5. 如图，在四边形$ABCD$中，$AD=BC$，$E$，$F$，$G$分别是$AB$，$CD$，$AC$的中点.若$∠ DAC=20°$，$∠ ACB=66°$，则$∠ FEG$的度数为(
A.$33°$
B.$31°$
C.$23°$
D.$20°$
C
).A.$33°$
B.$31°$
C.$23°$
D.$20°$
答案：5. C
6. 如图，$P$是$△ ABC$内一点，连接$PB$，$PC$，线段$AB$，$PB$，$PC$，$AC$的中点分别为$D$，$E$，$F$，$G$，连接$DE$，$EF$，$FG$，$DG$.
(1)判断四边形$DEFG$的形状，并说明理由；
(2)若$∠ PBC$与$∠ PCB$互余，$PE=3$，$PF=4$，求线段$BC$的长.
(1)判断四边形$DEFG$的形状，并说明理由；
(2)若$∠ PBC$与$∠ PCB$互余，$PE=3$，$PF=4$，求线段$BC$的长.
答案：解：
(1) 四边形$DEFG$是平行四边形，理由如下：
∵ $D$、$G$分别是$AB$、$AC$的中点，
∴ $DG$是$△ ABC$的中位线，
∴ $DG // BC$，$DG=\frac{1}{2}BC$。
同理可得，$EF$是$△ PBC$的中位线，
∴ $EF // BC$，$EF=\frac{1}{2}BC$。
∴ $DG // EF$且$DG=EF$，
∴ 四边形$DEFG$是平行四边形。
(2) ∵ $∠ PBC$与$∠ PCB$互余，
∴ $∠ PBC + ∠ PCB = 90°$，
∴ $∠ BPC = 180° - 90° = 90°$，即$△ PBC$是直角三角形。
∵ $E$是$PB$中点，$PE=3$，∴ $PB=2PE=6$，
∵ $F$是$PC$中点，$PF=4$，∴ $PC=2PF=8$。
在$\mathrm{Rt}△ PBC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{PB^2+PC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$。
即线段$BC$的长为$\boxed{10}$。
(1) 四边形$DEFG$是平行四边形，理由如下：
∵ $D$、$G$分别是$AB$、$AC$的中点，
∴ $DG$是$△ ABC$的中位线，
∴ $DG // BC$，$DG=\frac{1}{2}BC$。
同理可得，$EF$是$△ PBC$的中位线，
∴ $EF // BC$，$EF=\frac{1}{2}BC$。
∴ $DG // EF$且$DG=EF$，
∴ 四边形$DEFG$是平行四边形。
(2) ∵ $∠ PBC$与$∠ PCB$互余，
∴ $∠ PBC + ∠ PCB = 90°$，
∴ $∠ BPC = 180° - 90° = 90°$，即$△ PBC$是直角三角形。
∵ $E$是$PB$中点，$PE=3$，∴ $PB=2PE=6$，
∵ $F$是$PC$中点，$PF=4$，∴ $PC=2PF=8$。
在$\mathrm{Rt}△ PBC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{PB^2+PC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$。
即线段$BC$的长为$\boxed{10}$。
1. 如图，在矩形ABCD中，$AB=2BC$，在CD上取一点E，使$AE=AB$，则$∠ EBC$的度数为(
A.$30°$
B.$25°$
C.$15°$
D.$12°$
C
).A.$30°$
B.$25°$
C.$15°$
D.$12°$
答案：1. C