1. (2025·常州中考)如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则AB与CD平行.这一判断过程体现的数学依据是(
A.垂线段最短
B.内错角相等,两直线平行
C.两点确定一条直线
D.平行于同一条直线的两条直线平行
B
).A.垂线段最短
B.内错角相等,两直线平行
C.两点确定一条直线
D.平行于同一条直线的两条直线平行
答案：1. B [解析]由题意,得∠A=∠D,所以AB//CD(内错角相等,两直线平行).故选B.
2. (2025·泰州泰兴期末)如图，下列条件中，能判断AD//BC的是(
A.∠1=∠3
B.∠2=∠4
C.∠1+∠4=180°
D.∠3+∠4=180°
D
).A.∠1=∠3
B.∠2=∠4
C.∠1+∠4=180°
D.∠3+∠4=180°
答案：2. D [解析]A. ∠1=∠3,不能判定AD//BC,不符合题意;
B. ∠2=∠4,不能判定AD//BC,不符合题意;
C. 因为∠1+∠4=180°,所以AB//CD,不能判定AD//BC,不符合题意;
D. 因为∠3+∠4=180°,所以AD//BC,符合题意.故选D.
B. ∠2=∠4,不能判定AD//BC,不符合题意;
C. 因为∠1+∠4=180°,所以AB//CD,不能判定AD//BC,不符合题意;
D. 因为∠3+∠4=180°,所以AD//BC,符合题意.故选D.
3. 如图，下列条件：①$∠ BAD + ∠ ABC = 180°$；②$∠ 1 = ∠ 2$；③$∠ 3 = ∠ 4$；④$∠ BAD = ∠ BCD$，其中能判定$AD // BC$的是
①②③
。答案：3. ①②③ [解析]①由∠BAD+∠ABC=180°,得到AD//BC,本条件符合题意;②由∠1=∠2,得到AD//BC,本条件符合题意;③由∠3=∠4,得到AD//BC,本条件符合题意;④由∠BAD=∠BCD,不能判定出AD//BC,本条件不符合题意.故其中能判定AD//BC的是①②③.
4. M字型 如图，已知BE，CE分别平分∠ABC，∠BCD，且∠1与∠2互余，试说明AB//CD。
答案：4. 因为BE,CE分别平分∠ABC,∠BCD,
所以∠ABC=2∠1,∠DCB=2∠2.
因为∠1与∠2互余,所以∠1+∠2=90°,
所以∠ABC+∠DCB=2∠1+2∠2=180°,
所以AB//CD.
所以∠ABC=2∠1,∠DCB=2∠2.
因为∠1与∠2互余,所以∠1+∠2=90°,
所以∠ABC+∠DCB=2∠1+2∠2=180°,
所以AB//CD.
5.（2026·宿迁沭阳期末）如图，下列条件：①∠1=∠C；②∠2=∠C；③∠BAC+∠C=180°；④∠ABE+∠2=180°.其中能判断AB//CD的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）.A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：5. C [解析]①由同位角相等,两直线平行判定AB//CD,故①符合题意;②由同位角相等,两直线平行判定AC//DE,不能判定AB//CD,故②不符合题意;③由同旁内角互补,两直线平行判定AB//CD,故③符合题意;④由对顶角的性质得到∠2和∠ABE的对顶角互补,由同旁内角互补,两直线平行判定AB//CD,故④符合题意.故能判断AB//CD的有3个.故选C.
