1. 如图,按照上北下南,左西右东的规定画出方向十字线,$∠AOE=$
$m°,∠EOF=90°,OM,ON$分别平分$∠AOE$和$∠BOF$,有下列说
法:①点 E 位于点 O 的北偏西$m°$;②图中互余的角有 4 对;③若$∠BOF=4∠AOE$,则
$∠DON=54°$;④若$\frac{∠MON}{∠AOE+∠BOF}=n$,则 n 的倒数是$\frac{2}{3}$.其中正确的有 （
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
$m°,∠EOF=90°,OM,ON$分别平分$∠AOE$和$∠BOF$,有下列说
法:①点 E 位于点 O 的北偏西$m°$;②图中互余的角有 4 对;③若$∠BOF=4∠AOE$,则
$∠DON=54°$;④若$\frac{∠MON}{∠AOE+∠BOF}=n$,则 n 的倒数是$\frac{2}{3}$.其中正确的有 （
B
）A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
答案：1.B 点拔:因为$∠AOE=m°$,所以$∠EOD=90°-m°$,所以点 E 位于点 O 的北偏西$90°-m°$,故①错误;因为$∠EOF=90°$,所以$∠EOD+∠DOF=90°$,$∠AOE+∠BOF=90°$.因为$∠AOD=∠BOD=90°$,所以$∠AOE+∠EOD=90°$,$∠DOF+∠FOB=90°$,$∠AOM+∠MOD=90°$,$∠BON+∠DON=90°$. 因为 OM, ON 分别平分$∠AOE$和$∠BOF$,所以$∠AOM=∠EOM$,$∠BON=∠FON$,所以$∠EOM+∠MOD=90°$,$∠FON+∠DON=90°$,所以题图中互余的角共有 8 对,故②错误;因为$∠BOF=4∠AOE$,$∠AOE+∠BOF=90°$,所以$∠BOF=72°$,所以$∠BON=36°$,所以$∠DON=90°-36°=54°$,故③正确;因为$∠AOE+∠BOF=90°$,所以$∠MOE+∠NOF=\frac{1}{2}(∠AOE+∠BOF)=\frac{1}{2}×90°=45°$,所以$∠MON=90°+45°=135°$,所以$\frac{∠MON}{∠AOE+∠BOF}=\frac{135°}{90°}=\frac{3}{2}=n$,所以n 的倒数是$\frac{2}{3}$,故④正确.所以正确的说法有③④,共2个.
2. 如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠BOD，OE平分∠COF，∠AOD：∠BOF=4：1，则∠AOE的度数是
135°
.答案：2.$135°$ 点拨:因为 OF 平分$∠BOD$,
所以$∠BOD=2∠BOF$,$∠BOF=∠DOF$.
因为$∠AOD:∠BOF=4:1$,
所以$∠AOD:∠BOD=4:2$.
因为$∠AOD+∠BOD=180°$,
所以$∠AOD=120°$,$∠BOD=60°$,
所以$∠AOC=∠BOD=60°$,
$∠BOF=∠DOF=\frac{1}{2}×60°=30°$,
所以$∠COF=180°-∠DOF=150°$.
因为 OE 平分$∠COF$,
所以$∠COE=\frac{1}{2}∠COF=\frac{1}{2}×150°=75°$,
所以$∠AOE=∠AOC+∠COE=60°+75°=135°$.
所以$∠BOD=2∠BOF$,$∠BOF=∠DOF$.
因为$∠AOD:∠BOF=4:1$,
所以$∠AOD:∠BOD=4:2$.
因为$∠AOD+∠BOD=180°$,
所以$∠AOD=120°$,$∠BOD=60°$,
所以$∠AOC=∠BOD=60°$,
$∠BOF=∠DOF=\frac{1}{2}×60°=30°$,
所以$∠COF=180°-∠DOF=150°$.
因为 OE 平分$∠COF$,
所以$∠COE=\frac{1}{2}∠COF=\frac{1}{2}×150°=75°$,
所以$∠AOE=∠AOC+∠COE=60°+75°=135°$.
