【分析】
解题首先利用圆柱底面积与半径平方的正比关系，结合乙的注水上升速度算出丙的注水上升速度。由于容器在5cm高度处连通，水位到达5cm后水会向相邻容器溢流，导致水位上升速度发生变化，因此需分三种情况讨论甲乙水位差为0.5cm的情形：①乙水位低于甲，甲水位不变；②乙水位高于甲，甲水位仍不变（此时需注意丙是否先溢流到乙，调整乙的上升速度）；③乙水位到达5cm后，水溢流到甲，甲水位开始上升。针对每种情况列一元一次方程求解，最后验证解是否符合对应阶段的条件即可。
【解析】
解：已知甲、乙、丙底面半径比为$1:2:1$，圆柱底面积$S=π r^2$，因此三个容器底面积比为$1^2:2^2:1^2=1:4:1$。
因为每分钟向乙、丙注入相同量的水，相同体积的水注入容器，水位上升高度与底面积成反比。已知注水1分钟乙水位上升$\frac{5}{6}$cm，因此注水1分钟丙的水位上升高度为$\frac{5}{6} × 4 = \frac{10}{3}$cm。
设注入$t$分钟水后，甲与乙的水位高度差为0.5cm，分三种情况讨论：
① 当乙水位低于甲水位，甲水位保持1cm不变时：
列方程：$1 - \frac{5}{6}t = 0.5$
解得：$t = \frac{3}{5}$，经检验符合该阶段条件。
② 当甲水位低于乙水位，甲水位仍保持1cm不变时：
先假设丙未溢流，列方程：$\frac{5}{6}t - 1 = 0.5$，解得$t=\frac{9}{5}$。
此时丙的水位高度为$\frac{10}{3} × \frac{9}{5} = 6$cm ＞ 5cm，说明丙已经溢流到乙容器，该解不成立，需重新计算：
丙水位到达5cm的时间为$5 ÷ \frac{10}{3} = \frac{3}{2}$分钟，此时乙的水位高度为$\frac{5}{6} × \frac{3}{2} = \frac{5}{4}$cm。
$t＞\frac{3}{2}$后，原本注入丙的水也会流入乙，相当于乙每分钟上升速度变为$2×\frac{5}{6}=\frac{5}{3}$cm，列方程：
$\frac{5}{4} + \frac{5}{3}(t - \frac{3}{2}) - 1 = 0.5$
解得：$t = \frac{33}{20}$，经检验此时乙水位小于5cm，符合该阶段条件。
③ 当乙水位到达5cm后，水开始溢流到甲，甲水位开始上升时：
先算乙水位到达5cm的时间：$\frac{3}{2} + (5 - \frac{5}{4}) ÷ \frac{5}{3} = \frac{15}{4}$分钟。
$t＞\frac{15}{4}$后，注入乙、丙的水全部流入甲，甲每分钟水位上升高度为$\frac{10}{3} × 2 = \frac{20}{3}$cm，此时乙水位固定为5cm，列方程：
$5 - [1 + \frac{20}{3}(t - \frac{15}{4})] = 0.5$
解得：$t = \frac{171}{40}$，经检验符合该阶段条件。
【答案】
$\frac{3}{5}$或$\frac{33}{20}$或$\frac{171}{40}$
【知识点】
一元一次方程应用，圆柱体积计算，分类讨论思想
【点评】
本题结合连通容器的实际情景，考查了圆柱体积规律和一元一次方程的实际应用，解题的关键是明确不同阶段水位上升速度的变化，分情况讨论避免漏解，能较好地锻炼逻辑分析能力。
【难度系数】
0.25

