1.数轴是初中数学的一个重要工具,利用数轴可以将数与形进行完美的结合.研究数轴我们发现了很多重要的规律,例如:若数轴上点$M,N$表示的数分别为$m,n$,则$M,N$两点之间的距离$MN=|m-n|$,线段$MN$的中点表示的数为$\frac{m+n}{2}$.如图,数轴上点$M$表示的数为$-1$,点$N$表示的数为$3$.
(1)线段$MN$的长度是________,线段$MN$的中点表示的数是________;
(2)$x$表示数轴上任意一个有理数,则$|x+1|+|x-3|$有最小值是________,$|x+1|-|x-3|$有最大值是________;
(3)点$S$在数轴上表示的数为$x$,且$x$是方程$2x-1=\frac{7}{6}x+4$的解.动点$P$在数轴上运动,若存在某个位置,使得$PM+PN=PS$,则称点$P$是关于点$M,N,S$的“麓山幸运点”,请问在数轴上是否存在“麓山幸运点”?若存在,请求出所有“麓山幸运点”对应的数;若不存在,请说明理由.
(1)线段$MN$的长度是________,线段$MN$的中点表示的数是________;
(2)$x$表示数轴上任意一个有理数,则$|x+1|+|x-3|$有最小值是________,$|x+1|-|x-3|$有最大值是________;
(3)点$S$在数轴上表示的数为$x$,且$x$是方程$2x-1=\frac{7}{6}x+4$的解.动点$P$在数轴上运动,若存在某个位置,使得$PM+PN=PS$,则称点$P$是关于点$M,N,S$的“麓山幸运点”,请问在数轴上是否存在“麓山幸运点”?若存在,请求出所有“麓山幸运点”对应的数;若不存在,请说明理由.
答案：(1)4 1
(2)4 4
(3)解:存在.
解方程$2x-1=\frac{7}{6}x+4$,得$x=6$,
所以点S在数轴上表示的数为6.
设点P表示的数为$y$,
因为$PM+PN=PS$,所以$|y+1|+|y-3|=|y-6|$,
当$y＜-1$时,方程可化为$-y-1+3-y=6-y$,解得$y=-4$;
当$-1≤ y＜3$时,方程可化为$y+1+3-y=6-y$,解得$y=2$;
当$3≤ y＜6$时,方程可化为$y+1+y-3=6-y$,解得$y=\frac{8}{3}$(舍去);
当$y≥6$时,方程可化为$y+1+y-3=y-6$,解得$y=-4$(舍去).
所以在数轴上存在“麓山幸运点”,所对应的数为$-4$或$2$.
(2)4 4
(3)解:存在.
解方程$2x-1=\frac{7}{6}x+4$,得$x=6$,
所以点S在数轴上表示的数为6.
设点P表示的数为$y$,
因为$PM+PN=PS$,所以$|y+1|+|y-3|=|y-6|$,
当$y＜-1$时,方程可化为$-y-1+3-y=6-y$,解得$y=-4$;
当$-1≤ y＜3$时,方程可化为$y+1+3-y=6-y$,解得$y=2$;
当$3≤ y＜6$时,方程可化为$y+1+y-3=6-y$,解得$y=\frac{8}{3}$(舍去);
当$y≥6$时,方程可化为$y+1+y-3=y-6$,解得$y=-4$(舍去).
所以在数轴上存在“麓山幸运点”,所对应的数为$-4$或$2$.
2. 如图，线段$AB=32\ \mathrm{cm}$，$P$为线段$AB$上一点(不与点$A,B$重合)，$M,N$两点分别从点$A,P$同时出发沿射线$AB$向右运动，点$M$的运动速度为$4\ \mathrm{cm/s}$，点$N$的运动速度为$3\ \mathrm{cm/s}$，设运动时间为$t\ \mathrm{s}(t≠8)$。
(1)若$AP=8\ \mathrm{cm}$，
①当$t=1$时，$MN$的长为________；
②点$M,N$在运动过程中，线段$BM,MN$之间是否存在某种确定的数量关系？判断并说明理由。
(2)点$M,N$在运动过程中，若$BM=4\ \mathrm{cm}$，$MN=3\ \mathrm{cm}$，直接写出$\dfrac{AP}{PB}$的值。
(1)若$AP=8\ \mathrm{cm}$，
①当$t=1$时，$MN$的长为________；
②点$M,N$在运动过程中，线段$BM,MN$之间是否存在某种确定的数量关系？判断并说明理由。
(2)点$M,N$在运动过程中，若$BM=4\ \mathrm{cm}$，$MN=3\ \mathrm{cm}$，直接写出$\dfrac{AP}{PB}$的值。
答案：(1)①7 cm
②解:$BM=4MN$.理由如下:
因为$AP=8\ \mathrm{cm}$,$AB=32\ \mathrm{cm}$,所以$BP=24\ \mathrm{cm}$.
