7. 我们知道横、纵坐标都为整数的点叫作整点.如图,在平面直角坐标系中,A,B两点的坐标分别为$(-8,6),(6,-1)$,从点$M(-3,0)$处发出光线$y=kx+3k$照射到线段AB上,光线$y=kx+3k$将线段AB分成了两部分.若这两部分上的整点个数相同,则k的取值范围是
$\frac{2}{3}＜k＜3$
.答案：7. $\frac{2}{3}＜k＜3$ 解析:设直线 $AB$ 的函数表达式为 $y=mx+n$, 则 $\begin{cases}-8m+n=6,\\6m+n=-1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=-\frac{1}{2},\\n=2.\end{cases}$ 所以直线 $AB$ 的函数表达式为 $y=-\frac{1}{2}x+2$. 所以线段 $AB$ 上的整点有 $(-8,6),(-6,5),(-4,4),(-2,3),(0,2),(2,1),(4,0),(6,-1)$, 共 8 个. 把点 $(-2,3)$ 代入 $y=kx+3k$ 中, 得 $-2k+3k=3$, 解得 $k=3$; 把点 $(0,2)$ 代入 $y=kx+3k$ 中, 得 $3k=2$, 解得 $k=\frac{2}{3}$. 因为光线 $y=kx+3k$ 将线段 $AB$ 分成的两部分上的整点个数相同, 所以 $k$ 的取值范围为 $\frac{2}{3}＜k＜3$.
8. 如图，直线$y=-x+10$与$x$轴、$y$轴分别交于$B$，$C$两点，点$A$的坐标为$(8,0)$，$P(x,y)$是直线$y=-x+10$在第一象限内的一个动点，连接$OP$，$AP$.
（1）求$△ OPA$的面积$S$关于$x$的函数表达式，并写出自变量$x$的取值范围；
（2）当$△ OPA$的面积为$24$时，求点$P$的坐标.
（1）求$△ OPA$的面积$S$关于$x$的函数表达式，并写出自变量$x$的取值范围；
（2）当$△ OPA$的面积为$24$时，求点$P$的坐标.
答案：8. (1) 对于 $y=-x+10$, 令 $x=0$, 得 $y=10$; 令 $y=0$, 得 $-x+10=0$, 解得 $x=10$, 所以 $C(0,10),B(10,0)$. 因为 $P(x,y)$ 是直线 $y=-x+10$ 在第一象限内的一个动点, 所以 $0＜x＜10$. 又 $A(8,0)$, 所以 $OA=8$. 所以 $S=\frac{1}{2}OA·(-x+10)=-4x+40$. 则 $S$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $S=-4x+40(0＜x＜10)$.
(2) 由(1), 得 $S=-4x+40(0＜x＜10)$. 令 $S=24$, 得 $-4x+40=24$, 解得 $x=4$. 对于 $y=-x+10$, 令 $x=4$, 得 $y=-4+10=6$. 所以点 $P$ 的坐标为 $(4,6)$.
(2) 由(1), 得 $S=-4x+40(0＜x＜10)$. 令 $S=24$, 得 $-4x+40=24$, 解得 $x=4$. 对于 $y=-x+10$, 令 $x=4$, 得 $y=-4+10=6$. 所以点 $P$ 的坐标为 $(4,6)$.
9.【模型建立】
（1）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E.求证：△BEC≌△CDA；
【初步应用】
（2）将点A(3,2)绕坐标原点按逆时针方向旋转90°，得到点A′，则点A′的坐标为
【解决问题】
（3）已知一次函数y＝2x－4的图象为直线l，将直线l绕它与x轴的交点P按逆时针方向旋转90°，得到直线l′，则直线l′对应的一次函数表达式为
【综合运用】
（4）将函数y＝－2x的图象先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，最后再绕着坐标原点O按逆时针方向旋转90°，所得图象对应的函数表达式为
（1）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E.求证：△BEC≌△CDA；
【初步应用】
（2）将点A(3,2)绕坐标原点按逆时针方向旋转90°，得到点A′，则点A′的坐标为
(-2,3)
，将点B(－3，4)绕坐标原点按逆时针方向旋转90°，得到点B′，则点B′的坐标为(-4,-3)
；【解决问题】
（3）已知一次函数y＝2x－4的图象为直线l，将直线l绕它与x轴的交点P按逆时针方向旋转90°，得到直线l′，则直线l′对应的一次函数表达式为
$y=-\frac{1}{2}x+1$
；【综合运用】
（4）将函数y＝－2x的图象先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，最后再绕着坐标原点O按逆时针方向旋转90°，所得图象对应的函数表达式为
$y=\frac{1}{2}x+2$
.答案：
9. (1) 因为 $AD⊥ ED,BE⊥ ED$, 所以 $∠ ADC=∠ CEB=90°$. 所以 $∠ ACD+∠ DAC=90°$. 又 $∠ ACB=90°$, 所以 $∠ ACD+∠ ECB=180°-∠ ACB=90°$. 所以 $∠ DAC=∠ ECB$. 因为 $BC=CA$, 所以 $△ BEC≌△ CDA(\mathrm{AAS})$.
