答案：
27. (1)证明: $ \because $ 四边形 ABCD 为菱形,
$ \therefore AD = BC $, $ AD // BC $.
$ \because $ 将边 AD 沿对角线 AC 平移,得到线段 EF,
$ \therefore AD // EF $, $ AD = EF $, $ \therefore BC // EF $, $ BC = EF $,
$ \therefore $ 四边形 BEFC 是平行四边形.
(2)解:能得到. 求解如下:
如答图①,连接 DF.

$ \because $ 将边 AD 沿对角线 AC 平移,得到线段 EF,
$ \therefore AD // EF $, $ AD = EF $, $ \therefore $ 四边形 ADFE 是平行四边形,
$ \therefore DF = AE $, $ DF // AE $.
$ \because $ 四边形 ABCD 为菱形, $ \therefore AC ⊥ BD $, $ \therefore DF ⊥ BD $.
设 $ AE = x $,则 $ DF = x $, $ CE = 6 - x $.
在 $ \mathrm{Rt}△ BDF $ 中, $ BF^{2} = BD^{2} + DF^{2} = 16 + x^{2} $.
当四边形 BEFC 是矩形时, $ CE = BF $,
即 $ (6 - x)^{2} = 16 + x^{2} $,解得 $ x = \frac{5}{3} $,
$ \therefore AE = \frac{5}{3} $,即平移的距离为 $ \frac{5}{3} $.
(3) $ 3\sqrt{5} $ 点拨:由(1)可知四边形 BCFE 是平行四边形, $ \therefore BE = CF $.
由(2)知 $ DF // AE $,
$ \therefore $ 点 F 在直线 DF(与 AC 平行)上运动.
如答图②,作点 B 关于直线 DF 的对称点 $ B' $,连接 $ B'F $,

$ \therefore BE + BF = CF + BF = CF + B'F ≥ B'C $,
当且仅当 $ B' $, F, C 三点共线时取等号.
记 AC 与 BD 交于点 O,则 $ OD = OB = 2 $, $ OC = 3 $.
$ \because BD = B'D = 4 $,
$ \therefore OB' = OD + B'D = 6 $.
在 $ \mathrm{Rt}△ OB'C $ 中, $ B'C = \sqrt{OC^{2} + OB'^{2}} = \sqrt{3^{2} + 6^{2}} = 3\sqrt{5} $,
即 $ BE + BF $ 的最小值为 $ 3\sqrt{5} $.