9. (2025·清远一模)如图,菱形$ABCD$的对角线$AC,BD$相交于点$O$,$BE// AC$,$AE// BD$,$OE$与$AB$交于点$F$.
(1)求证:四边形$AEBO$为矩形;
(2)若$OE=13$,$AC=24$,求菱形$ABCD$的面积.
(1)求证:四边形$AEBO$为矩形;
(2)若$OE=13$,$AC=24$,求菱形$ABCD$的面积.
答案：9.(1)证明:
∵BE//AC,AE//BD,
∴四边形AEBO为平行四边形.
∵菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,
∴AC⊥BD.
∴∠AOB=90°.
∴平行四边形AEBO为矩形.
(2)解:
∵菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,
∴$OA=\frac{1}{2}AC=12$.
∵矩形AEBO中,∠OAE=90°,OE=13,
∴$AE=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5$.
∴$S_{矩形AOBE}=5×12=60$.
∴$S_{菱形ABCD}=2S_{矩形AOBE}=120$.
∵BE//AC,AE//BD,
∴四边形AEBO为平行四边形.
∵菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,
∴AC⊥BD.
∴∠AOB=90°.
∴平行四边形AEBO为矩形.
(2)解:
∵菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,
∴$OA=\frac{1}{2}AC=12$.
∵矩形AEBO中,∠OAE=90°,OE=13,
∴$AE=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5$.
∴$S_{矩形AOBE}=5×12=60$.
∴$S_{菱形ABCD}=2S_{矩形AOBE}=120$.
10. (2025·宿迁期中)如图,在菱形$ABCD$中,点$E,F$分别在边$AB,BC$上,$BE=BF$,$DE,DF$分别与$AC$交于点$M,N$.
求证:(1)$△ ADE≌△ CDF$;(2)$ME=NF$.
求证:(1)$△ ADE≌△ CDF$;(2)$ME=NF$.
答案：10.证明:(1)
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠DAB=∠DCB,AB=BC=CD=DA.
∵BE=BF,
∴BA-BE=BC-BF,即AE=CF.
在△ADE和△CDF中,$\{\begin{array}{l} AD=CD,\\ ∠DAE=∠DCF,\\ AE=CF,\end{array} $
∴△ADE≅△CDF(SAS).
(2)
∵△ADE≅△CDF,
∴∠AED=∠CFD,即∠AEM
=∠CFN.
∵BA=BC,
∴∠BAC=∠BCA,即∠EAM=∠FCN.
又
∵AE=CF,
∴△AEM≅△CFN(ASA).
∴ME=NF.
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠DAB=∠DCB,AB=BC=CD=DA.
∵BE=BF,
∴BA-BE=BC-BF,即AE=CF.
在△ADE和△CDF中,$\{\begin{array}{l} AD=CD,\\ ∠DAE=∠DCF,\\ AE=CF,\end{array} $
∴△ADE≅△CDF(SAS).
(2)
∵△ADE≅△CDF,
∴∠AED=∠CFD,即∠AEM
=∠CFN.
∵BA=BC,
∴∠BAC=∠BCA,即∠EAM=∠FCN.
又
∵AE=CF,
∴△AEM≅△CFN(ASA).
∴ME=NF.
11. 已知四边形$ABCD$是菱形,$AB=4$,$∠ ABC=60°$,$∠ EAF$的两边分别与线段$CB,DC$交于点$E,F$,且$∠ EAF=60°$,连接$EF$.
(1)如图①,当$E$是线段$CB$的中点时,写出线段$AE,EF,AF$之间的数量关系;
(2)如图②,当$E$是线段$CB$上任意一点时(不与点$B,C$重合),求证:$BE=CF$.
(1)如图①,当$E$是线段$CB$的中点时,写出线段$AE,EF,AF$之间的数量关系;
(2)如图②,当$E$是线段$CB$上任意一点时(不与点$B,C$重合),求证:$BE=CF$.
答案：
11.(1)解:AE=EF=AF.
理由:如答图①,连接AC.
∵四边形ABCD是菱形,∠B=60°,
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠D=60°,
∴△ABC,△ADC是等边三角形,
∴∠BAC=∠DAC=60°.
∵BE=EC,
∴∠BAE=∠CAE=30°,AE⊥BC.
∵∠EAF=60°,
∴∠CAF=∠DAF=30°,
∴AF⊥CD,
∴AE=AF,
∴△AEF是等边三角形,
∴AE=EF=AF.
(2)证明:连接AC,如答图②.
∵∠BAC=∠EAF=60°,
∴∠BAE=∠CAF.
由(1)知△ABC,△ACD是等边三角形,
∴AB=AC,∠B=∠ACF.
在△BAE和△CAF中,$\{\begin{array}{l} ∠BAE=∠CAF,\\ BA=CA,\\ ∠B=∠ACF,\end{array} $
∴△BAE≅△CAF,
∴BE=CF.
11.(1)解:AE=EF=AF.
理由:如答图①,连接AC.
∵四边形ABCD是菱形,∠B=60°,
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠D=60°,
∴△ABC,△ADC是等边三角形,
∴∠BAC=∠DAC=60°.
∵BE=EC,
∴∠BAE=∠CAE=30°,AE⊥BC.
∵∠EAF=60°,
∴∠CAF=∠DAF=30°,
∴AF⊥CD,
∴AE=AF,
∴△AEF是等边三角形,
∴AE=EF=AF.
(2)证明:连接AC,如答图②.
∵∠BAC=∠EAF=60°,
∴∠BAE=∠CAF.
由(1)知△ABC,△ACD是等边三角形,
∴AB=AC,∠B=∠ACF.
在△BAE和△CAF中,$\{\begin{array}{l} ∠BAE=∠CAF,\\ BA=CA,\\ ∠B=∠ACF,\end{array} $
∴△BAE≅△CAF,
∴BE=CF.