8. 如图,BD,CE分别为$△ ABC$的中线,BD,CE交于点G,点M,N分别是BG,CG的中点,连接EM,DN.求证:
(1)$EM// DN$;
(2)$CG=2EG$.
(1)$EM// DN$;
(2)$CG=2EG$.
答案：
8. 证明:(1)连接AG,如答图.
∵BD,CE分别为△ABC的中线,点M,N分别是BG,CG
的中点,
∴$AE=BE$,$BM=GM$,$AD=CD$,$CN=GN$,
∴$EM// AG$,$DN// AG$,
∴$EM// DN$.
(2)由(1)知$AE=BE$,$BM=GM$,$AD=CD$,$CN=GN$,
∴$EM=\frac{1}{2}AG$,$DN=\frac{1}{2}AG$,
∴$EM=DN$.
∵$EM// DN$,
∴$∠MEG=∠DNG$,$∠EMG=∠NDG$,
∴△EMG≌△NDG(ASA),
∴$EG=GN$,
∴$CG=2EG$.
第8题答图
8. 证明:(1)连接AG,如答图.
∵BD,CE分别为△ABC的中线,点M,N分别是BG,CG
的中点,
∴$AE=BE$,$BM=GM$,$AD=CD$,$CN=GN$,
∴$EM// AG$,$DN// AG$,
∴$EM// DN$.
(2)由(1)知$AE=BE$,$BM=GM$,$AD=CD$,$CN=GN$,
∴$EM=\frac{1}{2}AG$,$DN=\frac{1}{2}AG$,
∴$EM=DN$.
∵$EM// DN$,
∴$∠MEG=∠DNG$,$∠EMG=∠NDG$,
∴△EMG≌△NDG(ASA),
∴$EG=GN$,
∴$CG=2EG$.
第8题答图
9. (2025·如东期中)如图,在$△ ABC$中,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,AH是边BC上的高.
(1)求证:四边形ADEF是平行四边形;
(2)求证:$∠ DHF=∠ DEF$.
(1)求证:四边形ADEF是平行四边形;
(2)求证:$∠ DHF=∠ DEF$.
答案：
9. 证明:(1)
∵点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,
∴DE和EF是△ABC的中位线.
∴$DE// AC$,$DE=\frac{1}{2}AC=AF$,$EF// AB$,$EF=\frac{1}{2}AB$
$=AD$.
∴四边形ADEF是平行四边形.
(2)如答图,连接DF.
由(1)知$EF=\frac{1}{2}AB$,$DE=\frac{1}{2}AC$.
∵$AH⊥ BC$,D,F分别为AB,AC的中点,
第9题答图
∴$DH=\frac{1}{2}AB$,$FH=\frac{1}{2}AC$.
∴$DH=EF$,$DE=HF$.
又
∵$DF=FD$,
∴△EDF≌△HFD(SSS).
∴$∠DHF=∠DEF$.
9. 证明:(1)
∵点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,
∴DE和EF是△ABC的中位线.
∴$DE// AC$,$DE=\frac{1}{2}AC=AF$,$EF// AB$,$EF=\frac{1}{2}AB$
$=AD$.
∴四边形ADEF是平行四边形.
(2)如答图,连接DF.
由(1)知$EF=\frac{1}{2}AB$,$DE=\frac{1}{2}AC$.
∵$AH⊥ BC$,D,F分别为AB,AC的中点,
第9题答图
∴$DH=\frac{1}{2}AB$,$FH=\frac{1}{2}AC$.
∴$DH=EF$,$DE=HF$.
又
∵$DF=FD$,
∴△EDF≌△HFD(SSS).
∴$∠DHF=∠DEF$.
10. 如图,在四边形ABCD中,$AB=CD$,E,F分别是BC,AD的中点,连接EF并延长,分别与BA,CD的延长线交于点M,N.证明:$∠ BME=∠ CNE$.
模型积累
共边三角形的中位线模型1
|图形| | |
| ---- | ---- | ---- |
|条件|P,E,F分别为AC,AD,BC的中点,$AB=CD$|$AB=CD$,E,F分别为AD,BC的中点|
|结论|$△ PEF$为等腰三角形|$∠ P=∠ CQF$|
模型积累
共边三角形的中位线模型1
|图形| | |
| ---- | ---- | ---- |
|条件|P,E,F分别为AC,AD,BC的中点,$AB=CD$|$AB=CD$,E,F分别为AD,BC的中点|
|结论|$△ PEF$为等腰三角形|$∠ P=∠ CQF$|
答案：
10. 证明:连接BD,取BD的中点H,连接HE,HF,如答图.
∵E,F分别是BC,AD的中点,
∴$FH// BM$,$FH=\frac{1}{2}AB$,
$EH// CN$,$EH=\frac{1}{2}CD$,
∴$∠BME=∠HFE$,
$∠CNE=∠HEF$.
∵$AB=CD$,
∴$FH=EH$,
∴$∠HFE=∠HEF$,
∴$∠BME=∠CNE$.
第10题答图
10. 证明:连接BD,取BD的中点H,连接HE,HF,如答图.
∵E,F分别是BC,AD的中点,
∴$FH// BM$,$FH=\frac{1}{2}AB$,
$EH// CN$,$EH=\frac{1}{2}CD$,
∴$∠BME=∠HFE$,
$∠CNE=∠HEF$.
∵$AB=CD$,
∴$FH=EH$,
∴$∠HFE=∠HEF$,
∴$∠BME=∠CNE$.
第10题答图