1. “转化”是解决问题的常用策略之一，有时画图可以帮助我们找到转化的方法，如下图，可以将算式$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}$转化成：(
1
)$-$($\frac{1}{128}$
)$=$($\frac{127}{128}$
)；也可以将算式$7 + 14 + 28 + 56 + 112 + 224 + 448$转化成(448
)$×$(2
)$-$(7
)$=$(889
)。答案：1. 1 $\frac{1}{128}$ $\frac{127}{128}$ 448 2 7 889 【提示】先看图找出规律，再根据所找规律解答。
解析：
1 $\frac{1}{128}$ $\frac{127}{128}$ 448 2 7 889
2. 观察下面每个图形中圆的排列规律。
$1 = 1^{2}$
$1 + 2 + 1 = 2^{2}$
$1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 3^{2}$
$1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 4^{2}$
你发现了什么？根据发现的规律计算：$1 + 2 + 3 + ··· + 99 + 100 + 99 + ··· + 3 + 2 + 1$。
$1 = 1^{2}$
$1 + 2 + 1 = 2^{2}$
$1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 3^{2}$
$1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 4^{2}$
你发现了什么？根据发现的规律计算：$1 + 2 + 3 + ··· + 99 + 100 + 99 + ··· + 3 + 2 + 1$。
答案：2. 发现：组成正方形的圆的总数等于最中间数的平方，即 $1 + 2 + 3 + ··· + (n - 1) + n + (n - 1) + ··· + 3 + 2 + 1 = n^{2}$。
$1 + 2 + 3 + ··· + 99 + 100 + 99 + ··· + 3 + 2 + 1$
$= 100^{2}$
$= 10000$
【提示】先看图找出规律，再根据所找规律解答。
$1 + 2 + 3 + ··· + 99 + 100 + 99 + ··· + 3 + 2 + 1$
$= 100^{2}$
$= 10000$
【提示】先看图找出规律，再根据所找规律解答。
3. 观察下面每个图形中小正方形的排列规律，并填空。
(1)
1 + 2 + 1 = 2× 2 = 4
1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 3× 3 = 9
1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = (
(2)依据上面的规律，用简便方法计算。
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1
(1)
1 + 2 + 1 = 2× 2 = 4
1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 3× 3 = 9
1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = (
4
) )×(4
) ) = (16
) )(2)依据上面的规律，用简便方法计算。
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1
答案：3. (1) 4 4 16
(2) $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1$
$= 11 × 11$
$= 121$
【提示】先看图找出规律，再根据所找规律解答。
(2) $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1$
$= 11 × 11$
$= 121$
【提示】先看图找出规律，再根据所找规律解答。
4. 一组等式$2× 4 = 3^{2} - 1$，$3× 5 = 4^{2} - 1$，$4× 6 = 5^{2} - 1······$则$2023× 2025 = ( ) $)^{2} - (
1
) $)$，把这个规律用只含有一个字母$n$($n$为大于$2$的自然数)的等式表示出来是($(n - 1) × (n + 1) = n^{2} - 1$
)。答案：4. 2024 1 $(n - 1) × (n + 1) = n^{2} - 1$
【提示】先根据前面的式子得出规律再填空即可。
【提示】先根据前面的式子得出规律再填空即可。
5. 观察图形，先找规律，再填空。
$1 + 3 = 2^{2} = 4$
$1 + 3 + 5 = 3^{2} = 9$
$1 + 3 + 5 + 7 = 4^{2} = 16$
(1)$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = ($$) $) = () $)$
(2)$1 + 3 + 5 + ··· + 17 + 19 = ( ) $)^{2} = () $)$
(3)$1 + 3 + 5 + 7 + ··· + 1997 + 1999 = ( ) $)^{2} = () $)$
$1 + 3 = 2^{2} = 4$
$1 + 3 + 5 = 3^{2} = 9$
$1 + 3 + 5 + 7 = 4^{2} = 16$
(1)$1 + 3 + 5 + 7 + 9 = ($$) $) = () $)$
(2)$1 + 3 + 5 + ··· + 17 + 19 = ( ) $)^{2} = () $)$
(3)$1 + 3 + 5 + 7 + ··· + 1997 + 1999 = ( ) $)^{2} = () $)$
答案：5. (1) $5^{2}$ 25 (2) 10 100 (3) 1000 1000000
【提示】本题考查了数与形结合的规律。根据题意，从 1 开始连续奇数的和等于奇数个数的平方，由此规律解决问题即可。
【提示】本题考查了数与形结合的规律。根据题意，从 1 开始连续奇数的和等于奇数个数的平方，由此规律解决问题即可。