2. (1) 过点$A$分别画出两条已知直线的垂线。
(2) 过点$B$分别画出两条已知直线的平行线。
(2) 过点$B$分别画出两条已知直线的平行线。
答案：(1) 过点A画两条已知直线的垂线：
将三角尺的一条直角边与其中一条已知直线重合，沿直线平移三角尺，使三角尺的另一条直角边经过点A，沿该直角边画出直线，标注直角符号。
用同样的操作方法，画出点A到另一条已知直线的垂线，标注直角符号。
(2) 过点B画两条已知直线的平行线：
将三角尺的一条边与其中一条已知直线重合，把直尺紧贴三角尺的另一条边，固定直尺后沿直尺平移三角尺，使原本和已知直线重合的三角尺边经过点B，沿该边画出直线。
用同样的操作方法，画出过点B平行于另一条已知直线的平行线。
将三角尺的一条直角边与其中一条已知直线重合，沿直线平移三角尺，使三角尺的另一条直角边经过点A，沿该直角边画出直线，标注直角符号。
用同样的操作方法，画出点A到另一条已知直线的垂线，标注直角符号。
(2) 过点B画两条已知直线的平行线：
将三角尺的一条边与其中一条已知直线重合，把直尺紧贴三角尺的另一条边，固定直尺后沿直尺平移三角尺，使原本和已知直线重合的三角尺边经过点B，沿该边画出直线。
用同样的操作方法，画出过点B平行于另一条已知直线的平行线。
解析：
【分析】
这是一道几何基础作图题，解题时可以分两小问对应对应的作图方法逐步思考：
1. 第一问过点A画两条直线的垂线：首先明确垂线的核心特征是两条直线相交成90°直角，我们可以借助三角尺自带的直角完成作图，先让三角尺的一条直角边和其中一条已知直线完全重合，平移三角尺让另一条直角边刚好经过点A，沿着这条边画出的线就是垂线，最后标注直角符号，再用完全相同的方法画出点A到另一条已知直线的垂线即可。
2. 第二问过点B画两条直线的平行线：回忆平行线的平移作图法，先把三角尺的一条边和已知直线对齐，用直尺靠紧三角尺的另一条边固定方向，平移三角尺让原本对齐已知直线的边经过点B，沿着这条边画出的线就和原直线平行，再重复操作画出另一条平行线就完成全部要求。
【解析】
(1) 过点A作两条已知直线的垂线操作步骤：
① 取直角三角尺，将它的一条直角边与第一条已知直线完全重合；
② 沿该已知直线平移三角尺，使三角尺的另一条直角边恰好经过点A；
③ 沿经过点A的直角边画出直线，在两条直线的相交位置标注直角符号，得到第一条垂线；
④ 重复上述①~③的操作，画出点A到第二条已知直线的垂线，同样标注直角符号。
(2) 过点B作两条已知直线的平行线操作步骤：
① 取三角尺和直尺，将三角尺的一条边与第一条已知直线完全重合；
② 把直尺紧贴三角尺的另一条侧边，保持直尺位置固定；
③ 沿直尺边缘平移三角尺，使之前和已知直线重合的三角尺边恰好经过点B；
④ 沿经过点B的该条三角尺边画出直线，得到第一条平行线；
⑤ 重复上述①~④的操作，画出过点B平行于第二条已知直线的平行线。
【答案】
(1) 过点A画两条已知直线的垂线：将三角尺的一条直角边与其中一条已知直线重合，沿直线平移三角尺，使三角尺的另一条直角边经过点A，沿该直角边画出直线，标注直角符号。用同样的操作方法，画出点A到另一条已知直线的垂线，标注直角符号。
(2) 过点B画两条已知直线的平行线：将三角尺的一条边与其中一条已知直线重合，把直尺紧贴三角尺的另一条边，固定直尺后沿直尺平移三角尺，使原本和已知直线重合的三角尺边经过点B，沿该边画出直线。用同样的操作方法，画出过点B平行于另一条已知直线的平行线。
【知识点】
过点作已知直线的垂线，过点作已知直线的平行线
【点评】
本题是小学几何入门的经典基础作图题，重点考察学生对垂线、平行线作图操作规范的掌握，操作时要注意三角尺和直线对齐的过程不能留缝隙，平移过程中三角尺不能发生偏转，画垂线时必须标注直角符号，保证作图的严谨性和准确性。
