4. 如图,正方形ABCD中,点E,F分别在边CD,AD上,$AE⊥ BF$于点G.
(1)求证:$AE=BF$;
(2)若$AB=4,CE=1$,求BF的长.
(1)求证:$AE=BF$;
(2)若$AB=4,CE=1$,求BF的长.
答案：4.(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=DA,∠BAF=∠ADE=90°,
∴∠ABF+∠AFB=90°.
∵AE⊥BF,
∴∠AGF=90°,
∴∠EAD+∠AFB=90°,
∴∠ABF=∠DAE.
在△ABF与△DAE中,$\{\begin{array}{l} ∠BAF=∠ADE,\\ AB=DA,\\ ∠ABF=∠DAE,\end{array} $
∴△ABF≌△DAE(ASA).
∴AE=BF.
(2)解:
∵AB=4,
∴CD=AB=4.
∵CE=1,
∴DE=CD-CE=3.
由(1)得,△ABF≌△DAE,
∴AF=DE=3.
在Rt△ABF中,BF=$\sqrt{AB^{2}+AF^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=DA,∠BAF=∠ADE=90°,
∴∠ABF+∠AFB=90°.
∵AE⊥BF,
∴∠AGF=90°,
∴∠EAD+∠AFB=90°,
∴∠ABF=∠DAE.
在△ABF与△DAE中,$\{\begin{array}{l} ∠BAF=∠ADE,\\ AB=DA,\\ ∠ABF=∠DAE,\end{array} $
∴△ABF≌△DAE(ASA).
∴AE=BF.
(2)解:
∵AB=4,
∴CD=AB=4.
∵CE=1,
∴DE=CD-CE=3.
由(1)得,△ABF≌△DAE,
∴AF=DE=3.
在Rt△ABF中,BF=$\sqrt{AB^{2}+AF^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$.
5. 如图,在正方形ABCD中,E是BC的中点,连接DE,过点A作$AG⊥ ED$交DE于点F,交CD于点G.
(1)求证:$△ ADG≌△ DCE$;
(2)连接BF,求证:$AB=FB$.
(1)求证:$△ ADG≌△ DCE$;
(2)连接BF,求证:$AB=FB$.
答案：
5.证明:(1)
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ADG=∠C=90°,AD=DC,又
∵AG⊥DE,
∴∠DAG+∠ADF=90°=∠CDE+∠ADF,
∴∠DAG=∠CDE,
∴△ADG≌△DCE(ASA).
(2)如答图,延长DE交AB的延长线
于点H.
∵E是BC的中点,
∴BE=CE,
又
∵∠C=∠HBE=90°,∠DEC=
∠HEB,
∴△DCE≌△HBE(ASA),
∴BH=DC=AB,
即B是AH的中点.
又
∵∠AFH=90°,
∴Rt△AFH中,BF=$\frac{1}{2}$AH=AB.
5.证明:(1)
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ADG=∠C=90°,AD=DC,又
∵AG⊥DE,
∴∠DAG+∠ADF=90°=∠CDE+∠ADF,
∴∠DAG=∠CDE,
∴△ADG≌△DCE(ASA).
(2)如答图,延长DE交AB的延长线
于点H.
∵E是BC的中点,
∴BE=CE,
又
∵∠C=∠HBE=90°,∠DEC=
∠HEB,
∴△DCE≌△HBE(ASA),
∴BH=DC=AB,
即B是AH的中点.
又
∵∠AFH=90°,
∴Rt△AFH中,BF=$\frac{1}{2}$AH=AB.
6. 如图,在正方形ABCD中,P,Q分别为BC,CD边上的点,且$∠ PAQ=45°$.求证:$PQ=PB+DQ$.
答案：
6.证明:如答图,将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得
到△ABE.
由旋转的性质得,BE=DQ,AE=AQ,∠BAE=∠DAQ.
