10.如图，O为直线AB上一点，射线OC,OD同时从射线OA的位置出发，分别以每秒10°和每秒20°的速度绕点O按逆时针方向匀速旋转，设运动的时间为t s，其中0＜t＜36.记射线OB,OC,OD中的一条射线首次平分另外两条射线组成的角的时刻为t₁ s，射线OB,OC,OD中的一条射线最后一次平分另外两条射线组成的角的时刻为t₂ s，则t₂ - t₁ =
24
。答案：10.24
11.如图，P为直线AB上一点，PC，PD为$∠ APB$的三等分线，PM，PN分别为$∠ BPC$，$∠ APD$的平分线，求$∠ MPN$的度数.
答案：11.解:因为∠APB是平角,所以∠APB=180°.
又因为PC,PD为∠APB的三等分线,
所以∠APD=∠DPC=∠BPC=$\frac{1}{3}$∠APB=60°.
又因为PM,PN分别为∠BPC,∠APD的平分线,
所以∠MPC=$\frac{1}{2}$∠BPC=30°,
∠NPD=$\frac{1}{2}$∠APD=30°,
所以∠MPN=∠MPC+∠CPD+∠NPD=30°+60°+30°=120°.
又因为PC,PD为∠APB的三等分线,
所以∠APD=∠DPC=∠BPC=$\frac{1}{3}$∠APB=60°.
又因为PM,PN分别为∠BPC,∠APD的平分线,
所以∠MPC=$\frac{1}{2}$∠BPC=30°,
∠NPD=$\frac{1}{2}$∠APD=30°,
所以∠MPN=∠MPC+∠CPD+∠NPD=30°+60°+30°=120°.
12.如图，∠AOB是平角，∠AOC=30°，∠BOD=60°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线。(1)求∠COD的度数；(2)求∠MON的度数。
答案：12.解:(1)因为∠AOC+∠COD+∠DOB=180°,∠AOC=30°,∠BOD=60°,
所以∠COD=180°−30°−60°=90°.
(2)因为OM平分∠AOC,∠AOC=30°,
所以∠COM=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×30°=15°.
同理,得∠DON=30°.
因为∠MON=∠COM+∠COD+∠DON,∠COD=90°,
所以∠MON=15°+90°+30°=135°.
所以∠COD=180°−30°−60°=90°.
(2)因为OM平分∠AOC,∠AOC=30°,
所以∠COM=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×30°=15°.
同理,得∠DON=30°.
因为∠MON=∠COM+∠COD+∠DON,∠COD=90°,
所以∠MON=15°+90°+30°=135°.
13.(2025·海淀区期末)已知点O在直线AB上,∠COD=60°,射线OE在∠COD内部,且∠AOE=2∠DOE.
(1)如图①,若OD是∠BOC的平分线,求∠COE的度数.下面是小张同学的解答过程,请帮他补充完整.
解:因为OD是∠BOC的平分线,
所以∠BOD=∠
所以∠AOD=180°−∠BOD=120°.
因为∠AOD=∠AOE+∠DOE,∠AOE=2∠DOE,
所以∠AOD=3∠
所以∠DOE=$\frac{1}{3}$∠AOD=40°,
所以∠COE=∠
(2)如图②,小张发现当OD不是∠BOC的平分线时,∠COE与∠BOD的数量关系仍然保持不变,请你用等式表示出∠COE与∠BOD的数量关系,并说明理由.
(1)如图①,若OD是∠BOC的平分线,求∠COE的度数.下面是小张同学的解答过程,请帮他补充完整.
解:因为OD是∠BOC的平分线,
所以∠BOD=∠
DOC
=60°,所以∠AOD=180°−∠BOD=120°.
因为∠AOD=∠AOE+∠DOE,∠AOE=2∠DOE,
所以∠AOD=3∠
DOE
,所以∠DOE=$\frac{1}{3}$∠AOD=40°,
所以∠COE=∠
DOC
−∠DOE=20°.(2)如图②,小张发现当OD不是∠BOC的平分线时,∠COE与∠BOD的数量关系仍然保持不变,请你用等式表示出∠COE与∠BOD的数量关系,并说明理由.
答案：13.(1)DOC DOE DOC
(2)解:∠BOD=3∠COE.理由:设∠DOE=α,
则∠AOE=2α,∠COE=∠COD−∠DOE=60°−α,
所以∠BOD=180°−∠DOE−∠AOE=180°−3α=3(60°−α),
则∠BOD=3∠COE.
(2)解:∠BOD=3∠COE.理由:设∠DOE=α,
则∠AOE=2α,∠COE=∠COD−∠DOE=60°−α,
所以∠BOD=180°−∠DOE−∠AOE=180°−3α=3(60°−α),
则∠BOD=3∠COE.