【难度系数】
0.7
这是一道几何基础作图题，解题时可以分两小问对应对应的作图方法逐步思考：
1. 第一问过点A画两条直线的垂线：首先明确垂线的核心特征是两条直线相交成90°直角，我们可以借助三角尺自带的直角完成作图，先让三角尺的一条直角边和其中一条已知直线完全重合，平移三角尺让另一条直角边刚好经过点A，沿着这条边画出的线就是垂线，最后标注直角符号，再用完全相同的方法画出点A到另一条已知直线的垂线即可。
2. 第二问过点B画两条直线的平行线：回忆平行线的平移作图法，先把三角尺的一条边和已知直线对齐，用直尺靠紧三角尺的另一条边固定方向，平移三角尺让原本对齐已知直线的边经过点B，沿着这条边画出的线就和原直线平行，再重复操作画出另一条平行线就完成全部要求。
【解析】
(1) 过点A作两条已知直线的垂线操作步骤：
① 取直角三角尺，将它的一条直角边与第一条已知直线完全重合；
② 沿该已知直线平移三角尺，使三角尺的另一条直角边恰好经过点A；
③ 沿经过点A的直角边画出直线，在两条直线的相交位置标注直角符号，得到第一条垂线；
④ 重复上述①~③的操作，画出点A到第二条已知直线的垂线，同样标注直角符号。
(2) 过点B作两条已知直线的平行线操作步骤：
① 取三角尺和直尺，将三角尺的一条边与第一条已知直线完全重合；
② 把直尺紧贴三角尺的另一条侧边，保持直尺位置固定；
③ 沿直尺边缘平移三角尺，使之前和已知直线重合的三角尺边恰好经过点B；
④ 沿经过点B的该条三角尺边画出直线，得到第一条平行线；
⑤ 重复上述①~④的操作，画出过点B平行于第二条已知直线的平行线。
【答案】
(1) 过点A画两条已知直线的垂线：将三角尺的一条直角边与其中一条已知直线重合，沿直线平移三角尺，使三角尺的另一条直角边经过点A，沿该直角边画出直线，标注直角符号。用同样的操作方法，画出点A到另一条已知直线的垂线，标注直角符号。
(2) 过点B画两条已知直线的平行线：将三角尺的一条边与其中一条已知直线重合，把直尺紧贴三角尺的另一条边，固定直尺后沿直尺平移三角尺，使原本和已知直线重合的三角尺边经过点B，沿该边画出直线。用同样的操作方法，画出过点B平行于另一条已知直线的平行线。
【知识点】
过点作已知直线的垂线，过点作已知直线的平行线
【点评】
本题是小学几何入门的经典基础作图题，重点考察学生对垂线、平行线作图操作规范的掌握，操作时要注意三角尺和直线对齐的过程不能留缝隙，平移过程中三角尺不能发生偏转，画垂线时必须标注直角符号，保证作图的严谨性和准确性。
【难度系数】
0.7
3. (1) 画一个正方形，边长$3$厘米。
(2) 画一个长方形，宽$2$厘米，长比宽多$2$厘米。
(2) 画一个长方形，宽$2$厘米，长比宽多$2$厘米。
答案：(1)
1. 用直尺画一条长3厘米的线段。
2. 借助三角板的直角，从这条线段的两个端点向同一侧，分别画出两条长3厘米、与已知线段成直角的线段。
3. 连接两条新线段的剩余两个端点，得到边长3厘米的正方形。
(2)
2+2=4（厘米）
1. 用直尺画一条长4厘米的线段。
2. 借助三角板的直角，从这条线段的两个端点向同一侧，分别画出两条长2厘米、与已知线段成直角的线段。
3. 连接两条新线段的剩余两个端点，得到长4厘米、宽2厘米的长方形。
1. 用直尺画一条长3厘米的线段。
2. 借助三角板的直角，从这条线段的两个端点向同一侧，分别画出两条长3厘米、与已知线段成直角的线段。
3. 连接两条新线段的剩余两个端点，得到边长3厘米的正方形。
(2)
2+2=4（厘米）
1. 用直尺画一条长4厘米的线段。
