1.【知识介绍】进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢十进一就是十进制,逢二进一就是二进制.也就是说,“逢几进一”就是几进制,几进制的基数就是几.我们常用的数是十进制数,如$4657=4×10^{3}+6×10^{2}+5×10^{1}+7×10^{0}$,要用10个数码(又叫数字):0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.在电子计算机中用的二进制,只要两个数码:0和1,如二进制中,$(110)_2=1×2^2+1×2^1+0×2^0$等于十进制的数6,$(10101)_2=1×2^4+0×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0$等于十进制的数21.
(注意:对于任何非零数a都有$a^0=1$,例如,$2^0=1$)
【解决问题】(1)二进制中的数$(101011)_2$等于十进制中的哪个数?
【应用拓展】我国古代《易经》一书中记载,远古时期,人们通过在绳子上打结来记录数量,即“结绳记数”.如图,一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结,满四进一,用来记录孩子自出生后的天数.
(2)图中“结绳记数”表示的四进制数是
(3)求该妇女的孩子出生了多少天?(结果用十进制数表示)
(注意:对于任何非零数a都有$a^0=1$,例如,$2^0=1$)
【解决问题】(1)二进制中的数$(101011)_2$等于十进制中的哪个数?
【应用拓展】我国古代《易经》一书中记载,远古时期,人们通过在绳子上打结来记录数量,即“结绳记数”.如图,一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结,满四进一,用来记录孩子自出生后的天数.
(2)图中“结绳记数”表示的四进制数是
(12302)₄
.(3)求该妇女的孩子出生了多少天?(结果用十进制数表示)
答案：(1)解:根据材料中二进制数转化为十进制数的方法可知
$(101011)_2=1×2^5+0×2^4+1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0=43$,
所以二进制中的数$(101011)_2$等于十进制中的数43.
(2)$(12302)_4$
(3)解:$(12302)_4=1×4^4+2×4^3+3×4^2+0×4^1+2×4^0=434$,
所以该妇女的孩子出生了434天.
$(101011)_2=1×2^5+0×2^4+1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0=43$,
所以二进制中的数$(101011)_2$等于十进制中的数43.
(2)$(12302)_4$
(3)解:$(12302)_4=1×4^4+2×4^3+3×4^2+0×4^1+2×4^0=434$,
所以该妇女的孩子出生了434天.
解析：
【分析】
解答这道题的核心是读懂材料给出的不同进制转十进制的规则，按规则逐步计算即可：
1. 解决第(1)问时，参照题目给出的二进制转十进制的方法，将二进制数的每一位数字乘以2的对应次方（次方数从右往左，最低位为0，依次递增），再将所有结果相加。
2. 解决第(2)问时，明确“满四进一”是四进制，绳子从右到左对应四进制的低位到高位，依次读取每根绳子的结数，从高位到低位写出即可得到四进制数。
3. 解决第(3)问时，类比二进制转十进制的方法，将四进制数的每一位乘以4的对应次方，相加后得到对应的十进制天数。
【解析】
(1) 根据二进制转十进制的规则：
$\begin{aligned}(101011)_2&=1×2^5+0×2^4+1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0\\&=32+0+8+0+2+1\\&=43\end{aligned}$
(2) 从右到左数每根绳子的结数：最右侧绳子2个结（对应$4^0$位），往左第二根0个结（对应$4^1$位），第三根3个结（对应$4^2$位），第四根2个结（对应$4^3$位），最左侧绳子1个结（对应$4^4$位），按高位到低位写出四进制数为$(12302)_4$。
(3) 四进制转十进制，按规则计算：
$\begin{aligned}(12302)_4&=1×4^4+2×4^3+3×4^2+0×4^1+2×4^0\\&=1×256+2×64+3×16+0+2×1\\&=256+128+48+0+2\\&=434\end{aligned}$
【答案】
(1) 43；(2) $(12302)_4$；(3) 434天
【知识点】
进制转换，有理数乘方，新定义运算
【点评】