3. 以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC=40°，将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，即∠DOE=90°。
(1)如图①，若直角三角尺DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD=
(2)如图②，将直角三角尺DOE绕点O顺时针转动到某个位置。
①若OE恰好平分∠AOC，则∠COD=
②若OD在∠BOC内部，请直接写出∠BOD与∠COE之间的数量关系。
(3)将直角三角尺DOE绕点O顺时针转动(OD与OB重合时即停止)的过程中，恰好有∠COD=$\frac{1}{3}$∠AOE，求此时∠BOD的度数。
(1)如图①，若直角三角尺DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD=
50°
。(2)如图②，将直角三角尺DOE绕点O顺时针转动到某个位置。
①若OE恰好平分∠AOC，则∠COD=
20°
；②若OD在∠BOC内部，请直接写出∠BOD与∠COE之间的数量关系。
(3)将直角三角尺DOE绕点O顺时针转动(OD与OB重合时即停止)的过程中，恰好有∠COD=$\frac{1}{3}$∠AOE，求此时∠BOD的度数。
答案：
3.(1)$50°$
(2)①$20°$
②解:因为$∠COD=∠BOC-∠BOD$,$∠COD+∠COE=90°$,
所以$∠BOC-∠BOD+∠COE=90°$,
所以$∠COE-∠BOD=90°-∠BOC$.
因为$∠BOC=40°$,
所以$∠COE-∠BOD=90°-40°=50°$,
即$∠BOD$与$∠COE$之间的数量关系为$∠COE-∠BOD=50°$.
(3)解:①当$∠COD$在$∠BOC$的内部时,如答图①，
因为$∠COD=∠BOC-∠BOD$,而$∠BOC=40°$,
所以$∠COD=40°-∠BOD$.
因为$∠AOE+∠EOD+∠BOD=180°$,$∠EOD=90°$,
所以$∠AOE=90°-∠BOD$.
又因为$∠COD=\frac{1}{3}∠AOE$,
所以$40°-∠BOD=\frac{1}{3}(90°-∠BOD)$,
解得$∠BOD=15°$;
②当$∠COD$在$∠BOC$的外部时,如答图②，
因为$∠COD=∠BOD-∠BOC$,而$∠BOC=40°$,
所以$∠COD=∠BOD-40°$.
因为$∠AOE+∠EOD+∠BOD=180°$,$∠EOD=90°$,
所以$∠AOE=90°-∠BOD$.
又因为$∠COD=\frac{1}{3}∠AOE$,
所以$∠BOD-40°=\frac{1}{3}(90°-∠BOD)$,
解得$∠BOD=52.5°$.
综上所述,$∠BOD$的度数为$15°$或$52.5°$.
3.(1)$50°$
(2)①$20°$
②解:因为$∠COD=∠BOC-∠BOD$,$∠COD+∠COE=90°$,
所以$∠BOC-∠BOD+∠COE=90°$,
所以$∠COE-∠BOD=90°-∠BOC$.
因为$∠BOC=40°$,
所以$∠COE-∠BOD=90°-40°=50°$,
即$∠BOD$与$∠COE$之间的数量关系为$∠COE-∠BOD=50°$.
(3)解:①当$∠COD$在$∠BOC$的内部时,如答图①，
因为$∠COD=∠BOC-∠BOD$,而$∠BOC=40°$,
所以$∠COD=40°-∠BOD$.
因为$∠AOE+∠EOD+∠BOD=180°$,$∠EOD=90°$,
所以$∠AOE=90°-∠BOD$.
又因为$∠COD=\frac{1}{3}∠AOE$,
所以$40°-∠BOD=\frac{1}{3}(90°-∠BOD)$,
解得$∠BOD=15°$;
②当$∠COD$在$∠BOC$的外部时,如答图②，
因为$∠COD=∠BOD-∠BOC$,而$∠BOC=40°$,
所以$∠COD=∠BOD-40°$.
因为$∠AOE+∠EOD+∠BOD=180°$,$∠EOD=90°$,
所以$∠AOE=90°-∠BOD$.
又因为$∠COD=\frac{1}{3}∠AOE$,
所以$∠BOD-40°=\frac{1}{3}(90°-∠BOD)$,
解得$∠BOD=52.5°$.
综上所述,$∠BOD$的度数为$15°$或$52.5°$.