8. (2025·河北邢台信都区期末)在将等式$3x-2y=2x-2y$变形时，小明的变形过程如下：
因为$3x-2y=2x-2y$，
所以$3x=2x$，(第一步)
所以$3=2$.(第二步)
(1)上述过程中，第一步的依据是什么？
(2)小明第二步的结论正确吗？请说明原因。
因为$3x-2y=2x-2y$，
所以$3x=2x$，(第一步)
所以$3=2$.(第二步)
(1)上述过程中，第一步的依据是什么？
(2)小明第二步的结论正确吗？请说明原因。
答案：8.(1)因为 $3x-2y=2x-2y$,
所以根据等式的基本性质 1,两边都加上 $2y$,得 $3x=2x$,
所以第一步的依据是等式的基本性质 1.
(2)小明第二步的结论不正确.理由如下：
因为根据等式的基本性质 2,等式两边同时除以不为 0 的两个数,等式仍然成立,
所以当 $x=0$ 时,等式的两边都除以 $x$,等式不成立,
所以小明第二步的结论不正确.
所以根据等式的基本性质 1,两边都加上 $2y$,得 $3x=2x$,
所以第一步的依据是等式的基本性质 1.
(2)小明第二步的结论不正确.理由如下：
因为根据等式的基本性质 2,等式两边同时除以不为 0 的两个数,等式仍然成立,
所以当 $x=0$ 时,等式的两边都除以 $x$,等式不成立,
所以小明第二步的结论不正确.
9.假设●，▲，■表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么▲和■，●和▲两种物体的质量之间有什么相等关系呢？
(1)用含有符号●，▲，■的等式加以表示；
(2)使用字母表示(1)中的相等关系，并使字母的系数为尽量小的整数。
(1)用含有符号●，▲，■的等式加以表示；
(2)使用字母表示(1)中的相等关系，并使字母的系数为尽量小的整数。
答案：9.(1)$3▲=2■,3●=▲+●$.
(2)设物体▲的质量为 $x$,物体■的质量为 $y$,则 $3x=2y$.
设物体●的质量为 $z$,则 $3z=x+z$,即 $2z=x$.
(2)设物体▲的质量为 $x$,物体■的质量为 $y$,则 $3x=2y$.
设物体●的质量为 $z$,则 $3z=x+z$,即 $2z=x$.
10. 数形结合思想(2026·陕西西安莲湖区期中)小明用一张正方形的纸板,按如图(1)所示的方式先在纸板四角剪去四个同样大小的小正方形,再将剩余部分折合起来,就可以做成一个无盖的正方体纸盒.
小亮用一张长方形的纸板,按如图(2)所示的方式在纸板的四角剪去两个同样大小的小正方形和两个同样大小的小长方形,剩余部分折合起来恰好可以制作成一个有盖的正方体纸盒.
现有一块长为$a$ cm、宽为$b$ cm的长方形纸板.
(1)若$a=b$,将该纸板按图(1)所示的方式剪去边长为$c$ cm的小正方形,并做成一个无盖的正方体纸盒,你发现$c$与$b$之间存在的数量关系为
(2)若$a＞b$,将该纸板按图(2)所示的方式裁剪,并做成一个有盖的正方体纸盒,你发现$a$与$b$之间存在的数量关系为
(3)在(2)的条件下,若$a=36$ cm,求有盖正方体纸盒的体积.
小亮用一张长方形的纸板,按如图(2)所示的方式在纸板的四角剪去两个同样大小的小正方形和两个同样大小的小长方形,剩余部分折合起来恰好可以制作成一个有盖的正方体纸盒.
现有一块长为$a$ cm、宽为$b$ cm的长方形纸板.
(1)若$a=b$,将该纸板按图(1)所示的方式剪去边长为$c$ cm的小正方形,并做成一个无盖的正方体纸盒,你发现$c$与$b$之间存在的数量关系为
$b=3c$
;(2)若$a＞b$,将该纸板按图(2)所示的方式裁剪,并做成一个有盖的正方体纸盒,你发现$a$与$b$之间存在的数量关系为
$b=\frac{3}{4}a$
;(3)在(2)的条件下,若$a=36$ cm,求有盖正方体纸盒的体积.
答案：
10.(1)$b=3c$ [解析]由题意可知,做成的无盖正方体纸盒的棱长是 $c$,故可得 $b=3c$.
(2)$b=\frac{3}{4}a$ [解析]如图所示.
由图形可得 $a=4c,b=3c$,所以 $c=\frac{a}{4}$,所以 $b=\frac{3}{4}a$.
(3)设剪去的小正方形的边长为 $c$,则 $a=4c$,
所以当 $a=36\ \mathrm{cm}$ 时,$c=9\ \mathrm{cm}$,
所以此时有盖正方体纸盒的体积为 $9×9^2=729(\mathrm{cm}^3)$.
10.(1)$b=3c$ [解析]由题意可知,做成的无盖正方体纸盒的棱长是 $c$,故可得 $b=3c$.
(2)$b=\frac{3}{4}a$ [解析]如图所示.
由图形可得 $a=4c,b=3c$,所以 $c=\frac{a}{4}$,所以 $b=\frac{3}{4}a$.
(3)设剪去的小正方形的边长为 $c$,则 $a=4c$,
所以当 $a=36\ \mathrm{cm}$ 时,$c=9\ \mathrm{cm}$,
所以此时有盖正方体纸盒的体积为 $9×9^2=729(\mathrm{cm}^3)$.