18（6分）画线段$AB=2\ \mathrm{cm}$，延长线段$AB$至点$C$，使$BC=\frac{1}{2}AB$，再反向延长线段$AC$至点$D$，使$AD=\frac{1}{2}AC$。
（1）画出图形；
（2）求线段$CD$的长。
（1）画出图形；
（2）求线段$CD$的长。
答案：
18. (1) 如图所示 (2) 由题意,得 $BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1(\mathrm{cm})$,$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}(AB+BC)=\frac{1}{2}×(2+1)=1.5(\mathrm{cm})$,
所以 $CD=AD+AB+BC=1.5+2+1=4.5(\mathrm{cm})$
18. (1) 如图所示 (2) 由题意,得 $BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1(\mathrm{cm})$,$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}(AB+BC)=\frac{1}{2}×(2+1)=1.5(\mathrm{cm})$,
所以 $CD=AD+AB+BC=1.5+2+1=4.5(\mathrm{cm})$
解析：
【分析】
（1）作图需按照题目描述的顺序逐步操作：首先画出长度为2cm的线段AB，再沿AB的延长方向取点C，使BC的长度为AB的一半；最后沿AC的反向（即BA的延长方向）取点D，使AD的长度为AC的一半即可。
（2）求CD长度的思路：从已知的AB长度入手，先计算出BC的长度，进而得到AC的总长度；再根据AD与AC的数量关系算出AD的长度；最后由于D、A、C在同一直线上顺次排列，CD的长度等于AD与AC的长度之和，即可求出结果。
【解析】
（1）作图步骤：
① 用直尺绘制线段AB，使AB=2cm；
② 沿AB方向延长AB，在延长线上截取BC=1cm，得到点C；
③ 反向延长AC，在延长线上截取AD=1.5cm，得到点D，完成图形绘制。
（2）计算过程：
已知AB=2cm，根据题意得：
$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1(\mathrm{cm})$，
则$AC=AB+BC=2+1=3(\mathrm{cm})$，
又因为$AD=\frac{1}{2}AC$，所以$AD=\frac{1}{2}×3=1.5(\mathrm{cm})$，
由于点D、A、B、C顺次在同一直线上，因此$CD=AD+AC=1.5+3=4.5(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1) 如图所示
(2) 线段$CD$的长为$4.5\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段的作图；线段的和差计算；线段的延长
【点评】
本题是线段相关的基础题型，既考查了作图实操能力，也考查了线段长度的推导计算能力，解题的关键是理清各线段的位置关系和数量关系，注意区分“延长”和“反向延长”的方向，按照题目顺序逐步推导即可。
【难度系数】
0.8
（1）作图需按照题目描述的顺序逐步操作：首先画出长度为2cm的线段AB，再沿AB的延长方向取点C，使BC的长度为AB的一半；最后沿AC的反向（即BA的延长方向）取点D，使AD的长度为AC的一半即可。
（2）求CD长度的思路：从已知的AB长度入手，先计算出BC的长度，进而得到AC的总长度；再根据AD与AC的数量关系算出AD的长度；最后由于D、A、C在同一直线上顺次排列，CD的长度等于AD与AC的长度之和，即可求出结果。
【解析】
（1）作图步骤：
① 用直尺绘制线段AB，使AB=2cm；
② 沿AB方向延长AB，在延长线上截取BC=1cm，得到点C；
③ 反向延长AC，在延长线上截取AD=1.5cm，得到点D，完成图形绘制。
（2）计算过程：
已知AB=2cm，根据题意得：
$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1(\mathrm{cm})$，
则$AC=AB+BC=2+1=3(\mathrm{cm})$，
又因为$AD=\frac{1}{2}AC$，所以$AD=\frac{1}{2}×3=1.5(\mathrm{cm})$，
由于点D、A、B、C顺次在同一直线上，因此$CD=AD+AC=1.5+3=4.5(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1) 如图所示
(2) 线段$CD$的长为$4.5\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段的作图；线段的和差计算；线段的延长
【点评】
本题是线段相关的基础题型，既考查了作图实操能力，也考查了线段长度的推导计算能力，解题的关键是理清各线段的位置关系和数量关系，注意区分“延长”和“反向延长”的方向，按照题目顺序逐步推导即可。
【难度系数】
0.8
19(8分)如图,C为线段AB上一点(AC＞BC),点D在线段BC上,BD=2CD,E为AB的中点.
(1)若AD=10,EC=3CD,求线段CD的长;
(2)若AC=2BC,求$\frac{EC}{BD}$的值.
(1)若AD=10,EC=3CD,求线段CD的长;
(2)若AC=2BC,求$\frac{EC}{BD}$的值.