【分析】
本题考查一元一次方程的求解，需根据方程特征选择对应解题步骤：（1）方程不含分母和括号，直接按照移项（注意移项要变号）、合并同类项、系数化为1的步骤计算即可；（2）方程含有分母，先利用等式性质去分母（所有项都要乘分母的最小公倍数，不要漏乘常数项），再依次完成去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤即可求解。
【解析】
(1) 移项，得$-3x-4x=21-7$，
合并同类项，得$-7x=14$，
系数化为1，得$x=-2$。
(2) 去分母（两边同乘10），得$2(x+4)-10=5(x-2)+10x$，
去括号，得$2x+8-10=5x-10+10x$，
移项、合并同类项，得$-13x=-8$，
系数化为1，得$x=\frac{8}{13}$。
【答案】
(1) $x=-2$；(2) $x=\frac{8}{13}$
【知识点】
一元一次方程的解法，等式的基本性质，去括号法则
【点评】
本题是一元一次方程解法的基础考查，解题时要注意移项需改变符号，去分母时常数项不要漏乘各分母的最小公倍数，熟练掌握标准解题步骤即可顺利得分。
【难度系数】
0.8

【分析】
我们可以按三步思路解题：第一步，分别求解两个关于x的一元一次方程，将两个方程的解都用含m的代数式表示；第二步，根据“第一个方程的解比第二个方程的解大3”的条件，梳理两个解的等量关系，列出关于m的一元一次方程；第三步，求解新得到的方程得到m的值，注意移项要变号，列等量关系时不要搞反两个解的大小顺序。
【解析】
1. 解方程$5m + 3x = 1 + x$：
移项得：$3x - x = 1 - 5m$
合并同类项得：$2x = 1 - 5m$
系数化为1得：$x = \frac{1 - 5m}{2}$
2. 解方程$2x + m = 3m$：
移项得：$2x = 3m - m$
合并同类项得：$2x = 2m$
系数化为1得：$x = m$
3. 根据题意列方程并求解：
由第一个方程的解比第二个大3，可得：$\frac{1 - 5m}{2} - m = 3$
去分母得：$1 - 5m - 2m = 6$
合并同类项得：$1 - 7m = 6$
移项计算得：$-7m = 5$
系数化为1得：$m = -\frac{5}{7}$
【答案】
$m=-\frac{5}{7}$
【知识点】
1. 一元一次方程解法
2. 方程的解的概念
3. 列方程求参数
【点评】
本题属于一元一次方程的基础综合题型，考察含参一元一次方程的求解能力和根据等量关系列方程的应用能力，解题核心是正确用含m的代数式表示两个方程的解，计算时注意移项变号、去分母不要漏乘等细节即可。
【难度系数】
0.7

【分析】
解题思路分为两步：第一步，先根据冰冰的错误去分母规则写出他实际求解的错误方程，他求得的解$x=-6$是这个错误方程的正确解，将解代入错误方程即可求出参数$a$的值；第二步，把求出的$a$代入原方程，按照解一元一次方程的规范步骤计算，就能得到原方程的正确解。
【解析】
1. 求$a$的值：
根据冰冰去分母时左边的1没有乘10的错误操作，可得他求解的错误方程为：
$2(2x-1)+1=5(x+a)$
已知$x=-6$是该错误方程的解，将$x=-6$代入上式：
$2×[2×(-6)-1]+1=5×(-6+a)$
计算左边：$2×(-13)+1=-25$，整理方程得：
$-25=-30+5a$
移项计算得$5a=5$，解得$a=1$。
2. 求原方程的正确解：
把$a=1$代入原方程，得原方程为：
$\frac{2x-1}{5}+1=\frac{x+1}{2}$
两边同时乘10正确去分母：
$2(2x-1)+10=5(x+1)$
去括号得：
$4x-2+10=5x+5$
移项、合并同类项得：
$-x=-3$
系数化为1得：
$x=3$
【答案】
$a=1$，原方程正确的解为$x=3$
【知识点】
方程的解的应用，解一元一次方程，去分母运算
【点评】
本题是典型的错解求参类题型，解题核心是明确错解对应错误操作得到的方程，先求出未知参数再求解正确方程，既考查了一元一次方程的解法，也检验了对解方程步骤的掌握程度，解题时需注意区分错误方程和原方程的差异，避免混淆。
【难度系数】
0.7