6. (2025·山西太原期末)将量角器和三角板按照如图方式摆放.其中$∠ A=30°$,三角板的直角顶点C与量角器的中心重合,DE为量角器的直径.下列条件中,不能判定$AB// DE$的是(
A.$∠ ACD=30°$
B.$∠ BCE=60°$
C.$∠ B+∠ BCD=180°$
D.$∠ BCE+∠ BCD=180°$
D
).A.$∠ ACD=30°$
B.$∠ BCE=60°$
C.$∠ B+∠ BCD=180°$
D.$∠ BCE+∠ BCD=180°$
答案：6. D [解析]A. 因为∠A=30°,∠ACD=30°,所以∠A=∠ACD,所以AB//DE,不符合题意;
B. 因为∠A=30°,所以∠B=90°-30°=60°.
因为∠BCE=60°,所以∠B=∠BCE,
所以AB//DE,不符合题意;
C. 因为∠B+∠BCD=180°,所以AB//DE,不符合题意;
D. ∠BCE+∠BCD=180°,不能判定AB//DE,符合题意.
故选D.
B. 因为∠A=30°,所以∠B=90°-30°=60°.
因为∠BCE=60°,所以∠B=∠BCE,
所以AB//DE,不符合题意;
C. 因为∠B+∠BCD=180°,所以AB//DE,不符合题意;
D. ∠BCE+∠BCD=180°,不能判定AB//DE,符合题意.
故选D.
7. (2026·南京鼓楼区期末)一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，其中∠D=30°，∠OAB=45°.若固定三角板AOB，改变三角板ACD的位置(其中点A的位置始终不变)，当∠BAD=
165°或15°
时，CD//OB.答案：
7. 165°或15° [解析]
如图(1),当CD//OB时,∠AED=∠O=90°,所以∠EAD=90°-30°=60°,
所以∠BAD=60°-45°=15°;
如图(2),当CD//OB时,过点A作AM//OB,则AM//CD,
所以∠OAM=∠O=90°,∠DAM=∠D=30°,
所以∠BAD=90°+45°+30°=165°.
综上所述,当∠BAD=165°或15°时,CD//OB.
7. 165°或15° [解析]
如图(1),当CD//OB时,∠AED=∠O=90°,所以∠EAD=90°-30°=60°,所以∠BAD=60°-45°=15°;
如图(2),当CD//OB时,过点A作AM//OB,则AM//CD,
所以∠OAM=∠O=90°,∠DAM=∠D=30°,
所以∠BAD=90°+45°+30°=165°.
综上所述,当∠BAD=165°或15°时,CD//OB.
8. 分类讨论思想（2025·镇江句容期末）如图，有一副直角三角板，$∠ ABC=∠ DBE=90°$，$∠ A=60°$，$∠ C=30°$，$∠ D=∠ E=45°$，现将三角板的直角顶点按照图中方式叠放，点D在直线AB上方，且$0°＜∠ ABD＜180°$，则能使三角板ABC有一条边与DE平行的所有$∠ ABD$的度数为________。
答案：
8. 45°或165°或135° [解析]①
如图(1),当DE//AB时,∠ABD=∠D=45°;
②
如图(2),当DE//AC时,延长DB交CA的延长线于点F,所以∠F=∠D=45°.
因为∠BAF=180°-∠BAC=120°,
所以∠ABF=180°-∠BAF-∠F=15°,
所以∠ABD=180°-∠ABF=180°-15°=165°;
③
如图(3),当DE//BC时,∠CBD=∠D=45°,
所以∠ABD=∠ABC+∠CBD=90°+45°=135°.
综上所述,使三角板ABC有一条边与DE平行的所有∠ABD的度数为45°,165°,135°.
8. 45°或165°或135° [解析]①
如图(1),当DE//AB时,∠ABD=∠D=45°;②
如图(2),当DE//AC时,延长DB交CA的延长线于点F,所以∠F=∠D=45°.因为∠BAF=180°-∠BAC=120°,
所以∠ABF=180°-∠BAF-∠F=15°,
所以∠ABD=180°-∠ABF=180°-15°=165°;
③
如图(3),当DE//BC时,∠CBD=∠D=45°,所以∠ABD=∠ABC+∠CBD=90°+45°=135°.
综上所述,使三角板ABC有一条边与DE平行的所有∠ABD的度数为45°,165°,135°.