9. 已知$a^2 - 3a + 1 = 0$,则$a^4 + \frac{1}{a^4} =$
47
.答案：9. 47 解析:因为$a^2 - 3a + 1 = 0$,所以$a - 3 + \frac{1}{a} = 0$,即$a + \frac{1}{a} = 3$,两边平方得$a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 9$,所以$a^2 + \frac{1}{a^2} = 7$,再两边平方得$a^4 + 2 + \frac{1}{a^4} = 49$,所以$a^4 + \frac{1}{a^4} = 47$.
解析：
因为$a^2 - 3a + 1 = 0$，等式两边同时除以$a$（$a≠0$）得$a - 3 + \frac{1}{a} = 0$，即$a + \frac{1}{a} = 3$。
两边平方得$(a + \frac{1}{a})^2 = 3^2$，即$a^2 + 2 · a · \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = 9$，化简得$a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 9$，所以$a^2 + \frac{1}{a^2} = 7$。
再两边平方得$(a^2 + \frac{1}{a^2})^2 = 7^2$，即$a^4 + 2 · a^2 · \frac{1}{a^2} + \frac{1}{a^4} = 49$，化简得$a^4 + 2 + \frac{1}{a^4} = 49$，所以$a^4 + \frac{1}{a^4} = 47$。
47
两边平方得$(a + \frac{1}{a})^2 = 3^2$，即$a^2 + 2 · a · \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = 9$，化简得$a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 9$，所以$a^2 + \frac{1}{a^2} = 7$。
再两边平方得$(a^2 + \frac{1}{a^2})^2 = 7^2$，即$a^4 + 2 · a^2 · \frac{1}{a^2} + \frac{1}{a^4} = 49$，化简得$a^4 + 2 + \frac{1}{a^4} = 49$，所以$a^4 + \frac{1}{a^4} = 47$。
47
10. 小刚把$(2025x + 2022)^2$展开后得到$ax^2 + bx + c$,把$(2024x + 2023)^2$展开后得到$mx^2 + nx + q$,则$a - m$的值为
4049
.答案：10. 4049 解析:$(2025x + 2022)^2 = 2025^2x^2 + 2 × 2025x × 2022 + 2022^2$.因为$(2025x + 2022)^2$展开后得到$ax^2 + bx + c$,所以$a = 2025^2$,$(2024x + 2023)^2 = 2024^2x^2 + 2 × 2024x × 2023 + 2023^2$.因为$(2024x + 2023)^2$展开后得到$mx^2 + nx + q$,所以$m = 2024^2$,所以$a - m = 2025^2 - 2024^2 = (2025 + 2024)(2025 - 2024) = 4049 × 1 = 4049$.
解析：
$a = 2025^2$，$m = 2024^2$，$a - m = 2025^2 - 2024^2 = (2025 + 2024)(2025 - 2024) = 4049×1 = 4049$
11. (2025·合肥期末)某校七年级两个班级的劳动实践基地抽象出来的几何模型如图所示, 两个边长分别为$m,n(m ＞ n)$的正方形,其中重叠部分$B$为池塘,阴影部分$S_1,S_2$分别表示两个班级的基地面积.若$m + n = 8,mn = 15$,则$S_1 - S_2$的值为
16
.答案：11. 16 解析:因为$m + n = 8$,$mn = 15$,所以$(m - n)^2 = (m + n)^2 - 4mn = 64 - 60 = 4$,所以$m - n = 2$,所以$(m + n)(m - n) = m^2 - n^2 = 16$,所以$S_1 - S_2 = m^2 - S_{空白} - (n^2 - S_{空白}) = m^2 - n^2 = 16$.
解析：
解：由题意得，$S_1 = m^2 - S_{空白}$，$S_2 = n^2 - S_{空白}$，则$S_1 - S_2 = (m^2 - S_{空白}) - (n^2 - S_{空白}) = m^2 - n^2$。
因为$m + n = 8$，$mn = 15$，所以$(m - n)^2 = (m + n)^2 - 4mn = 8^2 - 4×15 = 64 - 60 = 4$，又因为$m ＞ n$，所以$m - n = 2$。
则$m^2 - n^2 = (m + n)(m - n) = 8×2 = 16$，即$S_1 - S_2 = 16$。
16
因为$m + n = 8$，$mn = 15$，所以$(m - n)^2 = (m + n)^2 - 4mn = 8^2 - 4×15 = 64 - 60 = 4$，又因为$m ＞ n$，所以$m - n = 2$。
则$m^2 - n^2 = (m + n)(m - n) = 8×2 = 16$，即$S_1 - S_2 = 16$。
16
12. 若$x,y$满足$x + 2y = 2,xy = -1$,求下列各式的值.