2. 借助三角板的直角，从这条线段的两个端点向同一侧，分别画出两条长2厘米、与已知线段成直角的线段。
3. 连接两条新线段的剩余两个端点，得到长4厘米、宽2厘米的长方形。
解析：
【分析】
这是一道基础几何作图题，我们可以分两小问梳理思路：①画边长3厘米的正方形：先回忆正方形的特征是四条边长度相等、四个内角都是直角，我们可以先画出第一条3厘米的基准边，再借助三角板的直角，从基准边两端画出两条等长且垂直的边，最后补全第四条边即可得到符合要求的正方形。②画指定长方形：首先要先根据题目条件算出长方形的长，已知宽是2厘米，长比宽多2厘米，计算得到长为4厘米，再结合长方形对边相等、四个角都是直角的特征，参照正方形的作图逻辑，先画长再画两条垂直的宽，最后补全剩余边就能得到目标长方形。
【解析】
(1) 边长3厘米正方形的绘制步骤：
① 用直尺画出一条长度为3厘米的线段；
② 借助三角板的直角，将三角板的一条直角边对齐刚画好的线段，从这条线段的两个端点向同一侧，分别画出两条长3厘米、与已知线段成直角的线段；
③ 连接两条新线段的剩余两个端点，即可得到边长3厘米的正方形。
(2) 指定长方形的绘制步骤：
首先计算长方形的长：$2+2=4$（厘米）
① 用直尺画出一条长4厘米的线段作为长方形的长；
② 借助三角板的直角，将三角板的一条直角边对齐刚画好的长线段，从这条线段的两个端点向同一侧，分别画出两条长2厘米、与已知线段成直角的线段作为长方形的宽；
③ 连接两条新线段的剩余两个端点，即可得到长4厘米、宽2厘米的长方形。
【答案】
(1) 按步骤画出边长为3厘米的正方形：①用直尺画一条长3厘米的线段。②借助三角板的直角，从这条线段的两个端点向同一侧，分别画出两条长3厘米、与已知线段成直角的线段。③连接两条新线段的剩余两个端点，得到边长3厘米的正方形。
(2) 先计算得长为$2+2=4$厘米，再按步骤画出指定长方形：①用直尺画一条长4厘米的线段。②借助三角板的直角，从这条线段的两个端点向同一侧，分别画出两条长2厘米、与已知线段成直角的线段。③连接两条新线段的剩余两个端点，得到长4厘米、宽2厘米的长方形。
【知识点】
正方形作图，长方形特征，基础尺规作图
【点评】
本题是小学几何入门的基础操作题，重点考察学生对长方形、正方形边角特征的掌握程度，以及使用直尺、三角板完成规范作图的动手能力，作图时要注意精准测量边的长度，保证四个角为直角，避免出现边长短不一、图形歪斜的问题。
【难度系数】
0.8
这是一道基础几何作图题，我们可以分两小问梳理思路：①画边长3厘米的正方形：先回忆正方形的特征是四条边长度相等、四个内角都是直角，我们可以先画出第一条3厘米的基准边，再借助三角板的直角，从基准边两端画出两条等长且垂直的边，最后补全第四条边即可得到符合要求的正方形。②画指定长方形：首先要先根据题目条件算出长方形的长，已知宽是2厘米，长比宽多2厘米，计算得到长为4厘米，再结合长方形对边相等、四个角都是直角的特征，参照正方形的作图逻辑，先画长再画两条垂直的宽，最后补全剩余边就能得到目标长方形。
【解析】
(1) 边长3厘米正方形的绘制步骤：
① 用直尺画出一条长度为3厘米的线段；
② 借助三角板的直角，将三角板的一条直角边对齐刚画好的线段，从这条线段的两个端点向同一侧，分别画出两条长3厘米、与已知线段成直角的线段；
③ 连接两条新线段的剩余两个端点，即可得到边长3厘米的正方形。
(2) 指定长方形的绘制步骤：
首先计算长方形的长：$2+2=4$（厘米）
① 用直尺画出一条长4厘米的线段作为长方形的长；
② 借助三角板的直角，将三角板的一条直角边对齐刚画好的长线段，从这条线段的两个端点向同一侧，分别画出两条长2厘米、与已知线段成直角的线段作为长方形的宽；
