24. (10分)(2026·江苏扬州期末)如图①,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,直角边AC在射线OP上,直角顶点C与射线的端点O重合,$AC=b$,$BC=a$,且满足$\sqrt{b-4}+|a-3|=0$.
(1) 求$a$,$b$的值;
(2) 如图②,沿射线OP的方向向右匀速移动$Rt△ ABC$,速度为1个单位长度/s,设移动的时间为$t$ s,连接OB.若$△ OAB$为等腰三角形,求$t$的值.
(1) 求$a$,$b$的值;
(2) 如图②,沿射线OP的方向向右匀速移动$Rt△ ABC$,速度为1个单位长度/s,设移动的时间为$t$ s,连接OB.若$△ OAB$为等腰三角形,求$t$的值.
答案：24. (1) 因为 $\sqrt{b-4} + |a-3| = 0, \sqrt{b-4} ≥ 0, |a-3| ≥ 0$, 所以 $b-4=0, a-3=0$, 解得 $a=3, b=4$. 则 $a$ 的值为 3,$b$ 的值为 4.
(2) 由 (1), 得 $a=3, b=4$, 所以 $AC=4, BC=3$. 又 $∠ ACB=90°$, 所以 $∠ BCO = 180° - ∠ ACB = 90°$. 由勾股定理, 得 $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = 5$. 由题意, 得 $OC = t$, 则 $OA = OC + AC = t + 4, OB = \sqrt{OC^2 + BC^2} = \sqrt{t^2 + 9}$. 若 $△ OAB$ 为等腰三角形, 则分类讨论如下: ① 若 $OB=AB$, 则 $OC=AC$, 即 $t=4$; ② 若 $OA=AB$, 则 $t+4=5$, 解得 $t=1$; ③ 若 $OB=OA$, 则 $t+4 = \sqrt{t^2 + 9}$, 解得 $t = -\frac{7}{8}$, 不符合题意. 综上,$t$ 的值为 4 或 1.
(2) 由 (1), 得 $a=3, b=4$, 所以 $AC=4, BC=3$. 又 $∠ ACB=90°$, 所以 $∠ BCO = 180° - ∠ ACB = 90°$. 由勾股定理, 得 $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = 5$. 由题意, 得 $OC = t$, 则 $OA = OC + AC = t + 4, OB = \sqrt{OC^2 + BC^2} = \sqrt{t^2 + 9}$. 若 $△ OAB$ 为等腰三角形, 则分类讨论如下: ① 若 $OB=AB$, 则 $OC=AC$, 即 $t=4$; ② 若 $OA=AB$, 则 $t+4=5$, 解得 $t=1$; ③ 若 $OB=OA$, 则 $t+4 = \sqrt{t^2 + 9}$, 解得 $t = -\frac{7}{8}$, 不符合题意. 综上,$t$ 的值为 4 或 1.
解析：
【分析】
(1) 算术平方根和绝对值都具有非负性，即二者的取值均大于等于0，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此列方程即可求出a、b的值。
(2) 首先根据勾股定理求出AB的长度，平移t秒后OC的长度为t，先将△OAB的三条边OA、OB、AB用含t的式子表示。等腰三角形需满足两条边相等，因此分三种情况讨论：OB=AB、OA=AB、OB=OA，分别列方程求解，注意时间t为非负数，不符合要求的解要舍去，最终得到符合条件的t值。
【解析】
(1) 解：
∵ $\sqrt{b-4}≥0$，$|a-3|≥0$，且$\sqrt{b-4} + |a-3| = 0$，
∴ $\begin{cases}b-4=0 \\ a-3=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=3 \\ b=4\end{cases}$。
(2) 解：由(1)得$AC=4$，$BC=3$，
∵ $∠ ACB=90°$，
∴ $∠ BCO=180°-∠ ACB=90°$，
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
由平移性质可知，移动t秒后$OC=t$，
∴ $OA=OC+AC=t+4$，$OB=\sqrt{OC^2+BC^2}=\sqrt{t^2+9}$。
△OAB为等腰三角形，分三种情况讨论：
① 当$OB=AB$时：$\sqrt{t^2+9}=5$，解得$t=4$（负根舍去）；
② 当$OA=AB$时：$t+4=5$，解得$t=1$；
③ 当$OB=OA$时：$\sqrt{t^2+9}=t+4$，两边平方得$t^2+9=t^2+8t+16$，解得$t=-\frac{7}{8}$，不符合题意，舍去。
综上，符合条件的t的值为1或4。
【答案】
(1) $a=3$，$b=4$；(2) $t$的值为1或4
【知识点】
非负数的性质，勾股定理，等腰三角形判定
【点评】
本题综合考查了非负性应用、动点边长表示和等腰三角形的分类讨论，解题时要注意不要漏解，同时求出的解要符合实际意义，是几何部分的经典综合题型。
【难度系数】
0.7
(1) 算术平方根和绝对值都具有非负性，即二者的取值均大于等于0，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此列方程即可求出a、b的值。
