9. (2026·江苏无锡期中)如图,在△ABC中,点D在边BC上,∠BAD=30°,将△ABD沿AD折叠至△AB'D,∠ACB=α,连接B'C,B'C平分∠ACB,则∠AB'D的度数是
$90°-\frac{1}{2}α$
.(用含α的代数式表示)答案：9. $90°-\frac{1}{2}α$ 解析: 连接 $BB'$,过点 $B'$ 分别作 $B'E ⊥ BC$于点 $E$,$B'F ⊥ AC$ 于点 $F$, 则$∠ CEB'=∠ CFB'=∠ BEB'=∠ AFB' = 90°$. 由折叠的性质, 得$∠ AB'D=∠ ABC$,$∠ B'AD=∠ BAD=30°$,$AB=AB'$, 所以 $∠ BAB'=∠ BAD+∠ B'AD=60°$, 即$△ ABB'$ 是等边三角形. 所以 $AB'=BB'$,$∠ B'BA=∠ B'AB=60°$. 因为 $B'C$ 平分$∠ ACB$,$∠ ACB=α$,所以$∠ ACB'=∠ BCB'=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}α$,$B'E=B'F$.所以 $\mathrm{Rt}△ BB'E ≌ \mathrm{Rt}△ AB'F(\mathrm{HL})$. 所以 $∠ B'BE=∠ B'AF$. 所以 $∠ B'BA+∠ B'BE=∠ B'AB+∠ B'AF$, 即 $∠ ABC = ∠ BAC$. 因为 $∠ ABC +∠ BAC+∠ ACB=180°$, 所以 $∠ ABC=∠ BAC=\frac{1}{2}(180°-∠ ACB)=90°-\frac{1}{2}α$. 所以 $∠ AB'D=90°-\frac{1}{2}α$.
10. (2024·新疆)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ A=30°,AB=8$.若点D在直线AB上(不与A,B两点重合),且$∠ BCD=30°$,则AD的长为
6或12
.答案：
10. 6或12 解析: 因为$∠ BCD=30°$,所以有点 $D$ 在边$AB$ 上或点 $D$ 在 $AB$ 的延长线上. 分类讨论如下:如图
,当点 $D$ 在边 $AB$ 上时,$∠ BCD_1=30°$. 因为$∠ ACB=90°$,所以$∠ ACD_1=∠ ACB-∠ BCD_1=60°$. 又 $∠ A=30°$, 所以 $∠ A+∠ ACD_1=90°$, 即$∠ CD_1B=90°$. 又 $AB=8$, 所以 $BC=\frac{1}{2}AB=4$, 即$BD_1=\frac{1}{2}BC=2$. 所以 $AD_1=AB-BD_1=6$; 当点 $D$在 $AB$ 的延长线上时,$∠ BCD_2=30°$. 因为 $∠ A+∠ ABC=90°$, 所以 $∠ ABC=90°-∠ A=60°$. 又$∠ ABC=∠ D_2+∠ BCD_2$, 所以 $∠ D_2=∠ ABC-∠ BCD_2=30°$,即$∠ D_2=∠ BCD_2$. 所以 $BD_2=BC=4$, 即 $AD_2=AB+BD_2=12$. 综上,$AD$ 的长为 6或 12.
10. 6或12 解析: 因为$∠ BCD=30°$,所以有点 $D$ 在边$AB$ 上或点 $D$ 在 $AB$ 的延长线上. 分类讨论如下:如图
,当点 $D$ 在边 $AB$ 上时,$∠ BCD_1=30°$. 因为$∠ ACB=90°$,所以$∠ ACD_1=∠ ACB-∠ BCD_1=60°$. 又 $∠ A=30°$, 所以 $∠ A+∠ ACD_1=90°$, 即$∠ CD_1B=90°$. 又 $AB=8$, 所以 $BC=\frac{1}{2}AB=4$, 即$BD_1=\frac{1}{2}BC=2$. 所以 $AD_1=AB-BD_1=6$; 当点 $D$在 $AB$ 的延长线上时,$∠ BCD_2=30°$. 因为 $∠ A+∠ ABC=90°$, 所以 $∠ ABC=90°-∠ A=60°$. 又$∠ ABC=∠ D_2+∠ BCD_2$, 所以 $∠ D_2=∠ ABC-∠ BCD_2=30°$,即$∠ D_2=∠ BCD_2$. 所以 $BD_2=BC=4$, 即 $AD_2=AB+BD_2=12$. 综上,$AD$ 的长为 6或 12.11. (2026·江苏无锡月考)如图，O是等边三角形ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°,∠BOC=α,△BOC≌△ADC,连接OD.
