1. 填一填。
(1)536 至少加上(
(1)536 至少加上(
1
)就变成 3 的倍数，至少减去(1
)就变成 5 的倍数。答案：1.(1)1 1 【提示】根据 3、5 的倍数的特征填空。
(2)传统文化 古代年龄别称 古人通常用汉语词汇表示年龄。如“不惑”表示四十岁，“古稀”表示七十岁，“耄耋”表示八十至九十岁。小丽的奶奶今年已过古稀之年，未及耄耋之年，且岁数既是 2 的倍数，又有因数 3，小丽的奶奶今年可能是(
72 或 78
)岁。答案：(2)72 或 78 【提示】由题可知小丽的奶奶的岁数同时是 2 和 3 的倍数，且在 70～80 之间，符合题意的只有 72 和 78 两个数。
解析：
72 或 78
(3)$a□ b$是一个三位数，已知$a + b = 15$，且这个三位数是 3 的倍数，$□$中可填的数字有(
4
)个。答案：(3)4 【提示】因为这个三位数是 3 的倍数，且a+b 也是 3 的倍数，那么□里的数一定是 3 的倍数或者 0，所以符合条件的数有 0、3、6、9。
解析：
因为这个三位数是3的倍数，所以各位数字之和是3的倍数。已知$a + b = 15$，设$□$中的数字为$c$，则$a + b + c = 15 + c$是3的倍数。因为15是3的倍数，所以$c$也必须是3的倍数。$c$是一位数，可能的取值为0、3、6、9，共4个。
4
4
(4)若四位数$\overline{5A31}$是 3 的倍数，则 A 最大是(
9
)，最小是(0
)。答案：(4)9 0 【提示】5+3+1=9，因此只要 A 是3 的倍数或 0，该四位数就是 3 的倍数。当这个数是 5931 时，A 最大；当这个数是 5031 时，A 最小。
解析：
一个数是3的倍数，其各位数字之和是3的倍数。四位数$\overline{5A31}$各位数字之和为$5 + A + 3 + 1 = 9 + A$。$9$是3的倍数，所以$A$需是3的倍数或0。$A$是一位数，最大为9，最小为0。
9；0
9；0
2. 从 5、0、4、7 这四个数中选出三个，按要求组数。(写出所有可能)
(1)同时是 2 和 3 的倍数:(
(2)同时是 3 和 5 的倍数:(
(3)同时是 2，3 和 5 的倍数:(
(1)同时是 2 和 3 的倍数:(
450,540,504,570,750
);(2)同时是 3 和 5 的倍数:(
405,450,540,570,705,750
);(3)同时是 2，3 和 5 的倍数:(
450,540,570,750
)。答案：2.(1)450,540,504,570,750
(2)405,450,540,570,705,750
(3)450,540,570,750
【提示】根据 2、3 和 5 的倍数的特征写数。
(2)405,450,540,570,705,750
(3)450,540,570,750
【提示】根据 2、3 和 5 的倍数的特征写数。
3. 选一选。
(1)用 1～5 这五个自然数连续不断地排成一个二十位数 1234512345……这个二十位数一定是(
A.2、3 的倍数
B.2、5 的倍数
C.3、5 的倍数
D.2、3、5 的倍数
(1)用 1～5 这五个自然数连续不断地排成一个二十位数 1234512345……这个二十位数一定是(
C
)。A.2、3 的倍数
B.2、5 的倍数
C.3、5 的倍数
D.2、3、5 的倍数
答案：3.(1)C 【提示】判断一个数是否是 2、3 和 5 的倍数，需分别根据它们的倍数特征进行分析。首先确定该二十位数的最后一位上的数字和各位数字之和，再结合选项选择正确答案。
(2)如果一个数恰好等于它的所有因数(本身除外)相加的和，那么这个数就是完全数。如$6 = 1 + 2 + 3$，因此 6 是完全数。下面的数中，(
A.14
B.15
C.27
D.28
D
)也是完全数。A.14
B.15
C.27
D.28