本题结合新定义材料和古代“结绳记数”的背景，考查对进位制规则的理解和应用能力，解题的关键是掌握不同进制转换为十进制的通用方法：将每一位数字与对应基数的幂次（幂次从右往左由0开始递增）相乘后求和，侧重考察阅读理解和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
解答这道题的核心是读懂材料给出的不同进制转十进制的规则，按规则逐步计算即可：
1. 解决第(1)问时，参照题目给出的二进制转十进制的方法，将二进制数的每一位数字乘以2的对应次方（次方数从右往左，最低位为0，依次递增），再将所有结果相加。
2. 解决第(2)问时，明确“满四进一”是四进制，绳子从右到左对应四进制的低位到高位，依次读取每根绳子的结数，从高位到低位写出即可得到四进制数。
3. 解决第(3)问时，类比二进制转十进制的方法，将四进制数的每一位乘以4的对应次方，相加后得到对应的十进制天数。
【解析】
(1) 根据二进制转十进制的规则：
$\begin{aligned}(101011)_2&=1×2^5+0×2^4+1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0\\&=32+0+8+0+2+1\\&=43\end{aligned}$
(2) 从右到左数每根绳子的结数：最右侧绳子2个结（对应$4^0$位），往左第二根0个结（对应$4^1$位），第三根3个结（对应$4^2$位），第四根2个结（对应$4^3$位），最左侧绳子1个结（对应$4^4$位），按高位到低位写出四进制数为$(12302)_4$。
(3) 四进制转十进制，按规则计算：
$\begin{aligned}(12302)_4&=1×4^4+2×4^3+3×4^2+0×4^1+2×4^0\\&=1×256+2×64+3×16+0+2×1\\&=256+128+48+0+2\\&=434\end{aligned}$
【答案】
(1) 43；(2) $(12302)_4$；(3) 434天
【知识点】
进制转换，有理数乘方，新定义运算
【点评】
本题结合新定义材料和古代“结绳记数”的背景，考查对进位制规则的理解和应用能力，解题的关键是掌握不同进制转换为十进制的通用方法：将每一位数字与对应基数的幂次（幂次从右往左由0开始递增）相乘后求和，侧重考察阅读理解和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
2.信息①:在数学中:$2^0=1,(-97.5)^0=1,10^0=1,(-\dfrac{47}{53})^0=1$.除了零,任何数的零次幂都为1,即$a^0=1(a≠0)$.
信息②:在生活中,十进制数9527可以表示为:
$9527_{(十进制)}=9000+500+20+7=9×10^3+5×10^2+2×10^1+7×10^0$.
信息③:计算机中采用的是二进制,即只需要0和1两个符号就可以表示数.十进制数都可以改写成2的n次幂的降幂(指数由高次依次降到零次)式子,从而转化为二进制数,如$19_{(十进制)}=16+2+1$转化为$1×2^4+0×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0=10011_{(二进制)}$.根据以上信息,请参照示例步骤完成下列两个十进制数与二进制数之间的相互转化过程.
示例:$413_{(十进制)}=256+128+16+8+4+1$
$=1×2^8+1×2^7+0×2^6+0×2^5+1×2^4+1×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0$
$=110011101_{(二进制)}$.
(1)$12_{(十进制)}=$
(2)$1110101_{(二进制)}=$
信息②:在生活中,十进制数9527可以表示为:
$9527_{(十进制)}=9000+500+20+7=9×10^3+5×10^2+2×10^1+7×10^0$.
信息③:计算机中采用的是二进制,即只需要0和1两个符号就可以表示数.十进制数都可以改写成2的n次幂的降幂(指数由高次依次降到零次)式子,从而转化为二进制数,如$19_{(十进制)}=16+2+1$转化为$1×2^4+0×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0=10011_{(二进制)}$.根据以上信息,请参照示例步骤完成下列两个十进制数与二进制数之间的相互转化过程.
示例:$413_{(十进制)}=256+128+16+8+4+1$
$=1×2^8+1×2^7+0×2^6+0×2^5+1×2^4+1×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0$
$=110011101_{(二进制)}$.