(1) 求证:△OCD是等边三角形；
(2) 当△AOD为等腰三角形时,求α的度数.
(1) 求证:△OCD是等边三角形；
(2) 当△AOD为等腰三角形时,求α的度数.
答案：11. (1) 因为$△ ABC$ 是等边三角形,所以$∠ BCA=60°$,即$∠ OCB+∠ OCA=60°$. 因为$△ BOC ≌ △ ADC$,所以 $OC=DC$,$∠ OCB=∠ DCA$. 所以 $∠ DCA+∠ OCA=60°$,即$∠ OCD=60°$. 所以$△ OCD$ 是等边三角形.
(2) 由(1),得$△ OCD$ 是等边三角形,所以$∠ COD=∠ CDO=60°$. 因为$∠ AOB=110°$,$∠ BOC=α$, 所以$∠ AOD=360°-(∠ AOB+∠ BOC+∠ COD)=190°-α$. 因为 $△ BOC ≌ △ ADC$, 所以 $∠ ADC=∠ BOC=α$, 即$∠ ODA=∠ ADC-∠ CDO=α-60°$. 所以 $∠ OAD=180°-(∠ AOD+∠ ODA)=50°$. 当$△ AOD$ 为等腰三角形时,有以下三种情况:
① 当 $OA=DA$ 时,$∠ AOD=∠ ODA$, 所以 $190°-α=α-60°$, 解得 $α=125°$; ② 当 $OD=DA$ 时,$∠ AOD=∠ OAD$, 所以 $190°-α=50°$, 解得 $α=140°$; ③ 当 $OA=OD$ 时,$∠ ODA=∠ OAD$,所以 $α-60°=50°$,解得 $α=110°$. 综上,当$△ AOD$ 为等腰三角形时,$α$ 的度数为 $125°$或 $140°$或 $110°$.
(2) 由(1),得$△ OCD$ 是等边三角形,所以$∠ COD=∠ CDO=60°$. 因为$∠ AOB=110°$,$∠ BOC=α$, 所以$∠ AOD=360°-(∠ AOB+∠ BOC+∠ COD)=190°-α$. 因为 $△ BOC ≌ △ ADC$, 所以 $∠ ADC=∠ BOC=α$, 即$∠ ODA=∠ ADC-∠ CDO=α-60°$. 所以 $∠ OAD=180°-(∠ AOD+∠ ODA)=50°$. 当$△ AOD$ 为等腰三角形时,有以下三种情况:
① 当 $OA=DA$ 时,$∠ AOD=∠ ODA$, 所以 $190°-α=α-60°$, 解得 $α=125°$; ② 当 $OD=DA$ 时,$∠ AOD=∠ OAD$, 所以 $190°-α=50°$, 解得 $α=140°$; ③ 当 $OA=OD$ 时,$∠ ODA=∠ OAD$,所以 $α-60°=50°$,解得 $α=110°$. 综上,当$△ AOD$ 为等腰三角形时,$α$ 的度数为 $125°$或 $140°$或 $110°$.
12.（2026·江苏连云港月考）如图，在$△ ABC$中，$∠ B=30°$，$∠ C=90°$，等边三角形$DEF$的三个顶点分别落在$AC$，$AB$，$BC$上.若$CD=5$，$BE=8$，则$AB$的长为
14
.答案：12. 14 解析:过点 $D$ 作 $DH ⊥ AB$ 于点 $H$,则$∠ DHE=∠ DHA=90°$. 因为 $∠ C=90°$, 所以 $∠ DHE=∠ C$. 因为$∠ B=30°$,所以$∠ A=180°-∠ B-∠ C=60°$,$AB=2AC$. 因为$△ DEF$ 是等边三角形, 所以$DE = DF$,$∠ EDF = 60°$. 又 $∠ CDE = ∠ A +∠ DEH = ∠ FDC + ∠ EDF$, 所以 $∠ DEH =∠ FDC$. 所以$△ DHE ≌ △ FCD(\mathrm{AAS})$. 所以 $HE=CD$. 又 $CD=5$,$BE=8$, 所以 $HB=HE+BE=CD+BE=13$, 即 $AB=BH+AH=13+AH$. 又$∠ A+∠ ADH=90°$, 所以$∠ ADH=30°$, 即 $AD=2AH$. 所以 $AC=CD+AD=5+2AH$. 所以 $13+AH=2(5+2AH)$, 即 $AH=1$. 所以 $AB=13+AH=14$.
13. (2026·江苏苏州期中)如图①,在等边三角形ABC中,过点A在边AB的右侧作射线AP,∠BAP=α(30°＜α＜45°),点B与点E关于射线AP对称,连接AE,BE,且BE交射线AP于点D,过C,E两点的直线交射线AP于点F,连接BF.