(1)$(x - 2y)^2$;
(2)$x^4 + 16y^4$.
(1)$(x - 2y)^2$;
(2)$x^4 + 16y^4$.
答案：12. (1) $(x - 2y)^2 = (x + 2y)^2 - 8xy$.因为$x + 2y = 2$,$xy = -1$,则原式$= 2^2 - 8 × (-1) = 4 + 8 = 12$.
(2) $x^4 + 16y^4 = (x^2 + 4y^2)^2 - 8(xy)^2 = [(x + 2y)^2 - 4xy]^2 - 8(xy)^2$.因为$x + 2y = 2$,$xy = -1$,则原式$= [2^2 - 4 × (-1)]^2 - 8 × (-1)^2 = 8^2 - 8 = 56$.
(2) $x^4 + 16y^4 = (x^2 + 4y^2)^2 - 8(xy)^2 = [(x + 2y)^2 - 4xy]^2 - 8(xy)^2$.因为$x + 2y = 2$,$xy = -1$,则原式$= [2^2 - 4 × (-1)]^2 - 8 × (-1)^2 = 8^2 - 8 = 56$.
13. 【观察】:$(2 + 3)^2 - 2^2 = 7×3;(4 + 3)^2 - 4^2 = 11×3$.
嘉嘉发现规律:比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除.
【验证】:(1)$(6 + 3)^2 - 6^2$的结果是3的
(2)设偶数为$2n$($n$为整数),试说明比$2n$大3的数与$2n$的平方差能被3整除.
【延伸】:(3)比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数是几?请说明理由.
嘉嘉发现规律:比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除.
【验证】:(1)$(6 + 3)^2 - 6^2$的结果是3的
15
倍.(2)设偶数为$2n$($n$为整数),试说明比$2n$大3的数与$2n$的平方差能被3整除.
【延伸】:(3)比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数是几?请说明理由.
答案：13. (1) 15 解析:由题意得$(6 + 3)^2 - 6^2 = 15 × 3$,所以$(6 + 3)^2 - 6^2$是 3 的 15 倍.
(2) 由题意得偶数为$2n$,比偶数大 3 的数为$(2n + 3)$,所以$(2n + 3)^2 - (2n)^2 = (2n + 3 + 2n)(2n + 3 - 2n) = 3(4n + 3)$.因为$4n + 3$为整数,所以$3(4n + 3)$能被 3 整除.
(3) 余数为 3.理由:设一个整数为$n$,比$n$大 3 的数为$n + 3$,$(n + 3)^2 - n^2 = (n + 3 + n)(n + 3 - n) = 6n + 9 = 6(n + 1) + 3$,所以$(n + 3)^2 - n^2$被 6 除的余数为 3.
(2) 由题意得偶数为$2n$,比偶数大 3 的数为$(2n + 3)$,所以$(2n + 3)^2 - (2n)^2 = (2n + 3 + 2n)(2n + 3 - 2n) = 3(4n + 3)$.因为$4n + 3$为整数,所以$3(4n + 3)$能被 3 整除.
(3) 余数为 3.理由:设一个整数为$n$,比$n$大 3 的数为$n + 3$,$(n + 3)^2 - n^2 = (n + 3 + n)(n + 3 - n) = 6n + 9 = 6(n + 1) + 3$,所以$(n + 3)^2 - n^2$被 6 除的余数为 3.
