//CD,
∴∠FPT=∠DFP=$β$.
∵AB//PT,
∴∠BHP=∠HPT=∠HPF+∠FPT=30°+$β$.
∵∠GFD=180°−∠EFC−∠EFG=60°−2$β$,∠FHB=∠CFG=120°+2$β$,
∴∠FHP=∠FHB−∠BHP=120°+2$β$−(30°+$β$)=90°+$β$,
∴∠FHP−∠BHP=90°+$β$−(30°+$β$)=60°.综上所述,∠BHP+∠FHP=180°或∠FHP−∠BHP=60°.
3.(1)
∵∠EFG=120°,顶点F在直线CD上,
∴∠CFE+∠GFD=180°−∠EFG=180°−120°=60°.
∵∠CFE+∠GHB=60°,
∴∠GHB=∠GFD,
∴AB//CD.
(2)设∠GFD=$α$,
∵∠EFG=120°,
∴∠EFD=120°+$α$.
∵FN是∠EFD的平分线，
∴∠NFD=$\frac{1}{2}$(120°+$α$)=60°+$\frac{1}{2}$$α$,
∴∠NFH=∠NFD−∠GFD=60°+$\frac{1}{2}$$α$−$α$=60°−$\frac{1}{2}$$α$.
∵AB//CD,
∴∠GHB=∠GFD=$α$.
∵HN是∠AHG的平分线，
∴∠NHG=$\frac{1}{2}$∠AHG=$\frac{1}{2}$(180°−$α$)=90°−$\frac{1}{2}$$α$.
∵∠NHG是△NFH的一个外角，
∴∠N=∠NHG−∠NFH=(90°−$\frac{1}{2}$$α$)−(60°−$\frac{1}{2}$$α$)=30°.
(3)∠BHP+∠FHP=180°或∠FHP−∠BHP=60° 解析:当点P在CD的上方时，如图①所示，过点P作PT//AB.
设∠IFC=$β$,
∵FI平分∠CFE,
∴∠EFI=∠CFI=$β$,则∠GFD=180°−∠EFC−∠EFG=60°−2$β$.
∵AB//CD,
∴∠FHB=∠CFG=120°+2$β$.
∵PT//AB,AB//CD,
∴PT//CD,
∴∠AHP=∠HPT,∠TPF=∠IFC=$β$.又
∵∠HPF=30°,
∴∠AHP=∠HPT=∠HPF−∠FPT=∠HPF−∠IFC=30°−$β$,
∴∠BHP=180°−∠AHP=180°−(30°−$β$)=150°+$β$,
∴∠FHP=∠BHP−∠FHB=150°+$β$−(120°+2$β$)=30°−$β$,
∴∠BHP+∠FHP=150°+$β$+30°−$β$=180°,即∠BHP+∠FHP=180°;
当P在CD的下方时,如图②所示，过点P作PT//AB,
设∠IFC=$β$,
∴∠DFP=∠CFI=$β$.
∵PT//AB,AB//CD,
∴PT//CD,
∴∠FPT=∠DFP=$β$.
∵AB//PT,
∴∠BHP=∠HPT=∠HPF+∠FPT=30°+$β$.
∵∠GFD=180°−∠EFC−∠EFG=60°−2$β$,∠FHB=∠CFG=120°+2$β$,
∴∠FHP=∠FHB−∠BHP=120°+2$β$−(30°+$β$)=90°+$β$,
∴∠FHP−∠BHP=90°+$β$−(30°+$β$)=60°.综上所述,∠BHP+∠FHP=180°或∠FHP−∠BHP=60°.
4. (2024·常州期中)如图①，已知两条直线$AB$，$CD$被直线$EF$所截，分别交于点$E$、点$F$，$EM$平分$∠ AEF$交$CD$于点$M$，且$∠ FEM=∠ FME$.
(1)判断直线$AB$与直线$CD$是否平行，并说明理由.
(2)如图②，点$G$是射线$MD$上一动点(不与点$M$，$F$重合)，$EH$平分$∠ FEG$交$CD$于点$H$，过点$H$作$HN⊥ EM$于点$N$，设$∠ EHN=α$，$∠ EGF=β$.
①当点$G$在点$F$的右侧时，若$α = 30^{\circ}$，求$β$的度数.
②当点$G$在运动过程中，$α$和$β$之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明.
(1)判断直线$AB$与直线$CD$是否平行，并说明理由.
(2)如图②，点$G$是射线$MD$上一动点(不与点$M$，$F$重合)，$EH$平分$∠ FEG$交$CD$于点$H$，过点$H$作$HN⊥ EM$于点$N$，设$∠ EHN=α$，$∠ EGF=β$.