(2) 首先根据勾股定理求出AB的长度，平移t秒后OC的长度为t，先将△OAB的三条边OA、OB、AB用含t的式子表示。等腰三角形需满足两条边相等，因此分三种情况讨论：OB=AB、OA=AB、OB=OA，分别列方程求解，注意时间t为非负数，不符合要求的解要舍去，最终得到符合条件的t值。
【解析】
(1) 解：
∵ $\sqrt{b-4}≥0$，$|a-3|≥0$，且$\sqrt{b-4} + |a-3| = 0$，
∴ $\begin{cases}b-4=0 \\ a-3=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=3 \\ b=4\end{cases}$。
(2) 解：由(1)得$AC=4$，$BC=3$，
∵ $∠ ACB=90°$，
∴ $∠ BCO=180°-∠ ACB=90°$，
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
由平移性质可知，移动t秒后$OC=t$，
∴ $OA=OC+AC=t+4$，$OB=\sqrt{OC^2+BC^2}=\sqrt{t^2+9}$。
△OAB为等腰三角形，分三种情况讨论：
① 当$OB=AB$时：$\sqrt{t^2+9}=5$，解得$t=4$（负根舍去）；
② 当$OA=AB$时：$t+4=5$，解得$t=1$；
③ 当$OB=OA$时：$\sqrt{t^2+9}=t+4$，两边平方得$t^2+9=t^2+8t+16$，解得$t=-\frac{7}{8}$，不符合题意，舍去。
综上，符合条件的t的值为1或4。
【答案】
(1) $a=3$，$b=4$；(2) $t$的值为1或4
【知识点】
非负数的性质，勾股定理，等腰三角形判定
【点评】
本题综合考查了非负性应用、动点边长表示和等腰三角形的分类讨论，解题时要注意不要漏解，同时求出的解要符合实际意义，是几何部分的经典综合题型。
【难度系数】
0.7
25. (10分)新趋势 情境素材 绿动未来——追踪碳排放.
【素材呈现】
素材一:在对A市交通工具的二氧化碳排放量所进行的一项调研中,我们发现:10辆燃油车和10辆电动汽车每千米共同排放的二氧化碳总量约为2 600 g,而5辆燃油车和6辆电动汽车每千米共同排放的二氧化碳总量约为1 374 g.
素材二:为了中和二氧化碳排放量,我们可以采取植树造林等绿化措施.根据相关换算标准,每棵成年的阔叶树种(如:杨树)每年大约吸收172 kg二氧化碳,而每棵成年的针叶树种(如:冷杉)每年大约吸收111 kg二氧化碳.
【问题解决】
问题一:一辆燃油车和一辆电动汽车每千米排放的二氧化碳分别是多少克?
问题二:某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵,设购买杨树a棵,这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为w kg.
(1) 求w关于a的函数表达式;
(2) 杨树会产生较多的飘絮物,因此规定采购杨树不超过30棵,请设计一个最优的采购方案,使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大.
【素材呈现】
素材一:在对A市交通工具的二氧化碳排放量所进行的一项调研中,我们发现:10辆燃油车和10辆电动汽车每千米共同排放的二氧化碳总量约为2 600 g,而5辆燃油车和6辆电动汽车每千米共同排放的二氧化碳总量约为1 374 g.
素材二:为了中和二氧化碳排放量,我们可以采取植树造林等绿化措施.根据相关换算标准,每棵成年的阔叶树种(如:杨树)每年大约吸收172 kg二氧化碳,而每棵成年的针叶树种(如:冷杉)每年大约吸收111 kg二氧化碳.
【问题解决】
问题一:一辆燃油车和一辆电动汽车每千米排放的二氧化碳分别是多少克?
问题二:某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵,设购买杨树a棵,这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为w kg.
(1) 求w关于a的函数表达式;
(2) 杨树会产生较多的飘絮物,因此规定采购杨树不超过30棵,请设计一个最优的采购方案,使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大.
答案：25. 问题一:设一辆燃油车每千米排放的二氧化碳是 $x$ g,一辆电动汽车每千米排放的二氧化碳是 $y$ g. 由题意,得 $\begin{cases}10x+10y=2600,\\5x+6y=1374,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=186,\\y=74.\end{cases}$ 所以一辆燃油车每千米排放的二氧化碳是 186 g,一辆电动汽车每千米排放的二氧化碳是 74 g.
问题二:(1) 由题意,得 $w=172a+111(100-a)=61a+11100$.
(2) 由 (1), 得 $w=61a+11100$. 由题意, 得 $a ≤ 30$. 又 $61＞0$, 所以 $w$ 随 $a$ 的增大而增大. 所以当 $a=30$ 时,$w$ 取最大值, 且最大值为 $61× 30 + 11100 = 12930$. 此时 $100-a=70$. 所以当购买杨树 30 棵,冷杉 70 棵时,这 100 棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大.
问题二:(1) 由题意,得 $w=172a+111(100-a)=61a+11100$.