答案：(2)D 【提示】14 的因数有 1,2,7,14，1+2+7=10，因此 14 不符合题意；15 的因数有 1,3,5,15，1+3+5=9，因此 15 不符合题意；27 的因数有 1,3,9,27，1+3+9=13，因此 27 不符合题意；28 的因数有 1,2,4,7,14,28，1+2+4+7+14=28，因此 28 符合题意。
(3)下列说法正确的是(
①因为$4×5 = 20$，所以 4 和 5 是因数，20 是倍数。
②因为$4.8÷4 = 1.2$，所以 4.8 是 4 的倍数。
③个位上是 1、3、5、7、9 的自然数是奇数。
④相邻的三个非零自然数中，一定有一个数是 3 的倍数。
A.①②③④
B.②③④
C.①③④
D.③④
D
)。①因为$4×5 = 20$，所以 4 和 5 是因数，20 是倍数。
②因为$4.8÷4 = 1.2$，所以 4.8 是 4 的倍数。
③个位上是 1、3、5、7、9 的自然数是奇数。
④相邻的三个非零自然数中，一定有一个数是 3 的倍数。
A.①②③④
B.②③④
C.①③④
D.③④
答案：(3)D 【提示】①中，因数和倍数是相互依存的，只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数，①说法错误；②中，因数、倍数是指整数，不包含小数，说法错误；③中，个位上是 1、3、5、7、9 的自然数是奇数，说法正确；④中，相邻的三个非零自然数中，一定会有一个数是 3 的倍数，说法正确。
4. 实验班原创 推理意识 孙师傅给入室门锁设置了一个四位数开锁密码，他记得自己设置的四位数的前两位是 68，这个四位数既是 2 和 5 的倍数，又是 3 的倍数。为了解锁，他最多需要尝试几次？为什么？
答案：4. 他最多需要尝试 3 次。因为密码可能是 6810、6840 或 6870。
【提示】既是 2 的倍数又是 5 的倍数，说明个位上是 0；6+8+0=14，14+1=15，14+4=18，14+7=21，因此要想是 3 的倍数，十位上的数是1、4 或 7。
【提示】既是 2 的倍数又是 5 的倍数，说明个位上是 0；6+8+0=14，14+1=15，14+4=18，14+7=21，因此要想是 3 的倍数，十位上的数是1、4 或 7。
5. 一个五位数$\overline{AB26C}$，要使这个数同时是 2、3 和 5 的倍数，则$A + B + C$的和最小是多少？最大是多少？(A、B、C 分别代表不同的数)
答案：5. 最小是 4，最大是 16。
【提示】因为这个五位数$\overline {AB26C}$是 2 和 5 的倍数，所以 C=0。因为这个数又是 3 的倍数，所以A+B+2+6+0 的和是 3 的倍数。A+B 的和可能是 1、4、7、10、13、16，因为 A、B、C 分别代表不同的数，所以 B 不可能是 0，A+B 的和不可能是 1，因此 A+B+C 的和最小是 4，最大是 16。
【提示】因为这个五位数$\overline {AB26C}$是 2 和 5 的倍数，所以 C=0。因为这个数又是 3 的倍数，所以A+B+2+6+0 的和是 3 的倍数。A+B 的和可能是 1、4、7、10、13、16，因为 A、B、C 分别代表不同的数，所以 B 不可能是 0，A+B 的和不可能是 1，因此 A+B+C 的和最小是 4，最大是 16。
6. 有一个自然数，它最大的两个因数之和是 123，求这个自然数。
答案：6.$123÷(1+2)=41$$41×2=82$
【提示】一个自然数最大的因数是它本身，它本身加上第二大的因数，和是 123，是一个奇数，则这两个因数一定一奇一偶，所以这个自然数一定有因数2，因此第一大的因数应是第二大的因数的 2 倍，则第二大的因数是$123÷(1+2)=41$，这个自然数是$41×2=82$。
【提示】一个自然数最大的因数是它本身，它本身加上第二大的因数，和是 123，是一个奇数，则这两个因数一定一奇一偶，所以这个自然数一定有因数2，因此第一大的因数应是第二大的因数的 2 倍，则第二大的因数是$123÷(1+2)=41$，这个自然数是$41×2=82$。