1. 如图，已知方格纸中每个小正方形的边长都是 1.
(1) 请在图中画出三角形Ⅰ关于直线 $ a $ 对称的三角形Ⅱ，再画出三角形Ⅱ关于直线 $ c $ 对称的三角形Ⅲ；
(2) 三角形Ⅰ能否通过一次图形变换得到三角形Ⅲ？若能，请写出变换过程；若不能，请说明理由.
(1) 请在图中画出三角形Ⅰ关于直线 $ a $ 对称的三角形Ⅱ，再画出三角形Ⅱ关于直线 $ c $ 对称的三角形Ⅲ；
(2) 三角形Ⅰ能否通过一次图形变换得到三角形Ⅲ？若能，请写出变换过程；若不能，请说明理由.
答案：
1. (1)作图如下,三角形Ⅱ,三角形Ⅲ即为所求
(2)能,由网格可得,在三角形$BOB'$中$OB=OB',∠BOB'= 90^{\circ }$,三角形Ⅰ绕点O顺时针旋转$90^{\circ }$可得到三角形Ⅲ.
1. (1)作图如下,三角形Ⅱ,三角形Ⅲ即为所求
(2)能,由网格可得,在三角形$BOB'$中$OB=OB',∠BOB'= 90^{\circ }$,三角形Ⅰ绕点O顺时针旋转$90^{\circ }$可得到三角形Ⅲ.
2. (1) 如图①，$ △ A'B'C' $ 是由 $ △ ABC $ 经过平移得到的，则 $ △ A'B'C' $ 还可以看作是 $ △ ABC $ 经过以下哪组图形变换得到的？
① 1 次旋转；② 1 次旋转和 1 次轴对称；③ 2 次旋转；④ 2 次轴对称.
(2) 如图②，$ △ A'B'C' $ 可以看作是 $ △ ABC $ 经过以下哪组图形变换得到的？
① 1 次平移；② 1 次平移和 1 次旋转；③ 1 次平移和 1 次轴对称；④ 2 次轴对称.
(3) 如图③，$ △ A'B'C' $ 可以看作是 $ △ ABC $ 经过以下哪组图形变换得到的？
① 1 次旋转，1 次轴对称；② 1 次平移，1 次轴对称；③ 2 次轴对称；④ 3 次轴对称.
③④
.(填序号)① 1 次旋转；② 1 次旋转和 1 次轴对称；③ 2 次旋转；④ 2 次轴对称.
(2) 如图②，$ △ A'B'C' $ 可以看作是 $ △ ABC $ 经过以下哪组图形变换得到的？
②④
.(填序号)① 1 次平移；② 1 次平移和 1 次旋转；③ 1 次平移和 1 次轴对称；④ 2 次轴对称.
(3) 如图③，$ △ A'B'C' $ 可以看作是 $ △ ABC $ 经过以下哪组图形变换得到的？
①②④
.(填序号)① 1 次旋转，1 次轴对称；② 1 次平移，1 次轴对称；③ 2 次轴对称；④ 3 次轴对称.
答案：2. (1)③④ 解析:先将$△ABC$绕着$B'C$的中点旋转$180^{\circ }$,再将所得的三角形绕着$B'C'$的中点旋转$180^{\circ }$,即可得到$△A'B'C'$;先将$△ABC$沿着$C'C$的垂直平分线翻折,再将所得的三角形沿着过点$C'$与$B'C'$垂直的直线翻折,即可得到$△A'B'C'$.故答案为③④.