(2) $(-2,3)$ $(-4,-3)$
(3) $y=-\frac{1}{2}x+1$ 解析:如图①, 设直线 $l$ 交 $y$ 轴于点 $E$. 对于 $y=2x-4$, 令 $x=0$, 得 $y=-4$; 令 $y=0$, 得 $2x-4=0$, 解得 $x=2$. 所以 $P(2,0),E(0,-4)$, 即 $OP=2,OE=4$. 设旋转后的点 $E$ 为点 $E'$, 过点 $E'$ 作 $E'F⊥ OP$ 于点 $F$. 同(1), 得 $△ E'FP≌△ POE(\mathrm{AAS})$. 所以 $FE'=OP=2,FP=OE=4$. 所以 $OF=OP+FP=6$. 所以 $E'(6,-2)$. 设直线 $l'$ 的函数表达式为 $y=kx+b$. 因为直线 $l'$ 经过 $P,E'$ 两点, 所以 $\begin{cases}2k+b=0,\\6k+b=-2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-\frac{1}{2},\\b=1.\end{cases}$ 则直线 $l'$ 对应的一次函数表达式为 $y=-\frac{1}{2}x+1$.
(4) $y=\frac{1}{2}x+2$ 解析:设直线 $y=-2x$ 平移后得到直线 $GH$, 如图②. 由题意, 得直线 $GH$ 的函数表达式为 $y=-2(x-1)+2=-2x+4$. 令 $x=0$, 得 $y=4$; 令 $y=0$, 得 $-2x+4=0$, 解得 $x=2$. 所以 $OH=2,OG=4$. 由旋转的性质, 得 $OG'=OG=4,OH'=OH=2$. 所以 $G'(-4,0),H'(0,2)$. 设直线 $G'H'$ 的函数表达式为 $y=k'x+b'$, 则 $\begin{cases}b'=2,\\-4k'+b'=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k'=\frac{1}{2},\\b'=2.\end{cases}$ 所以旋转后所得图象对应的函数表达式为 $y=\frac{1}{2}x+2$.
9. (1) 因为 $AD⊥ ED,BE⊥ ED$, 所以 $∠ ADC=∠ CEB=90°$. 所以 $∠ ACD+∠ DAC=90°$. 又 $∠ ACB=90°$, 所以 $∠ ACD+∠ ECB=180°-∠ ACB=90°$. 所以 $∠ DAC=∠ ECB$. 因为 $BC=CA$, 所以 $△ BEC≌△ CDA(\mathrm{AAS})$.
(2) $(-2,3)$ $(-4,-3)$
(3) $y=-\frac{1}{2}x+1$ 解析:如图①, 设直线 $l$ 交 $y$ 轴于点 $E$. 对于 $y=2x-4$, 令 $x=0$, 得 $y=-4$; 令 $y=0$, 得 $2x-4=0$, 解得 $x=2$. 所以 $P(2,0),E(0,-4)$, 即 $OP=2,OE=4$. 设旋转后的点 $E$ 为点 $E'$, 过点 $E'$ 作 $E'F⊥ OP$ 于点 $F$. 同(1), 得 $△ E'FP≌△ POE(\mathrm{AAS})$. 所以 $FE'=OP=2,FP=OE=4$. 所以 $OF=OP+FP=6$. 所以 $E'(6,-2)$. 设直线 $l'$ 的函数表达式为 $y=kx+b$. 因为直线 $l'$ 经过 $P,E'$ 两点, 所以 $\begin{cases}2k+b=0,\\6k+b=-2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-\frac{1}{2},\\b=1.\end{cases}$ 则直线 $l'$ 对应的一次函数表达式为 $y=-\frac{1}{2}x+1$.
(4) $y=\frac{1}{2}x+2$ 解析:设直线 $y=-2x$ 平移后得到直线 $GH$, 如图②. 由题意, 得直线 $GH$ 的函数表达式为 $y=-2(x-1)+2=-2x+4$. 令 $x=0$, 得 $y=4$; 令 $y=0$, 得 $-2x+4=0$, 解得 $x=2$. 所以 $OH=2,OG=4$. 由旋转的性质, 得 $OG'=OG=4,OH'=OH=2$. 所以 $G'(-4,0),H'(0,2)$. 设直线 $G'H'$ 的函数表达式为 $y=k'x+b'$, 则 $\begin{cases}b'=2,\\-4k'+b'=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k'=\frac{1}{2},\\b'=2.\end{cases}$ 所以旋转后所得图象对应的函数表达式为 $y=\frac{1}{2}x+2$.