∵∠PAQ=45°,
∴∠EAP=∠BAE+∠BAP=∠DAQ+∠BAP=90°-
∠PAQ=45°.
在△APE和△APQ中,$\{\begin{array}{l} AE=AQ,\\ ∠EAP=∠QAP=45°,\\ AP=AP,\end{array} $
∴△APE≌△APQ(SAS),
∴PE=PQ.
∵PE=PB+BE,
∴PQ=PB+DQ.
6.证明:如答图,将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得
到△ABE.
由旋转的性质得,BE=DQ,AE=AQ,∠BAE=∠DAQ.
∵∠PAQ=45°,
∴∠EAP=∠BAE+∠BAP=∠DAQ+∠BAP=90°-
∠PAQ=45°.
在△APE和△APQ中,$\{\begin{array}{l} AE=AQ,\\ ∠EAP=∠QAP=45°,\\ AP=AP,\end{array} $
∴△APE≌△APQ(SAS),
∴PE=PQ.
∵PE=PB+BE,
∴PQ=PB+DQ.
7. 如图,四边形ABCD是正方形,E是BC边上的动点(不与点B,C重合),将射线AE绕点A按逆时针方向旋转$45°$后交CD边于点F,AE,AF分别交BD于点G,H.
(1)当$∠ BEA=55°$时,求$∠ HAD$的度数;
(2)设$∠ BEA=α$,试用含$α$的代数式表示$∠ DFA$的大小;
(3)在点E运动的过程中,试探究$∠ BEA$与$∠ FEA$有怎样的数量关系,并说明理由.
(1)当$∠ BEA=55°$时,求$∠ HAD$的度数;
(2)设$∠ BEA=α$,试用含$α$的代数式表示$∠ DFA$的大小;
(3)在点E运动的过程中,试探究$∠ BEA$与$∠ FEA$有怎样的数量关系,并说明理由.
答案：
7.(1)
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠EBA=∠BAD=90°,
∴∠EAB=90°-∠AEB=90°-55°=35°,
∴∠HAD=∠BAD-∠EAF-∠EAB=90°-45°-
35°=10°.
(2)
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠EBA=∠BAD=∠ADF=90°,AB//CD,
∴∠EAB=90°-∠AEB=90°-α,∠DFA=∠FAB,
∴∠DFA=∠FAE+∠EAB=45°+90°-α=135°-α.
(3)∠BEA=∠FEA,理由如下:
如答图,延长CB至点I,使BI=DF,连接AI.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠ADF=∠ABC=90°,
∴∠ABI=90°,
又
∵BI=DF,
∴△DAF≌△BAI(SAS),
∴AF=AI,∠DAF=∠BAI,
∴∠EAI=∠BAI+∠BAE=∠DAF+∠BAE=45°=
∠EAF,又
∵AE是△EAI与△EAF的公共边,
∴△EAI≌△EAF(SAS),
∴∠BEA=∠FEA.
7.(1)
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠EBA=∠BAD=90°,
∴∠EAB=90°-∠AEB=90°-55°=35°,
∴∠HAD=∠BAD-∠EAF-∠EAB=90°-45°-
35°=10°.
(2)
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠EBA=∠BAD=∠ADF=90°,AB//CD,
∴∠EAB=90°-∠AEB=90°-α,∠DFA=∠FAB,
∴∠DFA=∠FAE+∠EAB=45°+90°-α=135°-α.
(3)∠BEA=∠FEA,理由如下:
如答图,延长CB至点I,使BI=DF,连接AI.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠ADF=∠ABC=90°,
∴∠ABI=90°,
又
∵BI=DF,
∴△DAF≌△BAI(SAS),
∴AF=AI,∠DAF=∠BAI,
∴∠EAI=∠BAI+∠BAE=∠DAF+∠BAE=45°=
∠EAF,又
∵AE是△EAI与△EAF的公共边,
∴△EAI≌△EAF(SAS),
∴∠BEA=∠FEA.