技法点拨
图形变换的联系(平移型)
基础变换:1次平移
示例:本题(1)中沿$AA'$方向平移1次
可转变图形变换 说明
2次轴对称 两条对称轴$l_{1},l_{2}$与平移方向$AA'$垂直(说明见正文“方法指导”)
在2条对称轴$l_{1},l_{2}$的基础上新增可抵消的2n次轴对称 (当2条对称轴重合时,2次对称变换后图形回到原处,2次轴对称抵消)
在$l_{1},l_{2}$的基础上,新增2次轴对称变换，2次变换的对称轴$l_{3},l_{4}$重合(可抵消),与$l_{1}$和$l_{2}$相交
$l_{1}$和$l_{3}$的两次轴对称可等价为1次旋转变换，$l_{2}$和$l_{4}$同样可等价为1次旋转变换(说明见正文“方法指导”)
2n次旋转 在4条对称轴$l_{1},l_{2},l_{3},l_{4}$的基础上新增可抵消的成组旋转变换
(2)②④ 解析:先将$△ABC$平移,使C和$C'$重合,然后将所得的三角形绕点C旋转,即可得到$△A'B'C'$,故②正确,符合题意;先将$△ABC$沿着$CC'$的垂直平分线翻折,得到翻折后的点B的对应点$B''$,再将所得的三角形沿着$B''B'$的垂直平分线翻折,即可得到$△A'B'C'$,故④正确,符合题意;而一次平移,一次平移和一次轴对称不能将$△ABC$变换得到$△A'B'C'$,即①③错误,不符合题意.故选②④.
技法点拨
图形变换的联系(同侧型)
基础变换:1次平移+1次旋转
示例:本题(2)中,平移使得点$A,A'$重合,之后绕点A旋转,使得两图形重合
可转变图形变换 说明
4次轴对称 1次平移可转变为2次轴对称,对称轴$l_{1},l_{2}$与平移方向$AA'$垂直
1次旋转可转变为2次轴对称,对称轴$l_{3},l_{4}$交于点A
2次轴对称 当$l_{1},l_{2}$中的一条对称轴与$l_{3},l_{4}$中的一条对称轴重合时,2次轴对称抵消
1次旋转 当2次轴对称抵消,剩余的2次轴对称的对称轴相交时,可转变为1次旋转
其他 可参考“平移型”中新增可抵消的成组图形变换
(3)①②④ 解析:先将$△ABC$沿线段$BB'$的垂直平分线翻折使得$B,B'$两点重合,之后绕点B旋转即可得到$△A'B'C'$,故①正确;先将$△ABC$沿线段$BB'$平移使得$B,B'$两点重合,之后以$∠ABA'$的平分线所在的直线为对称轴翻折即可得到$△A'B'C'$,故②正确;两次轴对称不能将$△ABC$变换得到$△A'B'C'$,故③不正确;先将$△ABC$沿线段$BB'$的垂直平分线翻折使得$B,B'$两点重合,之后以$∠ABA'$的平分线所在的直线为对称轴翻折使得AB与$A'B'$重合,最后以$∠CBC'$的平分线所在的直线为对称轴翻折使得CB与$C'B'$重合,得到$△A'B'C'$,故④正确.故答案为①②④.
技法点拨
图形变换的联系(异侧型)
基础变换:1次平移+1次旋转+1次轴对称
示例:本题(3)中,平移使得点$A,A'$重合,之后绕点A旋转,使得边AB与边$A'B'$重合，最后轴对称使得两图形重合
可转变图形变换 说明
5次轴对称 1次平移可转变为2次轴对称,对称轴$l_{1},l_{2}$与平移方向$AA'$垂直
1次旋转可转变为2次轴对称,对称轴$l_{3},l_{4}$交于点A
最后1次轴对称的对称轴$l_{5}$与$A'B'$重合
3次轴对称 当$l_{1},l_{2}$中的一条对称轴与$l_{3},l_{4}$中的一条对称轴重合,或$l_{3},l_{4}$中的一条对称轴与$l_{5}$重合时,2次轴对称抵消
1次平移+1次轴对称 当2次轴对称抵消时,剩余的3次轴对称,可转变为1次平移与1次轴对称
1次旋转+1次轴对称 当2次轴对称抵消时,剩余的3次轴对称,可转变为1次旋转与1次轴对称
1次轴对称(特例) 当$l_{1},l_{2}$中的一条对称轴与$l_{3},l_{4}$中的一条对称轴重合,且$l_{3},l_{4}$中的一条对称轴与$l_{5}$重合时(非通解,为特殊情况),4次轴对称抵消
技法点拨
图形变换的联系(平移型)
基础变换:1次平移
示例:本题(1)中沿$AA'$方向平移1次
可转变图形变换 说明
2次轴对称 两条对称轴$l_{1},l_{2}$与平移方向$AA'$垂直(说明见正文“方法指导”)
在2条对称轴$l_{1},l_{2}$的基础上新增可抵消的2n次轴对称 (当2条对称轴重合时,2次对称变换后图形回到原处,2次轴对称抵消)
在$l_{1},l_{2}$的基础上,新增2次轴对称变换，2次变换的对称轴$l_{3},l_{4}$重合(可抵消),与$l_{1}$和$l_{2}$相交
$l_{1}$和$l_{3}$的两次轴对称可等价为1次旋转变换，$l_{2}$和$l_{4}$同样可等价为1次旋转变换(说明见正文“方法指导”)
2n次旋转 在4条对称轴$l_{1},l_{2},l_{3},l_{4}$的基础上新增可抵消的成组旋转变换
(2)②④ 解析:先将$△ABC$平移,使C和$C'$重合,然后将所得的三角形绕点C旋转,即可得到$△A'B'C'$,故②正确,符合题意;先将$△ABC$沿着$CC'$的垂直平分线翻折,得到翻折后的点B的对应点$B''$,再将所得的三角形沿着$B''B'$的垂直平分线翻折,即可得到$△A'B'C'$,故④正确,符合题意;而一次平移,一次平移和一次轴对称不能将$△ABC$变换得到$△A'B'C'$,即①③错误,不符合题意.故选②④.