③ 连接两条新线段的剩余两个端点，即可得到长4厘米、宽2厘米的长方形。
【答案】
(1) 按步骤画出边长为3厘米的正方形：①用直尺画一条长3厘米的线段。②借助三角板的直角，从这条线段的两个端点向同一侧，分别画出两条长3厘米、与已知线段成直角的线段。③连接两条新线段的剩余两个端点，得到边长3厘米的正方形。
(2) 先计算得长为$2+2=4$厘米，再按步骤画出指定长方形：①用直尺画一条长4厘米的线段。②借助三角板的直角，从这条线段的两个端点向同一侧，分别画出两条长2厘米、与已知线段成直角的线段。③连接两条新线段的剩余两个端点，得到长4厘米、宽2厘米的长方形。
【知识点】
正方形作图，长方形特征，基础尺规作图
【点评】
本题是小学几何入门的基础操作题，重点考察学生对长方形、正方形边角特征的掌握程度，以及使用直尺、三角板完成规范作图的动手能力，作图时要注意精准测量边的长度，保证四个角为直角，避免出现边长短不一、图形歪斜的问题。
【难度系数】
0.8
4. 在下面的方格纸上画图形。
(1) 由$5$个完全一样的长方形组成的正方形。
(2) 由$2$个正方形和$2$个长方形组成的大长方形。
(1) 由$5$个完全一样的长方形组成的正方形。
(2) 由$2$个正方形和$2$个长方形组成的大长方形。
答案：(1) 画边长为5格的正方形，将其竖直平均分成5个长5格、宽1格的完全相同的小长方形，得到的图形即为所求。
(2) 画长5格、宽4格的大长方形，在大长方形内部距离左侧边2格处画竖直分割线，距离下侧边2格处画水平分割线，分割后得到2个边长为2格的正方形、2个长3格宽2格的长方形，该大长方形即为所求。
(2) 画长5格、宽4格的大长方形，在大长方形内部距离左侧边2格处画竖直分割线，距离下侧边2格处画水平分割线，分割后得到2个边长为2格的正方形、2个长3格宽2格的长方形，该大长方形即为所求。
解析：
【分析】
我们逐个梳理两个画图要求的解题思路：
1. 第一题要5个完全一样的长方形拼成正方形：正方形四条边长度相等，而5是质数，无法拆分为两个大于1的整数相乘，因此只能让每个小长方形的长等于拼成的正方形的边长，同时5个小长方形的宽相加的和等于小长方形的长，也就是小长方形的长是宽的5倍。我们取方格的1格作为小长方形的宽，长就取5格，5个这样的长方形并排摆放，总宽度就是5×1=5格，刚好和长相等，就能拼成边长为5格的正方形。
2. 第二题要2个正方形和2个长方形组成大长方形：可以先设定大长方形的尺寸，通过两条互相垂直的分割线，直接把大长方形分成4部分，其中2部分是正方形，剩下2部分自然就是长方形，调整分割线的位置就能满足要求，这类题画法不唯一，只要符合条件都正确。
【解析】
(1) 绘制步骤：
① 在方格纸上画出边长为5格的正方形；
② 从正方形的左侧边开始，沿竖直方向每间隔1格画一条平行于正方形左右侧边的竖直线，一共画4条竖线，就将这个大正方形平均分成了5个长为5格、宽为1格的完全相同的小长方形，符合题目要求。
(2) 参考绘制步骤（画法不唯一）：
① 在方格纸上画出长为5格、宽为4格的大长方形；
② 在距离大长方形左侧边2格的位置，画一条竖直的、和大长方形等高的分割线；
③ 在距离大长方形下侧边2格的位置，画一条水平的、和大长方形等长的分割线；
两条分割线相交后，将大长方形分割为4部分：2个边长为2格的正方形，2个长3格、宽2格的长方形，满足题目要求。
【答案】
画法不唯一，绘制出符合条件的图形即可。
【知识点】
长方形正方形特征，图形拼接
【点评】