(2) 由 (1), 得 $w=61a+11100$. 由题意, 得 $a ≤ 30$. 又 $61＞0$, 所以 $w$ 随 $a$ 的增大而增大. 所以当 $a=30$ 时,$w$ 取最大值, 且最大值为 $61× 30 + 11100 = 12930$. 此时 $100-a=70$. 所以当购买杨树 30 棵,冷杉 70 棵时,这 100 棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大.
解析：
【分析】
解题思路分两部分梳理：
1. 问题一：题干给出两组燃油车和电动汽车每千米的碳排放总量，我们可以设两个未知数，根据两组等量关系列出二元一次方程组，求解即可得到两种车辆每千米的碳排放量。
2. 问题二：(1) 已知总树木数为100棵，杨树为a棵，可得冷杉为(100-a)棵，根据“总吸收量=杨树年吸收总量+冷杉年吸收总量”的关系，代入对应数值化简就能得到w关于a的函数表达式。(2) 先根据题干限制得到a的取值范围，再根据一次函数的增减性判断w随a的变化规律，找到使w最大的a值，即可得到最优采购方案。
【解析】
问题一：设一辆燃油车每千米排放的二氧化碳是$x$ g，一辆电动汽车每千米排放的二氧化碳是$y$ g。
由题意得方程组：
$\begin{cases}10x+10y=2600\\5x+6y=1374\end{cases}$
化简第一个方程得$x+y=260$，即$x=260-y$，代入第二个方程：
$5(260-y)+6y=1374$
解得$y=74$，将$y=74$代入$x=260-y$得$x=186$，即方程组的解为$\begin{cases}x=186\\y=74\end{cases}$
问题二：
(1) 购买杨树$a$棵，则购买冷杉$(100-a)$棵，由题意得：
$w=172a+111(100-a)=61a+11100$
(2) 由题意得$a≤30$，在函数$w=61a+11100$中，$61＞0$，因此$w$随$a$的增大而增大。
当$a=30$时，$w$取最大值，最大值为$61×30+11100=12930$，此时$100-a=70$。
【答案】
问题一：一辆燃油车每千米排放二氧化碳186 g，一辆电动汽车每千米排放二氧化碳74 g；
问题二：(1) $w=61a+11100$；(2) 采购杨树30棵，冷杉70棵时，100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量最大。
【知识点】
二元一次方程组应用，一次函数解析式，一次函数增减性
【点评】
本题结合碳中和的环保热点情境命题，考查了方程与函数的基础应用，需要学生准确提取题干中的等量关系列方程、写函数解析式，再结合一次函数的增减性求解最值，题目贴近生活，能引导学生关注数学知识在实际问题中的应用。
【难度系数】
0.75
解题思路分两部分梳理：
1. 问题一：题干给出两组燃油车和电动汽车每千米的碳排放总量，我们可以设两个未知数，根据两组等量关系列出二元一次方程组，求解即可得到两种车辆每千米的碳排放量。
2. 问题二：(1) 已知总树木数为100棵，杨树为a棵，可得冷杉为(100-a)棵，根据“总吸收量=杨树年吸收总量+冷杉年吸收总量”的关系，代入对应数值化简就能得到w关于a的函数表达式。(2) 先根据题干限制得到a的取值范围，再根据一次函数的增减性判断w随a的变化规律，找到使w最大的a值，即可得到最优采购方案。
【解析】
问题一：设一辆燃油车每千米排放的二氧化碳是$x$ g，一辆电动汽车每千米排放的二氧化碳是$y$ g。
由题意得方程组：
$\begin{cases}10x+10y=2600\\5x+6y=1374\end{cases}$
化简第一个方程得$x+y=260$，即$x=260-y$，代入第二个方程：
$5(260-y)+6y=1374$
解得$y=74$，将$y=74$代入$x=260-y$得$x=186$，即方程组的解为$\begin{cases}x=186\\y=74\end{cases}$
问题二：
(1) 购买杨树$a$棵，则购买冷杉$(100-a)$棵，由题意得：
$w=172a+111(100-a)=61a+11100$
(2) 由题意得$a≤30$，在函数$w=61a+11100$中，$61＞0$，因此$w$随$a$的增大而增大。
当$a=30$时，$w$取最大值，最大值为$61×30+11100=12930$，此时$100-a=70$。
【答案】
问题一：一辆燃油车每千米排放二氧化碳186 g，一辆电动汽车每千米排放二氧化碳74 g；
问题二：(1) $w=61a+11100$；(2) 采购杨树30棵，冷杉70棵时，100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量最大。
【知识点】
二元一次方程组应用，一次函数解析式，一次函数增减性
【点评】
本题结合碳中和的环保热点情境命题，考查了方程与函数的基础应用，需要学生准确提取题干中的等量关系列方程、写函数解析式，再结合一次函数的增减性求解最值，题目贴近生活，能引导学生关注数学知识在实际问题中的应用。
【难度系数】
0.75