(1)当α=40°时,求∠BEF的度数;
(2)求证:AF=BF+CF;
(3)如图②,M为射线AP上一动点,过点M作MN⊥AB于点N,连接BM,当BM+MN的值最小时,求∠AMB的度数(用含α的代数式表示).
(1)当α=40°时,求∠BEF的度数;
(2)求证:AF=BF+CF;
(3)如图②,M为射线AP上一动点,过点M作MN⊥AB于点N,连接BM,当BM+MN的值最小时,求∠AMB的度数(用含α的代数式表示).
答案：13. (1) 因为$△ ABC$ 是等边三角形,所以$∠ BAC=60°$,$AB=AC$. 因为点 $B$ 与点 $E$ 关于射线 $AP$ 对称,$∠ BAP=α$,$α=40°$, 所以 $AB=AE$,$∠ EAP=∠ BAP=40°$, 即 $AC=AE$,$∠ ABE=∠ AEB$,$∠ BAE=∠ BAP+∠ EAP=80°$. 所以 $∠ CAE=∠ BAE-∠ BAC=20°$,$∠ ACE=∠ AEC$, 即$∠ AEB=\frac{1}{2}(180°-∠ BAE)=50°$,$∠ AEC=\frac{1}{2}(180°-∠ CAE)=80°$. 所以 $∠ BEF=∠ AEC-∠ AEB=30°$.
(2) 同(1),得$∠ BAE=2∠ BAP=2α$,$∠ CAE=2α-60°$,$∠ AEC=\frac{1}{2}(180°-∠ CAE)=120°-α$,$∠ AEB=\frac{1}{2}(180°-∠ BAE)=90°-α$,则$∠ BEF=∠ AEC-∠ AEB=30°$. 由对称的性质,得 $AP$ 垂直平分 $BE$,所以$∠ EDF=90°$,即$∠ DFE=60°$. 在 $AF$上取一点$G$,使 $FG=CF$,连接 $CG$. 则$△ CFG$ 是等边三角形. 所以$∠ FCG=60°$,$CF=CG$. 又$△ ABC$ 是等边三角形, 所以 $AC=BC$,$∠ ACB=60°$. 所以$∠ ACB-∠ BCG=∠ FCG-∠ BCG$, 即$∠ ACG=∠ BCF$. 所以$△ ACG ≌ △ BCF(\mathrm{SAS})$. 所以 $AG=BF$. 又 $AF=AG+FG$,所以 $AF=BF+CF$.
(3) 连接 $ME$,$NE$. 由题意,得 $AP$ 垂直平分 $BE$,所以 $BM=EM$,$∠ AMB=∠ AME$. 所以 $BM+MN=EM+MN ≥ EN$,即当 $EN ⊥ AB$,且 $M$ 为 $EN$与 $AP$ 的交点时, $BM+MN$ 的值最小, 此时$∠ ANE=90°$. 又 $∠ AME=∠ ANE+∠ BAP$,$∠ BAP=α$,所以$∠ AMB=∠ AME=90°+α$.
(2) 同(1),得$∠ BAE=2∠ BAP=2α$,$∠ CAE=2α-60°$,$∠ AEC=\frac{1}{2}(180°-∠ CAE)=120°-α$,$∠ AEB=\frac{1}{2}(180°-∠ BAE)=90°-α$,则$∠ BEF=∠ AEC-∠ AEB=30°$. 由对称的性质,得 $AP$ 垂直平分 $BE$,所以$∠ EDF=90°$,即$∠ DFE=60°$. 在 $AF$上取一点$G$,使 $FG=CF$,连接 $CG$. 则$△ CFG$ 是等边三角形. 所以$∠ FCG=60°$,$CF=CG$. 又$△ ABC$ 是等边三角形, 所以 $AC=BC$,$∠ ACB=60°$. 所以$∠ ACB-∠ BCG=∠ FCG-∠ BCG$, 即$∠ ACG=∠ BCF$. 所以$△ ACG ≌ △ BCF(\mathrm{SAS})$. 所以 $AG=BF$. 又 $AF=AG+FG$,所以 $AF=BF+CF$.
(3) 连接 $ME$,$NE$. 由题意,得 $AP$ 垂直平分 $BE$,所以 $BM=EM$,$∠ AMB=∠ AME$. 所以 $BM+MN=EM+MN ≥ EN$,即当 $EN ⊥ AB$,且 $M$ 为 $EN$与 $AP$ 的交点时, $BM+MN$ 的值最小, 此时$∠ ANE=90°$. 又 $∠ AME=∠ ANE+∠ BAP$,$∠ BAP=α$,所以$∠ AMB=∠ AME=90°+α$.