答案：19. (1) 设 $CD=x$,则 $BD=2CD=2x$,$BC=CD+BD=3x$,$EC=3CD=3x$. 因为 $AD=10$,所以 $AB=10+2x$. 因为 E 为AB的中点,所以 $AE=EB=\frac{1}{2}AB=5+x$. 所以 $EC=EB-BC=5+x-3x=5-2x$. 所以 $5-2x=3x$,解得 $x=1$. 所以 $CD=1$
(2) 设 $CD=y$,则 $BD=2CD=2y$,$BC=CD+BD=3y$,$AC=2BC=6y$. 所以 $AB=BC+AC=3y+6y=9y$. 因为 E 为AB的中点,所以 $EB=\frac{1}{2}AB=4.5y$. 所以 $EC=EB-BC=4.5y-3y=1.5y$. 所以 $\frac{EC}{BD}=\frac{1.5y}{2y}=\frac{3}{4}$
(2) 设 $CD=y$,则 $BD=2CD=2y$,$BC=CD+BD=3y$,$AC=2BC=6y$. 所以 $AB=BC+AC=3y+6y=9y$. 因为 E 为AB的中点,所以 $EB=\frac{1}{2}AB=4.5y$. 所以 $EC=EB-BC=4.5y-3y=1.5y$. 所以 $\frac{EC}{BD}=\frac{1.5y}{2y}=\frac{3}{4}$
解析：
【分析】
本题可通过设未知数将线段的倍数关系转化为代数式求解：
(1) 设CD的长度为x，先根据BD与CD的倍数关系依次表示出BD、BC、EC的长度，再结合AD的长度表示出AB总长，利用E是AB中点得到EB的长度，进而得到EC关于x的另一个表达式，列方程即可求出CD的长；
(2) 设CD为y，先根据BD与CD的关系表示出BD、BC，再结合AC与BC的倍数关系求出AC和AB总长，利用中点性质求出EB，进而得到EC的长度，最后计算EC与BD的比值即可。
【解析】
(1) 设$CD=x$，
由$BD=2CD$得：$BD=2x$，因此$BC=CD+BD=x+2x=3x$，
由$EC=3CD$得：$EC=3x$，
因为$AD=10$，所以$AB=AD+BD=10+2x$，
因为E为AB的中点，所以$EB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(10+2x)=5+x$，
又因为$EC=EB-BC$，代入得：$3x=5+x-3x$，
整理得$5x=5$，解得$x=1$，即$CD=1$。
(2) 设$CD=y$，
由$BD=2CD$得：$BD=2y$，因此$BC=CD+BD=y+2y=3y$，
因为$AC=2BC$，所以$AC=2×3y=6y$，
因此$AB=AC+BC=6y+3y=9y$，
因为E为AB的中点，所以$EB=\frac{1}{2}AB=4.5y$，
因此$EC=EB-BC=4.5y-3y=1.5y$，
所以$\frac{EC}{BD}=\frac{1.5y}{2y}=\frac{3}{4}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{CD=1}$；(2) $\boldsymbol{\frac{3}{4}}$
【知识点】
线段和差计算，线段中点的定义，线段比值计算
【点评】
本题是线段计算的典型题型，解题核心是通过设元法将线段间的倍数关系转化为可运算的代数式，结合线段中点的性质建立等量关系，既可解决求值问题也能计算线段比值，该方法在几何线段计算中应用十分广泛。
【难度系数】
0.7
本题可通过设未知数将线段的倍数关系转化为代数式求解：
(1) 设CD的长度为x，先根据BD与CD的倍数关系依次表示出BD、BC、EC的长度，再结合AD的长度表示出AB总长，利用E是AB中点得到EB的长度，进而得到EC关于x的另一个表达式，列方程即可求出CD的长；
(2) 设CD为y，先根据BD与CD的关系表示出BD、BC，再结合AC与BC的倍数关系求出AC和AB总长，利用中点性质求出EB，进而得到EC的长度，最后计算EC与BD的比值即可。
【解析】
(1) 设$CD=x$，
由$BD=2CD$得：$BD=2x$，因此$BC=CD+BD=x+2x=3x$，
由$EC=3CD$得：$EC=3x$，
因为$AD=10$，所以$AB=AD+BD=10+2x$，
因为E为AB的中点，所以$EB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(10+2x)=5+x$，
又因为$EC=EB-BC$，代入得：$3x=5+x-3x$，
整理得$5x=5$，解得$x=1$，即$CD=1$。
(2) 设$CD=y$，
由$BD=2CD$得：$BD=2y$，因此$BC=CD+BD=y+2y=3y$，
因为$AC=2BC$，所以$AC=2×3y=6y$，
因此$AB=AC+BC=6y+3y=9y$，
因为E为AB的中点，所以$EB=\frac{1}{2}AB=4.5y$，
因此$EC=EB-BC=4.5y-3y=1.5y$，
所以$\frac{EC}{BD}=\frac{1.5y}{2y}=\frac{3}{4}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{CD=1}$；(2) $\boldsymbol{\frac{3}{4}}$
【知识点】
线段和差计算，线段中点的定义，线段比值计算
