20. 先化简，再求值：$3a^2b - [2ab^2 - 2(ab - \frac{3}{2}a^2b) + ab] + 3ab^2$，其中$a=5$，$b=-2$。
答案：20.$原式=3a^2b-(2ab^2-2ab+3a^2b+ab)+3ab^2$
$=3a^2b-(2ab^2-ab+3a^2b)+3ab^2$
$=3a^2b-2ab^2+ab-3a^2b+3ab^2=ab^2+ab$.
当$a=5,b=-2$时，
$原式=5×(-2)^2+5×(-2)=20-10=10$.
$=3a^2b-(2ab^2-ab+3a^2b)+3ab^2$
$=3a^2b-2ab^2+ab-3a^2b+3ab^2=ab^2+ab$.
当$a=5,b=-2$时，
$原式=5×(-2)^2+5×(-2)=20-10=10$.
解析：
【分析】
解决这类整式化简求值问题，遵循“先化简，再求值”的原则，可有效降低计算难度。思考步骤如下：1. 去括号：按照先小括号、再中括号的顺序操作，若括号前是负号，括号内每一项都要变号；若括号前有系数，要将系数乘遍括号内的每一项，避免漏乘；2. 合并同类项：将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，得到最简整式；3. 代入求值：将a、b的取值代入化简后的整式，按运算顺序计算出最终结果即可。
【解析】
解：先对原式进行化简：
$\begin{aligned}原式&=3a^2b - (2ab^2 - 2ab + 3a^2b + ab) + 3ab^2\\&=3a^2b - (2ab^2 - ab + 3a^2b) + 3ab^2\\&=3a^2b - 2ab^2 + ab - 3a^2b + 3ab^2\\&=(3a^2b - 3a^2b) + (-2ab^2 + 3ab^2) + ab\\&=ab^2 + ab\end{aligned}$
再将$a=5$，$b=-2$代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}原式&=5×(-2)^2 + 5×(-2)\\&=5×4 - 10\\&=20 - 10\\&=10\end{aligned}$
【答案】
10
【知识点】
整式化简求值，去括号法则，合并同类项
【点评】
本题是整式运算的常规题型，核心考查去括号的符号处理和合并同类项的运算能力，解题时需注意括号前为负号时的变号规则，避免漏乘括号前的系数，先化简再求值的方式能有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.75
解决这类整式化简求值问题，遵循“先化简，再求值”的原则，可有效降低计算难度。思考步骤如下：1. 去括号：按照先小括号、再中括号的顺序操作，若括号前是负号，括号内每一项都要变号；若括号前有系数，要将系数乘遍括号内的每一项，避免漏乘；2. 合并同类项：将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，得到最简整式；3. 代入求值：将a、b的取值代入化简后的整式，按运算顺序计算出最终结果即可。
【解析】
解：先对原式进行化简：
$\begin{aligned}原式&=3a^2b - (2ab^2 - 2ab + 3a^2b + ab) + 3ab^2\\&=3a^2b - (2ab^2 - ab + 3a^2b) + 3ab^2\\&=3a^2b - 2ab^2 + ab - 3a^2b + 3ab^2\\&=(3a^2b - 3a^2b) + (-2ab^2 + 3ab^2) + ab\\&=ab^2 + ab\end{aligned}$
再将$a=5$，$b=-2$代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}原式&=5×(-2)^2 + 5×(-2)\\&=5×4 - 10\\&=20 - 10\\&=10\end{aligned}$
【答案】
10
【知识点】
整式化简求值，去括号法则，合并同类项
【点评】
本题是整式运算的常规题型，核心考查去括号的符号处理和合并同类项的运算能力，解题时需注意括号前为负号时的变号规则，避免漏乘括号前的系数，先化简再求值的方式能有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.75
21. 新考法 证明代数结论（2025·南京秦淮区期中）我们知道，像9,45,108,2 898,…这样的自然数能被9整除，一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被9整除，那么这个自然数就能被9整除。你知道其中的道理吗？
(1)当该自然数是两位数时，设它的十位、个位上的数字分别为$a,b$，通常记这个两位数为$\overline{ab}$，则$\overline{ab}=$①______=②______$+(a+b)$，显然②能被9整除，因此，当$a+b$能被9整除时，$\overline{ab}$就能被9整除。
(2)当该自然数是三位数时，请给出解释。
(1)当该自然数是两位数时，设它的十位、个位上的数字分别为$a,b$，通常记这个两位数为$\overline{ab}$，则$\overline{ab}=$①______=②______$+(a+b)$，显然②能被9整除，因此，当$a+b$能被9整除时，$\overline{ab}$就能被9整除。
(2)当该自然数是三位数时，请给出解释。
答案：21.(1)$10a+b$ $9a$
(2)设该三位数的百位,十位,个位上的数字分别为$a,b,c$,
则$\overline{abc}=100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c)=9(11a+b)+(a+b+c)$,
显然$9(11a+b)$能被9整除，
因此,当$a+b+c$能被9整除时,$\overline{abc}$就能被9整除.