本题是动手操作类图形题，重点考察对长方形、正方形边长特征的理解和空间想象能力，第一题需要结合数字5的质数特性推导小长方形的长宽倍数关系，第二题开放度较高，只要组成的图形满足2个正方形、2个长方形的要求都算正确，能有效锻炼学生的图形设计能力。
【难度系数】
0.6
我们逐个梳理两个画图要求的解题思路：
1. 第一题要5个完全一样的长方形拼成正方形：正方形四条边长度相等，而5是质数，无法拆分为两个大于1的整数相乘，因此只能让每个小长方形的长等于拼成的正方形的边长，同时5个小长方形的宽相加的和等于小长方形的长，也就是小长方形的长是宽的5倍。我们取方格的1格作为小长方形的宽，长就取5格，5个这样的长方形并排摆放，总宽度就是5×1=5格，刚好和长相等，就能拼成边长为5格的正方形。
2. 第二题要2个正方形和2个长方形组成大长方形：可以先设定大长方形的尺寸，通过两条互相垂直的分割线，直接把大长方形分成4部分，其中2部分是正方形，剩下2部分自然就是长方形，调整分割线的位置就能满足要求，这类题画法不唯一，只要符合条件都正确。
【解析】
(1) 绘制步骤：
① 在方格纸上画出边长为5格的正方形；
② 从正方形的左侧边开始，沿竖直方向每间隔1格画一条平行于正方形左右侧边的竖直线，一共画4条竖线，就将这个大正方形平均分成了5个长为5格、宽为1格的完全相同的小长方形，符合题目要求。
(2) 参考绘制步骤（画法不唯一）：
① 在方格纸上画出长为5格、宽为4格的大长方形；
② 在距离大长方形左侧边2格的位置，画一条竖直的、和大长方形等高的分割线；
③ 在距离大长方形下侧边2格的位置，画一条水平的、和大长方形等长的分割线；
两条分割线相交后，将大长方形分割为4部分：2个边长为2格的正方形，2个长3格、宽2格的长方形，满足题目要求。
【答案】
画法不唯一，绘制出符合条件的图形即可。
【知识点】
长方形正方形特征，图形拼接
【点评】
本题是动手操作类图形题，重点考察对长方形、正方形边长特征的理解和空间想象能力，第一题需要结合数字5的质数特性推导小长方形的长宽倍数关系，第二题开放度较高，只要组成的图形满足2个正方形、2个长方形的要求都算正确，能有效锻炼学生的图形设计能力。
【难度系数】
0.6
5. 下图中$∠ 1$是多少度？
答案：5. 25
解析：
【分析】
解题时首先识别图形是长方形，回忆长方形的内角特征：长方形的四个角都是90°的直角。观察左上角顶点，这个顶点处的直角被图中的斜线分割成了两个锐角，其中一个锐角标注为65°，两个锐角相加的和就等于直角的90°，因此直接用90°减去已知的65°，就可以求出∠1的度数。
【解析】
解：长方形的所有内角均为90°，左上角的直角被斜线分成两个锐角，二者之和为90°，因此：
∠1 = 90° - 65° = 25°
【答案】
25°
【知识点】
长方形内角性质，直角定义
【点评】
本题属于基础的角度计算题型，核心是利用长方形内角为直角的特征，发现拆分的两个锐角和为90°即可快速求解，不需要复杂推导，适合巩固长方形相关的基础性质。
【难度系数】
0.8
解题时首先识别图形是长方形，回忆长方形的内角特征：长方形的四个角都是90°的直角。观察左上角顶点，这个顶点处的直角被图中的斜线分割成了两个锐角，其中一个锐角标注为65°，两个锐角相加的和就等于直角的90°，因此直接用90°减去已知的65°，就可以求出∠1的度数。
【解析】
解：长方形的所有内角均为90°，左上角的直角被斜线分成两个锐角，二者之和为90°，因此：
∠1 = 90° - 65° = 25°
【答案】
25°
【知识点】
长方形内角性质，直角定义
【点评】
本题属于基础的角度计算题型，核心是利用长方形内角为直角的特征，发现拆分的两个锐角和为90°即可快速求解，不需要复杂推导，适合巩固长方形相关的基础性质。
【难度系数】
0.8