【点评】
本题是线段计算的典型题型，解题核心是通过设元法将线段间的倍数关系转化为可运算的代数式，结合线段中点的性质建立等量关系，既可解决求值问题也能计算线段比值，该方法在几何线段计算中应用十分广泛。
【难度系数】
0.7
20（8分）如图，射线OA表示的方向是北偏东$15°$，射线OB表示的方向是北偏西$40°$。
（1）若$∠ AOC=∠ AOB$，则射线OC表示的方向是
（2）若射线OD是射线OB的反向延长线，则射线OD表示的方向是
（3）$∠ BOD$可以看作是由OB绕点O按逆时针方向旋转至OD形成的角，作$∠ BOD$的平分线OE，在（1）（2）的条件下，求$∠ COE$的度数。
（1）若$∠ AOC=∠ AOB$，则射线OC表示的方向是
北偏东70°
；（2）若射线OD是射线OB的反向延长线，则射线OD表示的方向是
南偏东40°
；（3）$∠ BOD$可以看作是由OB绕点O按逆时针方向旋转至OD形成的角，作$∠ BOD$的平分线OE，在（1）（2）的条件下，求$∠ COE$的度数。
答案：20. (1) 北偏东70° (2) 南偏东40° (3) 因为射线OD是射线OB的反向延长线,所以∠BOD=180°. 因为∠AOC=∠AOB=40°+15°=55°,所以∠BOC=∠AOB+∠AOC=55°+55°=110°. 所以∠COD=180°-∠BOC=180°-110°=70°. 又因为OE平分∠BOD,所以∠EOD=$\frac{1}{2}$∠BOD=90°. 所以∠COE=∠COD+∠EOD=70°+90°=160°
解析：
【分析】
解题时先明确方向角以正北、正南方向为基准的表示规则，再按小问逐一分析：
1. 第（1）问：先计算∠AOB的度数，结合∠AOC=∠AOB求出OC相对正北方向向东偏转的角度，即可确定OC的方向；
2. 第（2）问：反向延长线的方向与原方向完全相反，根据OB的方向可直接推导OD的方向；
3. 第（3）问：先根据平角定义得到∠BOD=180°，由角平分线性质算出∠EOD的度数，再依次算出∠BOC、∠COD的度数，最后通过角的和差关系求出∠COE的度数。
【解析】
(1) 已知射线OA是北偏东15°，射线OB是北偏西40°，因此$∠ AOB=40°+15°=55°$。
因为$∠ AOC=∠ AOB=55°$，所以OC相对正北方向向东偏转的角度为$15°+55°=70°$，即射线OC表示北偏东70°。
(2) 射线OD是OB的反向延长线，OB为北偏西40°，因此OD的方向为南偏东40°。
(3) 因为射线OD是OB的反向延长线，所以$∠ BOD=180°$。
由$∠ AOC=∠ AOB=55°$，可得$∠ BOC=∠ AOB+∠ AOC=55°+55°=110°$，
因此$∠ COD=180°-∠ BOC=180°-110°=70°$。
又因为OE平分$∠ BOD$，所以$∠ EOD=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×180°=90°$，
因此$∠ COE=∠ COD+∠ EOD=70°+90°=160°$。
【答案】
(1) 北偏东$70°$；(2) 南偏东$40°$；(3) $160°$
【知识点】
方向角；角的和差计算；角平分线的定义
【点评】
本题结合方位角的识别考查角的基本运算，解题的关键是准确判断各角之间的数量关系，掌握方向角的表示方法和角平分线的性质，属于基础类题型，注重对基础知识的灵活应用。
【难度系数】
0.7
解题时先明确方向角以正北、正南方向为基准的表示规则，再按小问逐一分析：
1. 第（1）问：先计算∠AOB的度数，结合∠AOC=∠AOB求出OC相对正北方向向东偏转的角度，即可确定OC的方向；
2. 第（2）问：反向延长线的方向与原方向完全相反，根据OB的方向可直接推导OD的方向；
3. 第（3）问：先根据平角定义得到∠BOD=180°，由角平分线性质算出∠EOD的度数，再依次算出∠BOC、∠COD的度数，最后通过角的和差关系求出∠COE的度数。
【解析】
(1) 已知射线OA是北偏东15°，射线OB是北偏西40°，因此$∠ AOB=40°+15°=55°$。
因为$∠ AOC=∠ AOB=55°$，所以OC相对正北方向向东偏转的角度为$15°+55°=70°$，即射线OC表示北偏东70°。
(2) 射线OD是OB的反向延长线，OB为北偏西40°，因此OD的方向为南偏东40°。
(3) 因为射线OD是OB的反向延长线，所以$∠ BOD=180°$。
由$∠ AOC=∠ AOB=55°$，可得$∠ BOC=∠ AOB+∠ AOC=55°+55°=110°$，
因此$∠ COD=180°-∠ BOC=180°-110°=70°$。
又因为OE平分$∠ BOD$，所以$∠ EOD=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×180°=90°$，
因此$∠ COE=∠ COD+∠ EOD=70°+90°=160°$。
【答案】
(1) 北偏东$70°$；(2) 南偏东$40°$；(3) $160°$
【知识点】
方向角；角的和差计算；角平分线的定义
【点评】
本题结合方位角的识别考查角的基本运算，解题的关键是准确判断各角之间的数量关系，掌握方向角的表示方法和角平分线的性质，属于基础类题型，注重对基础知识的灵活应用。
【难度系数】
0.7