11. 如图，在$4×4$的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，$△ ABC$的三个顶点都在格点上，已知$AB=5$，$AC=2\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{5}$.
(1) 画出$△ ABC$；
(2) 判断$△ ABC$的形状，并求$△ ABC$的面积；
(3) 求$△ ABC$的边$AB$上的高.
(1) 画出$△ ABC$；
(2) 判断$△ ABC$的形状，并求$△ ABC$的面积；
(3) 求$△ ABC$的边$AB$上的高.
答案：
11. (1) $△ ABC$ 如图所示.
(2) $△ ABC$ 为直角三角形. $S_{△ ABC}=5$.
(3) $△ ABC$ 的边$AB$上的高是2.
11. (1) $△ ABC$ 如图所示.
(2) $△ ABC$ 为直角三角形. $S_{△ ABC}=5$.
(3) $△ ABC$ 的边$AB$上的高是2.
12. 如图，在$△ ABC$中，$AD⊥ BC$，垂足为$D$，$BD=1$，$AD=2$，$CD=4$.
(1) 求证：$△ ABC$为直角三角形；
(2) $P$为边$BC$上一动点，连接$AP$，若$△ ABP$为等腰三角形，求$BP$的长.
(1) 求证：$△ ABC$为直角三角形；
(2) $P$为边$BC$上一动点，连接$AP$，若$△ ABP$为等腰三角形，求$BP$的长.
答案：(1) 证明：
∵ $AD⊥ BC$，
∴ $∠ ADB=∠ ADC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AB^2=AD^2+BD^2=2^2+1^2=5$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AC^2=AD^2+CD^2=2^2+4^2=20$，
∵ $BC=BD+CD=1+4=5$，∴ $BC^2=25$，
∴ $AB^2+AC^2=5+20=25=BC^2$，
由勾股定理逆定理可得$△ ABC$为直角三角形。
---
(2) 解：
由(1)得$AB=\sqrt{5}$，分三种情况讨论：
1. 当$AB=BP$时：$BP=AB=\sqrt{5}$；
2. 当$AB=AP$时：
∵ $AD⊥ BC$，等腰三角形三线合一，∴ $D$为$BP$中点，
$BP=2BD=2×1=2$；
3. 当$AP=BP$时：
设$BP=x$，则$AP=x$，$DP=x-1$，
在$\mathrm{Rt}△ ADP$中，$AP^2=AD^2+DP^2$，
即$x^2=2^2+(x-1)^2$，解得$x=\frac{5}{2}$。
综上，$BP$的长为$\boldsymbol{2}$或$\boldsymbol{\sqrt{5}}$或$\boldsymbol{\frac{5}{2}}$。
∵ $AD⊥ BC$，
∴ $∠ ADB=∠ ADC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AB^2=AD^2+BD^2=2^2+1^2=5$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AC^2=AD^2+CD^2=2^2+4^2=20$，
∵ $BC=BD+CD=1+4=5$，∴ $BC^2=25$，
∴ $AB^2+AC^2=5+20=25=BC^2$，
由勾股定理逆定理可得$△ ABC$为直角三角形。
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(2) 解：
由(1)得$AB=\sqrt{5}$，分三种情况讨论：
1. 当$AB=BP$时：$BP=AB=\sqrt{5}$；
2. 当$AB=AP$时：
∵ $AD⊥ BC$，等腰三角形三线合一，∴ $D$为$BP$中点，
$BP=2BD=2×1=2$；
3. 当$AP=BP$时：
设$BP=x$，则$AP=x$，$DP=x-1$，
在$\mathrm{Rt}△ ADP$中，$AP^2=AD^2+DP^2$，
即$x^2=2^2+(x-1)^2$，解得$x=\frac{5}{2}$。
综上，$BP$的长为$\boldsymbol{2}$或$\boldsymbol{\sqrt{5}}$或$\boldsymbol{\frac{5}{2}}$。