(2)设该三位数的百位,十位,个位上的数字分别为$a,b,c$,
则$\overline{abc}=100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c)=9(11a+b)+(a+b+c)$,
显然$9(11a+b)$能被9整除，
因此,当$a+b+c$能被9整除时,$\overline{abc}$就能被9整除.
解析：
【分析】
本题考查9的倍数整除规律的推导，解题思路如下：
（1）首先明确两位数的表示规则：十位数字为a、个位数字为b的两位数，等于十位数字乘10加个位数字，再将所得代数式拆分为“9的倍数+各位数字之和”的形式，即可得到对应空缺内容。
（2）类比两位数的推导方法，先写出三位数的代数式表示，再将其拆分为9的倍数与各位数字之和相加的形式，即可验证三位数的9的整除规律。
【解析】
(1) 两位数$\overline{ab}$的十位数字a代表a个10，个位数字b代表b个1，因此$\overline{ab}=10a+b$；对式子变形可得$10a+b=9a+(a+b)$，因此两个空依次填$10a+b$、$9a$。
(2) 设该三位数的百位、十位、个位上的数字分别为$a,b,c$，则三位数$\overline{abc}$可表示为：
$\overline{abc}=100a+10b+c$
对代数式拆分变形：
$100a+10b+c=99a+9b+a+b+c=9(11a+b)+(a+b+c)$
其中$9(11a+b)$是9的整数倍，可被9整除，因此当各位数字之和$a+b+c$能被9整除时，$\overline{abc}$就能被9整除。
【答案】
(1) $10a+b$；$9a$
(2) 设该三位数的百位,十位,个位上的数字分别为$a,b,c$,
则$\overline{abc}=100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c)=9(11a+b)+(a+b+c)$,
显然$9(11a+b)$能被9整除，
因此,当$a+b+c$能被9整除时,$\overline{abc}$就能被9整除.
【知识点】
多位数的表示，代数式恒等变形，整除的判定
【点评】
本题通过探究9的倍数的整除规律，考查了类比推理的数学思想，需要熟练掌握多位数的代数式表示方法，通过合理拆分代数式即可完成推导，能帮助理解数的整除特征的本质。
【难度系数】
0.7
本题考查9的倍数整除规律的推导，解题思路如下：
（1）首先明确两位数的表示规则：十位数字为a、个位数字为b的两位数，等于十位数字乘10加个位数字，再将所得代数式拆分为“9的倍数+各位数字之和”的形式，即可得到对应空缺内容。
（2）类比两位数的推导方法，先写出三位数的代数式表示，再将其拆分为9的倍数与各位数字之和相加的形式，即可验证三位数的9的整除规律。
【解析】
(1) 两位数$\overline{ab}$的十位数字a代表a个10，个位数字b代表b个1，因此$\overline{ab}=10a+b$；对式子变形可得$10a+b=9a+(a+b)$，因此两个空依次填$10a+b$、$9a$。
(2) 设该三位数的百位、十位、个位上的数字分别为$a,b,c$，则三位数$\overline{abc}$可表示为：
$\overline{abc}=100a+10b+c$
对代数式拆分变形：
$100a+10b+c=99a+9b+a+b+c=9(11a+b)+(a+b+c)$
其中$9(11a+b)$是9的整数倍，可被9整除，因此当各位数字之和$a+b+c$能被9整除时，$\overline{abc}$就能被9整除。
【答案】
(1) $10a+b$；$9a$
(2) 设该三位数的百位,十位,个位上的数字分别为$a,b,c$,
则$\overline{abc}=100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c)=9(11a+b)+(a+b+c)$,
显然$9(11a+b)$能被9整除，
因此,当$a+b+c$能被9整除时,$\overline{abc}$就能被9整除.
【知识点】
多位数的表示，代数式恒等变形，整除的判定
【点评】
本题通过探究9的倍数的整除规律，考查了类比推理的数学思想，需要熟练掌握多位数的代数式表示方法，通过合理拆分代数式即可完成推导，能帮助理解数的整除特征的本质。
【难度系数】
0.7