1. (2025·乐东一模)
如何设计计算油漆用量的方案？
素材1
小明家的一面墙壁由边长为1分米的小正方形密铺而成，上面画了如图
所示的心形图案。他现在准备将心形图案的内部刷上红色的油漆，已知刷1平方分米需要0.02升的油漆。
素材2
奥地利数学家皮克证明了格点多边形的面积公式，格点多边形的面积S与格点多边形内的格点数a和边界上的格点数b有关，面积公式可表示为$S=ma+nb-1$（其中m，n为常数）。
示例：
如图
，格点多边形内的格点数$a=4$，边界上的格点数$b=6$，格点多边形的面积$S=6$。
问题解决
任务1
在图
中画一个格点多边形，并计算它的格点多边形内的格点数a，边界上的格点数b和面积S。
$a=$
$b=$
$S=$
任务2
得出格点多边形的面积公式。
根据图和图的数据，求出常数m，n的值。
续表
任务3
计算油漆的用量.
需要红色油漆多少升？
如何设计计算油漆用量的方案？
素材1
小明家的一面墙壁由边长为1分米的小正方形密铺而成，上面画了如图
所示的心形图案。他现在准备将心形图案的内部刷上红色的油漆，已知刷1平方分米需要0.02升的油漆。素材2
奥地利数学家皮克证明了格点多边形的面积公式，格点多边形的面积S与格点多边形内的格点数a和边界上的格点数b有关，面积公式可表示为$S=ma+nb-1$（其中m，n为常数）。
示例：
如图
，格点多边形内的格点数$a=4$，边界上的格点数$b=6$，格点多边形的面积$S=6$。问题解决
任务1
在图
中画一个格点多边形，并计算它的格点多边形内的格点数a，边界上的格点数b和面积S。$a=$
1
；$b=$
8
；$S=$
4
。任务2
得出格点多边形的面积公式。
根据图和图的数据，求出常数m，n的值。
续表
任务3
计算油漆的用量.
需要红色油漆多少升？
答案：
1. 任务1:答案不唯一,
,$△ ABC$即为所求。
任务2:由题意,得$\begin{cases}4m+6n-1=6,\\m+8n-1=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=1,\\n=\frac{1}{2},\end{cases}$
所以$S=a+\frac{1}{2}b-1.$
任务3:由题意,得$a=26,b=16,$
所以$S=26+\frac{1}{2}×16-1=33$(平方分米),
$33×0.02=0.66$(升).
故需要红色油漆0.66升.
1. 任务1:答案不唯一,
,$△ ABC$即为所求。任务2:由题意,得$\begin{cases}4m+6n-1=6,\\m+8n-1=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=1,\\n=\frac{1}{2},\end{cases}$
所以$S=a+\frac{1}{2}b-1.$
任务3:由题意,得$a=26,b=16,$
所以$S=26+\frac{1}{2}×16-1=33$(平方分米),
$33×0.02=0.66$(升).
故需要红色油漆0.66升.
2. (2026·南通期末)如图(1),对于两条直线$l_1,l_2$被第三条直线$l_3$所截的同旁内角$∠α,∠β$,若满足$∠β=\frac{1}{2}∠α + 60°$,则称$∠β$是$∠α$的关联角.
(1)已知$∠β$是$∠α$的关联角.
①当$∠α=50°$时,$∠β=$
②若直线$l_1// l_2$,则$∠α=$
(2)如图(2),直线$AB,CD$被$EF$所截,已知$∠2$是$∠1$的关联角,$∠4$是$∠3$的关联角,求$∠1$和$∠2$的度数.
(1)已知$∠β$是$∠α$的关联角.
①当$∠α=50°$时,$∠β=$
85
$°$;②若直线$l_1// l_2$,则$∠α=$
80
$°$;(2)如图(2),直线$AB,CD$被$EF$所截,已知$∠2$是$∠1$的关联角,$∠4$是$∠3$的关联角,求$∠1$和$∠2$的度数.
答案：(1)①85 ②80
[解析]①因为$∠β$是$∠α$的关联角，所以$∠β=\frac{1}{2}∠α+60°$.
因为$∠α=50°$,所以$∠β=\frac{1}{2}×50°+60°=85°$.
②因为$l_1//l_2$,所以$∠α+∠β=180°$.
因为$∠β=\frac{1}{2}∠α+60°$,所以$∠α+\frac{1}{2}∠α+60°=180°$,
所以$\frac{3}{2}∠α=120°$,所以$∠α=80°$.
(2)因为$∠4$是$∠3$的关联角,所以$∠4=\frac{1}{2}∠3+60°$.
因为$∠3=180°-∠2,∠4=180°-∠1$,
所以$180°-∠1=\frac{1}{2}(180°-∠2)+60°$,
所以$∠2=2∠1-60°$.
因为$∠2$是$∠1$的关联角,所以$∠2=\frac{1}{2}∠1+60°$,
所以$2∠1-60°=\frac{1}{2}∠1+60°$,
所以$∠1=80°$,则$∠2=100°$.
[解析]①因为$∠β$是$∠α$的关联角，所以$∠β=\frac{1}{2}∠α+60°$.
因为$∠α=50°$,所以$∠β=\frac{1}{2}×50°+60°=85°$.
②因为$l_1//l_2$,所以$∠α+∠β=180°$.
因为$∠β=\frac{1}{2}∠α+60°$,所以$∠α+\frac{1}{2}∠α+60°=180°$,
所以$\frac{3}{2}∠α=120°$,所以$∠α=80°$.
(2)因为$∠4$是$∠3$的关联角,所以$∠4=\frac{1}{2}∠3+60°$.
因为$∠3=180°-∠2,∠4=180°-∠1$,
所以$180°-∠1=\frac{1}{2}(180°-∠2)+60°$,
所以$∠2=2∠1-60°$.
因为$∠2$是$∠1$的关联角,所以$∠2=\frac{1}{2}∠1+60°$,
所以$2∠1-60°=\frac{1}{2}∠1+60°$,
所以$∠1=80°$,则$∠2=100°$.