5. (2025·德阳)如图,点E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.如果$BD=AC$,四边形EFGH的面积为24,$HF=6$,那么$GH=$ (
A.4
B.5
C.8
D.10
B
)A.4
B.5
C.8
D.10
答案：5.B
6. (2025·南开区期中)判断四边形的框架是不是菱形,有以下方法:①检测框架的四条边是不是相等;②检测框架的四个角是不是相等;③检测框架对角线是否互相垂直且相等.其中方法可行的是 (
A.①
B.②
C.①③
D.②③
A
)A.①
B.②
C.①③
D.②③
答案：6.A
7. (2025·保定一模)如图,矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F.若$BE=\frac{7}{4}$,$AF=\frac{25}{4}$,则AC的长为
10
.答案：7.10
8. (2025·济南期末)如图,平行四边形ABCD的面积为12,$AC=BD=6$,AC与BD相交于点O,分别过点C,D作BD,AC的平行线相交于点F.
(1)求证:四边形OCFD是菱形;
(2)若点G是CD的中点,点P是四边形OCFD边上的动点,则PG的最小值是
(1)求证:四边形OCFD是菱形;
(2)若点G是CD的中点,点P是四边形OCFD边上的动点,则PG的最小值是
1
.答案：8.(1)证明:$\because DF// AC,CF// BD,$
∴四边形OCFD是平行四边形.
∵四边形ABCD是平行四边形,$\therefore OA=OC,OB=OD.$
又$\because AC=BD=6,\therefore OC=OD.$
∴平行四边形OCFD是菱形.
(2)1
∴四边形OCFD是平行四边形.
∵四边形ABCD是平行四边形,$\therefore OA=OC,OB=OD.$
又$\because AC=BD=6,\therefore OC=OD.$
∴平行四边形OCFD是菱形.
(2)1
9. (2025·遂宁)如图,在四边形ABCD中,$AB// CD$,点E,F在对角线BD上,$BE=EF=FD$,且$AF⊥ AB$,$CE⊥ CD$.
(1)求证:$△ ABF≌△ CDE$;
(2)连接AE,CF,若$∠ ABD=30°$,请判断四边形AECF的形状,并说明理由.
(1)求证:$△ ABF≌△ CDE$;
(2)连接AE,CF,若$∠ ABD=30°$,请判断四边形AECF的形状,并说明理由.
答案：
9.(1)证明:$\because AB// CD,\therefore ∠ABF=∠CDE.$
$\because AF⊥AB,CE⊥CD,\therefore ∠BAF=∠DCE=90^{\circ }.$
$\because BE=EF=FD,\therefore BE+EF=FD+EF$,即$BF=DE.$
在$△ ABF$和$△ CDE$中,$\{\begin{array}{l} ∠ABF=∠CDE,\\ ∠BAF=∠DCE=90^{\circ },\\ BF=DE,\end{array} $
$\therefore △ ABF≌ △ CDE(AAS).$
(2)解:四边形AECF是菱形,理由如下:
如答图.
$\because ∠ABD=30^{\circ },AB// CD,\therefore ∠CDB=∠ABD=30^{\circ }.$
$\because BE=EF,∠BAF=90^{\circ },$
∴AE是$Rt△ ABF$斜边BF上的中线,$\therefore AE=\frac{1}{2}BF.$
在$Rt△ ABF$中,$∠ABD=30^{\circ },\therefore AF=\frac{1}{2}BF,\therefore AE=AF$
$=\frac{1}{2}BF$,同理$CE=CF=\frac{1}{2}DE.$
$\because BF=DE,\therefore AE=AF=CE=CF$.又$\because ∠EAF≠90^{\circ },$
∴四边形AECF是菱形.
9.(1)证明:$\because AB// CD,\therefore ∠ABF=∠CDE.$
$\because AF⊥AB,CE⊥CD,\therefore ∠BAF=∠DCE=90^{\circ }.$
$\because BE=EF=FD,\therefore BE+EF=FD+EF$,即$BF=DE.$
在$△ ABF$和$△ CDE$中,$\{\begin{array}{l} ∠ABF=∠CDE,\\ ∠BAF=∠DCE=90^{\circ },\\ BF=DE,\end{array} $
$\therefore △ ABF≌ △ CDE(AAS).$
(2)解:四边形AECF是菱形,理由如下:
如答图.
$\because ∠ABD=30^{\circ },AB// CD,\therefore ∠CDB=∠ABD=30^{\circ }.$
$\because BE=EF,∠BAF=90^{\circ },$
∴AE是$Rt△ ABF$斜边BF上的中线,$\therefore AE=\frac{1}{2}BF.$
在$Rt△ ABF$中,$∠ABD=30^{\circ },\therefore AF=\frac{1}{2}BF,\therefore AE=AF$
$=\frac{1}{2}BF$,同理$CE=CF=\frac{1}{2}DE.$
$\because BF=DE,\therefore AE=AF=CE=CF$.又$\because ∠EAF≠90^{\circ },$
∴四边形AECF是菱形.