14. 4张长为$a$、宽为$b(a ＞ b)$的长方形纸片,按如图的方式拼成一个边长为$(a + b)$的正方形,图中空白部分的面积为$S_1$,阴影部分的面积为$S_2$,若$S_1 = S_2$,则$a,b$满足的关系式是 (
A.$a = 1.5b$
B.$a = 2b$
C.$a = 2.5b$
D.$a = 3b$
D
)A.$a = 1.5b$
B.$a = 2b$
C.$a = 2.5b$
D.$a = 3b$
答案：14. D 解析:由题意可得$S_2 = 4 × \frac{1}{2}b(a + b) = 2b(a + b)$,$S_1 = (a + b)^2 - S_2 = (a + b)^2 - 2b(a + b) = (a + b)(a + b - 2b) = (a + b) · (a - b) = a^2 - b^2$.因为$S_1 = S_2$,所以$2b(a + b) = a^2 - b^2$,所以$2b(a + b) = (a + b)(a - b)$.因为$a + b ＞ 0$,所以$2b = a - b$,所以$a = 3b$.故选 D.
15. 观察探索:
$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$;
$(x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 - 1$;
$(x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1) = x^4 - 1$;
……
(1)根据以上规律,则$(x - 1)(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) =$
(2)由此归纳出一般规律:$(x - 1)(x^n + x^{n - 1} + ··· + x + 1) =$
(3)根据以上规律计算:
①$3^{100} + 3^{99} + ··· + 3^2 + 3 + 1$;
②$(-2)^{2025} + (-2)^{2024} + (-2)^{2023} + ··· + (-2)^3 + (-2)^2 + (-2)^1 + 1$;
③$2^{100} + 2^{99} + ··· + 2^3 + 2^2 + 2$.
$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$;
$(x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 - 1$;
$(x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1) = x^4 - 1$;
……
(1)根据以上规律,则$(x - 1)(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) =$
$x^6 - 1$
.(2)由此归纳出一般规律:$(x - 1)(x^n + x^{n - 1} + ··· + x + 1) =$
$x^{n + 1} - 1$
.(3)根据以上规律计算:
①$3^{100} + 3^{99} + ··· + 3^2 + 3 + 1$;
②$(-2)^{2025} + (-2)^{2024} + (-2)^{2023} + ··· + (-2)^3 + (-2)^2 + (-2)^1 + 1$;
③$2^{100} + 2^{99} + ··· + 2^3 + 2^2 + 2$.
答案：15. (1) $x^6 - 1$ (2) $x^{n + 1} - 1$
(3) ① $3^{100} + 3^{99} + ··· + 3^2 + 3 + 1 = \frac{1}{2} × (3 - 1) × (3^{100} + 3^{99} + ··· + 3^2 + 3 + 1) = \frac{3^{101} - 1}{2}$.
② 因为$(-2 - 1)[(-2)^{2025} + (-2)^{2024} + (-2)^{2023} + ··· + (-2)^3 + (-2)^2 + (-2)^1 + 1] = (-2)^{2026} - 1 = 2^{2026} - 1$,所以$(-2)^{2025} + (-2)^{2024} + (-2)^{2023} + ··· + (-2)^3 + (-2)^2 + (-2)^1 + 1 = \frac{1 - 2^{2026}}{3}$.
③ $2^{100} + 2^{99} + ··· + 2^3 + 2^2 + 2 = 2 × (2^{99} + 2^{98} + ··· + 2^2 + 2 + 1) = 2 × [(2 - 1) × (2^{99} + 2^{98} + ··· + 2^2 + 2 + 1)] = 2 × (2^{100} - 1) = 2^{101} - 2$.
(3) ① $3^{100} + 3^{99} + ··· + 3^2 + 3 + 1 = \frac{1}{2} × (3 - 1) × (3^{100} + 3^{99} + ··· + 3^2 + 3 + 1) = \frac{3^{101} - 1}{2}$.
② 因为$(-2 - 1)[(-2)^{2025} + (-2)^{2024} + (-2)^{2023} + ··· + (-2)^3 + (-2)^2 + (-2)^1 + 1] = (-2)^{2026} - 1 = 2^{2026} - 1$,所以$(-2)^{2025} + (-2)^{2024} + (-2)^{2023} + ··· + (-2)^3 + (-2)^2 + (-2)^1 + 1 = \frac{1 - 2^{2026}}{3}$.
③ $2^{100} + 2^{99} + ··· + 2^3 + 2^2 + 2 = 2 × (2^{99} + 2^{98} + ··· + 2^2 + 2 + 1) = 2 × [(2 - 1) × (2^{99} + 2^{98} + ··· + 2^2 + 2 + 1)] = 2 × (2^{100} - 1) = 2^{101} - 2$.