(1)$12_{(十进制)}=$
$1×2^3+1×2^2+0×2^1+0×2^0$
,转化为二进制数为$1100_{(二进制)}$
;(2)$1110101_{(二进制)}=$
$1×2^6+1×2^5+1×2^4+0×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0$
,转化为十进制数为$117_{(十进制)}$
.答案：(1)$1×2^3+1×2^2+0×2^1+0×2^0$ $1100_{(二进制)}$
(2)$1×2^6+1×2^5+1×2^4+0×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0$ $117_{(十进制)}$
(2)$1×2^6+1×2^5+1×2^4+0×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0$ $117_{(十进制)}$
解析：
【分析】
解题时首先要读懂题目给出的信息和示例，明确进制转换的规则：①十进制转二进制：先把十进制数拆成若干个2的n次幂相加的形式，按指数从高到低排列，依次提取每一项的系数（1或0）就是对应的二进制数；②二进制转十进制：把二进制数的每一位数字乘对应位次的2的幂次（最高位的指数为总位数减1，依次降幂到0），求和后得到对应的十进制数。
做第(1)题时，先找不超过12的最大2的幂，逐步拆分12，再按规则写二进制数；第(2)题先确定每一位对应的2的幂次，再乘系数求和即可。
【解析】
(1) 先拆分十进制数12：不超过12的最大2的幂是$2^3=8$，$12-8=4$，4恰好是$2^2$，剩余的数为0，因此：
$12_{(十进制)}=8+4=1×2^3+1×2^2+0×2^1+0×2^0$
按从高次幂到低次幂的顺序提取各项系数，依次为1、1、0、0，因此对应的二进制数为$1100_{(二进制)}$。
(2) 二进制数$1110101$共7位，最高位对应的幂次为$7-1=6$，按降幂依次对应每一位：
$1110101_{(二进制)}=1×2^6+1×2^5+1×2^4+0×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0$
计算求和：$1×64 +1×32 +1×16 +0×8 +1×4 +0×2 +1×1=64+32+16+4+1=117$，即对应的十进制数为$117_{(十进制)}$。
【答案】
(1)$1×2^3+1×2^2+0×2^1+0×2^0$；$1100_{(二进制)}$
(2)$1×2^6+1×2^5+1×2^4+0×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0$；$117_{(十进制)}$
【知识点】
零指数幂性质；乘方运算；进制转换
【点评】
本题属于信息迁移类题目，解题核心是读懂材料给出的转换规则，按照示例的步骤模仿操作即可。答题时要注意拆分十进制数时要按2的幂次降幂排列，二进制转十进制时不要搞混每一位对应的幂次，细心计算就能得到正确结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先要读懂题目给出的信息和示例，明确进制转换的规则：①十进制转二进制：先把十进制数拆成若干个2的n次幂相加的形式，按指数从高到低排列，依次提取每一项的系数（1或0）就是对应的二进制数；②二进制转十进制：把二进制数的每一位数字乘对应位次的2的幂次（最高位的指数为总位数减1，依次降幂到0），求和后得到对应的十进制数。
做第(1)题时，先找不超过12的最大2的幂，逐步拆分12，再按规则写二进制数；第(2)题先确定每一位对应的2的幂次，再乘系数求和即可。
【解析】
(1) 先拆分十进制数12：不超过12的最大2的幂是$2^3=8$，$12-8=4$，4恰好是$2^2$，剩余的数为0，因此：
$12_{(十进制)}=8+4=1×2^3+1×2^2+0×2^1+0×2^0$
按从高次幂到低次幂的顺序提取各项系数，依次为1、1、0、0，因此对应的二进制数为$1100_{(二进制)}$。
(2) 二进制数$1110101$共7位，最高位对应的幂次为$7-1=6$，按降幂依次对应每一位：
$1110101_{(二进制)}=1×2^6+1×2^5+1×2^4+0×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0$
计算求和：$1×64 +1×32 +1×16 +0×8 +1×4 +0×2 +1×1=64+32+16+4+1=117$，即对应的十进制数为$117_{(十进制)}$。
【答案】
(1)$1×2^3+1×2^2+0×2^1+0×2^0$；$1100_{(二进制)}$
(2)$1×2^6+1×2^5+1×2^4+0×2^3+1×2^2+0×2^1+1×2^0$；$117_{(十进制)}$
【知识点】
零指数幂性质；乘方运算；进制转换
【点评】
本题属于信息迁移类题目，解题核心是读懂材料给出的转换规则，按照示例的步骤模仿操作即可。答题时要注意拆分十进制数时要按2的幂次降幂排列，二进制转十进制时不要搞混每一位对应的幂次，细心计算就能得到正确结果。
【难度系数】
0.7