①当点$G$在点$F$的右侧时，若$α = 30^{\circ}$，求$β$的度数.
②当点$G$在运动过程中，$α$和$β$之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明.
答案：
4.(1)AB//CD.理由如下:
∵EM平分∠AEF,
∴∠AEM=∠FEM.
∵∠FEM=∠FME,
∴∠AEM=∠FME,
∴AB//CD.
(2)①如图①,
∵HN⊥EM,
∴∠HNE=90°.
∵$α$=30°,
∴∠HEN=90°−∠EHN=60°.
∵EH平分∠FEG,
∴∠HEF=∠HEG.
∵∠AEM=∠MEF,
∴∠HEN=$\frac{1}{2}$∠FEG+$\frac{1}{2}$∠AEF=$\frac{1}{2}$∠AEG=60°,
∴∠AEG=120°,
∴∠GEB=60°.
∵AB//CD,
∴∠BEG=∠EGF=$β$=60°.
②猜想:$α$=$\frac{1}{2}$$β$或$α$=90°−$\frac{1}{2}$$β$,证明如下:
当点G在点F的右侧时,如图①,
∵AB//CD,
∴∠BEG=∠EGH=$β$,
∴∠AEG=180°−$β$.
∵∠AEM=∠MEF,∠HEF=∠HEG,
∴∠HEN=$\frac{1}{2}$∠AEG=90°−$\frac{1}{2}$$β$.
∵HN⊥EM,
∴∠HNE=90°,
∴$α$=∠EHN=90°−∠HEN=$\frac{1}{2}$$β$.
当点G在点F的左侧时,如图②,
∵AB//CD,
∴∠BEG=180°−∠EGH=180°−$β$,∠AEG=∠EGH=$β$.
∵EM平分∠AEF,EH平分∠FEG,
∴∠MEF=∠AEM=∠EMF=$\frac{1}{2}$∠AEF,∠HEF=∠HEG=$\frac{1}{2}$∠FEG,
∴∠HEN=∠MEF−∠HEF=$\frac{1}{2}$(∠AEF−∠FEG)=$\frac{1}{2}$∠AEG=$\frac{1}{2}$$β$.
∵HN⊥EM,
∴∠HNE=90°,
∴$α$=∠EHN=90°−∠HEN=90°−$\frac{1}{2}$$β$.
综上所述,$α$=$\frac{1}{2}$$β$或$α$=90°−$\frac{1}{2}$$β$.
4.(1)AB//CD.理由如下:
∵EM平分∠AEF,
∴∠AEM=∠FEM.
∵∠FEM=∠FME,
∴∠AEM=∠FME,
∴AB//CD.
(2)①如图①,
∵HN⊥EM,
∴∠HNE=90°.
∵$α$=30°,
∴∠HEN=90°−∠EHN=60°.
∵EH平分∠FEG,
∴∠HEF=∠HEG.
∵∠AEM=∠MEF,
∴∠HEN=$\frac{1}{2}$∠FEG+$\frac{1}{2}$∠AEF=$\frac{1}{2}$∠AEG=60°,
∴∠AEG=120°,
∴∠GEB=60°.
∵AB//CD,
∴∠BEG=∠EGF=$β$=60°.
②猜想:$α$=$\frac{1}{2}$$β$或$α$=90°−$\frac{1}{2}$$β$,证明如下:
当点G在点F的右侧时,如图①,
∵AB//CD,
∴∠BEG=∠EGH=$β$,
∴∠AEG=180°−$β$.
∵∠AEM=∠MEF,∠HEF=∠HEG,
∴∠HEN=$\frac{1}{2}$∠AEG=90°−$\frac{1}{2}$$β$.
∵HN⊥EM,
∴∠HNE=90°,
∴$α$=∠EHN=90°−∠HEN=$\frac{1}{2}$$β$.
当点G在点F的左侧时,如图②,
∵AB//CD,
∴∠BEG=180°−∠EGH=180°−$β$,∠AEG=∠EGH=$β$.
∵EM平分∠AEF,EH平分∠FEG,
∴∠MEF=∠AEM=∠EMF=$\frac{1}{2}$∠AEF,∠HEF=∠HEG=$\frac{1}{2}$∠FEG,
∴∠HEN=∠MEF−∠HEF=$\frac{1}{2}$(∠AEF−∠FEG)=$\frac{1}{2}$∠AEG=$\frac{1}{2}$$β$.
∵HN⊥EM,
∴∠HNE=90°,
∴$α$=∠EHN=90°−∠HEN=90°−$\frac{1}{2}$$β$.
综上所述,$α$=$\frac{1}{2}$$β$或$α$=90°−$\frac{1}{2}$$β$.