当$t=8$时,点$M,N$同时到达点$B$.
当$0＜t≤2$时,$AM=4t\ \mathrm{cm}$,$PN=3t\ \mathrm{cm}$,$MP=(8-4t)\mathrm{cm}$,
所以$MN=MP+NP=8-4t+3t=(8-t)\mathrm{cm}$.
因为$BM=32-4t=4(8-t)\mathrm{cm}$,
所以$BM=4MN$.
当$2＜t＜8$时,$AM=4t\ \mathrm{cm}$,$PN=3t\ \mathrm{cm}$,$MP=(4t-8)\mathrm{cm}$.
所以$MN=PN-PM=3t-(4t-8)=(8-t)\mathrm{cm}$.
因为$BM=32-4t=4(8-t)\mathrm{cm}$,
所以$BM=4MN$.
当$t＞8$时,$AM=4t\ \mathrm{cm}$,$PN=3t\ \mathrm{cm}$,$AN=(8+3t)\mathrm{cm}$,
所以$MN=AM-AN=4t-8-3t=(t-8)\mathrm{cm}$.
因为$BM=4t-32=4(t-8)\mathrm{cm}$,所以$BM=4MN$.
综上所述,$BM=4MN$.
(2)解:当点$M$在点$B$的左边,点$N$在点$M$的左边时,
$AP=32-4-3-\frac{32-4}{4}×3=4$,
则$\frac{AP}{PB}=\frac{4}{32-4}=\frac{1}{7}$;
当点$M$在点$B$的左边,点$N$在点$M$的右边时,
$AP=32-4+3-\frac{32-4}{4}×3=10$,则$\frac{AP}{PB}=\frac{10}{32-10}=\frac{5}{11}$;
当点$M$在点$B$的右边,点$N$在点$M$的左边时,
$AP=32+4-3-\frac{32+4}{4}×3=6$,则$\frac{AP}{PB}=\frac{6}{32-6}=\frac{3}{13}$;
当点$M$在点$B$的右边,点$N$在点$M$的右边时,
$AP=32+4+3-\frac{32+4}{4}×3=12$,则$\frac{AP}{PB}=\frac{12}{32-12}=\frac{3}{5}$.
故$\frac{AP}{PB}$的值为$\frac{1}{7}$或$\frac{5}{11}$或$\frac{3}{13}$或$\frac{3}{5}$.
②解:$BM=4MN$.理由如下:
因为$AP=8\ \mathrm{cm}$,$AB=32\ \mathrm{cm}$,所以$BP=24\ \mathrm{cm}$.
当$t=8$时,点$M,N$同时到达点$B$.
当$0＜t≤2$时,$AM=4t\ \mathrm{cm}$,$PN=3t\ \mathrm{cm}$,$MP=(8-4t)\mathrm{cm}$,
所以$MN=MP+NP=8-4t+3t=(8-t)\mathrm{cm}$.
因为$BM=32-4t=4(8-t)\mathrm{cm}$,
所以$BM=4MN$.
当$2＜t＜8$时,$AM=4t\ \mathrm{cm}$,$PN=3t\ \mathrm{cm}$,$MP=(4t-8)\mathrm{cm}$.
所以$MN=PN-PM=3t-(4t-8)=(8-t)\mathrm{cm}$.
因为$BM=32-4t=4(8-t)\mathrm{cm}$,
所以$BM=4MN$.
当$t＞8$时,$AM=4t\ \mathrm{cm}$,$PN=3t\ \mathrm{cm}$,$AN=(8+3t)\mathrm{cm}$,
所以$MN=AM-AN=4t-8-3t=(t-8)\mathrm{cm}$.
因为$BM=4t-32=4(t-8)\mathrm{cm}$,所以$BM=4MN$.
综上所述,$BM=4MN$.
(2)解:当点$M$在点$B$的左边,点$N$在点$M$的左边时,
$AP=32-4-3-\frac{32-4}{4}×3=4$,
则$\frac{AP}{PB}=\frac{4}{32-4}=\frac{1}{7}$;
当点$M$在点$B$的左边,点$N$在点$M$的右边时,
$AP=32-4+3-\frac{32-4}{4}×3=10$,则$\frac{AP}{PB}=\frac{10}{32-10}=\frac{5}{11}$;
当点$M$在点$B$的右边,点$N$在点$M$的左边时,
$AP=32+4-3-\frac{32+4}{4}×3=6$,则$\frac{AP}{PB}=\frac{6}{32-6}=\frac{3}{13}$;
当点$M$在点$B$的右边,点$N$在点$M$的右边时,
$AP=32+4+3-\frac{32+4}{4}×3=12$,则$\frac{AP}{PB}=\frac{12}{32-12}=\frac{3}{5}$.
故$\frac{AP}{PB}$的值为$\frac{1}{7}$或$\frac{5}{11}$或$\frac{3}{13}$或$\frac{3}{5}$.