技法点拨
图形变换的联系(同侧型)
基础变换:1次平移+1次旋转
示例:本题(2)中,平移使得点$A,A'$重合,之后绕点A旋转,使得两图形重合
可转变图形变换 说明
4次轴对称 1次平移可转变为2次轴对称,对称轴$l_{1},l_{2}$与平移方向$AA'$垂直
1次旋转可转变为2次轴对称,对称轴$l_{3},l_{4}$交于点A
2次轴对称 当$l_{1},l_{2}$中的一条对称轴与$l_{3},l_{4}$中的一条对称轴重合时,2次轴对称抵消
1次旋转 当2次轴对称抵消,剩余的2次轴对称的对称轴相交时,可转变为1次旋转
其他 可参考“平移型”中新增可抵消的成组图形变换
(3)①②④ 解析:先将$△ABC$沿线段$BB'$的垂直平分线翻折使得$B,B'$两点重合,之后绕点B旋转即可得到$△A'B'C'$,故①正确;先将$△ABC$沿线段$BB'$平移使得$B,B'$两点重合,之后以$∠ABA'$的平分线所在的直线为对称轴翻折即可得到$△A'B'C'$,故②正确;两次轴对称不能将$△ABC$变换得到$△A'B'C'$,故③不正确;先将$△ABC$沿线段$BB'$的垂直平分线翻折使得$B,B'$两点重合,之后以$∠ABA'$的平分线所在的直线为对称轴翻折使得AB与$A'B'$重合,最后以$∠CBC'$的平分线所在的直线为对称轴翻折使得CB与$C'B'$重合,得到$△A'B'C'$,故④正确.故答案为①②④.
技法点拨
图形变换的联系(异侧型)
基础变换:1次平移+1次旋转+1次轴对称
示例:本题(3)中,平移使得点$A,A'$重合,之后绕点A旋转,使得边AB与边$A'B'$重合，最后轴对称使得两图形重合
可转变图形变换 说明
5次轴对称 1次平移可转变为2次轴对称,对称轴$l_{1},l_{2}$与平移方向$AA'$垂直
1次旋转可转变为2次轴对称,对称轴$l_{3},l_{4}$交于点A
最后1次轴对称的对称轴$l_{5}$与$A'B'$重合
3次轴对称 当$l_{1},l_{2}$中的一条对称轴与$l_{3},l_{4}$中的一条对称轴重合,或$l_{3},l_{4}$中的一条对称轴与$l_{5}$重合时,2次轴对称抵消
1次平移+1次轴对称 当2次轴对称抵消时,剩余的3次轴对称,可转变为1次平移与1次轴对称
1次旋转+1次轴对称 当2次轴对称抵消时,剩余的3次轴对称,可转变为1次旋转与1次轴对称
1次轴对称(特例) 当$l_{1},l_{2}$中的一条对称轴与$l_{3},l_{4}$中的一条对称轴重合,且$l_{3},l_{4}$中的一条对称轴与$l_{5}$重合时(非通解,为特殊情况),4次轴对称抵消