1.(1)观察思考:如图,线段AB上有两个点C,D,请分别写出以A,B,C,D为端点的线段,并计算图中共有多少条线段;
(2)模型构建:如果线段上有m个点(包括线段的两个端点),则该线段上共有多少条线段?请说明你结论的正确性;
(3)拓展应用:某班45名同学在毕业后的一次聚会中,若每两人握1次手问好,那么共握多少次手?
请将这个问题转化为上述模型,并直接应用上述模型的结论解决问题.
(2)模型构建:如果线段上有m个点(包括线段的两个端点),则该线段上共有多少条线段?请说明你结论的正确性;
(3)拓展应用:某班45名同学在毕业后的一次聚会中,若每两人握1次手问好,那么共握多少次手?
请将这个问题转化为上述模型,并直接应用上述模型的结论解决问题.
答案：1.解:(1)因为以A为左端点向右的线段有:线段AB,AC,AD,
以C为左端点向右的线段有线段CD,CB,
以D为左端点的线段有线段DB,
所以共有3+2+1=6(条)线段.
(2)设线段上有m个点,该线段上共有线段x条,
则x=(m-1)+(m-2)+(m-3)+…+3+2+1,
所以倒序排列有x=1+2+3+…+(m-3)+(m-2)+(m-1),
所以2x=m+m+…+m=m(m-1),
所以x=$\frac{1}{2}m(m-1)$.
(3)把45位同学看作直线上的45个点,每两位同学之间的一次握手看作一条线段,直线上45个点所构成的线段条数就等于握手的次数,
因此一共要进行$\frac{1}{2}×45×(45-1)=990$(次)握手.
以C为左端点向右的线段有线段CD,CB,
以D为左端点的线段有线段DB,
所以共有3+2+1=6(条)线段.
(2)设线段上有m个点,该线段上共有线段x条,
则x=(m-1)+(m-2)+(m-3)+…+3+2+1,
所以倒序排列有x=1+2+3+…+(m-3)+(m-2)+(m-1),
所以2x=m+m+…+m=m(m-1),
所以x=$\frac{1}{2}m(m-1)$.
(3)把45位同学看作直线上的45个点,每两位同学之间的一次握手看作一条线段,直线上45个点所构成的线段条数就等于握手的次数,
因此一共要进行$\frac{1}{2}×45×(45-1)=990$(次)握手.
解析：
【分析】
（1）数线段时为了避免重复、遗漏，可采用“固定左端点，匹配右端点”的方法：从最左侧的点开始，依次和它右侧的所有点组合成线段，再按顺序换下一个点作为左端点，重复上述操作，最后将所有线段数相加即可。
（2）推导m个点的线段总数时，可类比第一问的计数逻辑：每个点都能和其余(m-1)个点组成线段，但每条线段会被重复统计2次，也可通过倒序相加的方法对等差数列求和，得到通用的计数公式。
（3）握手问题可转化为线段计数模型：把每位同学看作线段上的一个点，两人之间的一次握手对应两点之间的一条线段，因此握手总次数就等于45个点对应的线段总条数，直接代入第二问的公式计算即可。
【解析】
(1) 按固定左端点的方法计数：
以A为左端点的线段有：AC、AD、AB，共3条；
以C为左端点的线段有：CD、CB，共2条；
以D为左端点的线段有：DB，共1条；
总线段数：$3+2+1=6$（条）。
(2) 线段上共有$\frac{1}{2}m(m-1)$条线段，推导如下：
设线段上有m个点，共有线段x条，按计数规律可得：
$x=(m-1)+(m-2)+(m-3)+\dots+3+2+1$ ①
将式子倒序排列得：
$x=1+2+3+\dots+(m-3)+(m-2)+(m-1)$ ②
①+②可得：$2x=\underbrace{m+m+\dots+m}_{共(m-1)个m}=m(m-1)$
因此$x=\frac{1}{2}m(m-1)$。
(3) 把45名同学看作线段上的45个点，每两人握1次手对应两点之间的1条线段，因此握手总次数等于45个点构成的线段总条数，代入公式计算：
$\frac{1}{2}×45×(45-1)=\frac{1}{2}×45×44=990$（次）。
【答案】
(1) 线段为AC、AD、AB、CD、CB、DB，共6条；
(2) 共有$\boldsymbol{\frac{1}{2}m(m-1)}$条线段；
(3) 共握$\boldsymbol{990}$次手。
【知识点】
线段计数、规律探究、模型应用
【点评】
本题从基础的线段计数出发，由特殊到一般推导通用规律，再结合生活实际考查规律的迁移应用，能够有效锻炼归纳总结能力和知识转化能力，掌握有序计数的方法和线段计数通用公式是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.75
（1）数线段时为了避免重复、遗漏，可采用“固定左端点，匹配右端点”的方法：从最左侧的点开始，依次和它右侧的所有点组合成线段，再按顺序换下一个点作为左端点，重复上述操作，最后将所有线段数相加即可。
（2）推导m个点的线段总数时，可类比第一问的计数逻辑：每个点都能和其余(m-1)个点组成线段，但每条线段会被重复统计2次，也可通过倒序相加的方法对等差数列求和，得到通用的计数公式。
（3）握手问题可转化为线段计数模型：把每位同学看作线段上的一个点，两人之间的一次握手对应两点之间的一条线段，因此握手总次数就等于45个点对应的线段总条数，直接代入第二问的公式计算即可。
【解析】
(1) 按固定左端点的方法计数：
以A为左端点的线段有：AC、AD、AB，共3条；
以C为左端点的线段有：CD、CB，共2条；
以D为左端点的线段有：DB，共1条；
总线段数：$3+2+1=6$（条）。
(2) 线段上共有$\frac{1}{2}m(m-1)$条线段，推导如下：
设线段上有m个点，共有线段x条，按计数规律可得：
$x=(m-1)+(m-2)+(m-3)+\dots+3+2+1$ ①
将式子倒序排列得：
$x=1+2+3+\dots+(m-3)+(m-2)+(m-1)$ ②
①+②可得：$2x=\underbrace{m+m+\dots+m}_{共(m-1)个m}=m(m-1)$
因此$x=\frac{1}{2}m(m-1)$。
(3) 把45名同学看作线段上的45个点，每两人握1次手对应两点之间的1条线段，因此握手总次数等于45个点构成的线段总条数，代入公式计算：
$\frac{1}{2}×45×(45-1)=\frac{1}{2}×45×44=990$（次）。
【答案】
(1) 线段为AC、AD、AB、CD、CB、DB，共6条；
(2) 共有$\boldsymbol{\frac{1}{2}m(m-1)}$条线段；
(3) 共握$\boldsymbol{990}$次手。
【知识点】
线段计数、规律探究、模型应用
【点评】
本题从基础的线段计数出发，由特殊到一般推导通用规律，再结合生活实际考查规律的迁移应用，能够有效锻炼归纳总结能力和知识转化能力，掌握有序计数的方法和线段计数通用公式是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.75
2. (1)如图,在∠AOB中,以O为顶点引射线,补充完整下表:
(2)若∠AOB内射线的条数是n,请用含n的式子表示上面的结论；
(3)若∠AOB内射线的条数是2025,则角的总个数是多少？
(2)若∠AOB内射线的条数是n,请用含n的式子表示上面的结论；
(3)若∠AOB内射线的条数是2025,则角的总个数是多少？
答案：2.解:(1)填表如下：
|∠AOB内射线的条数|1|2|3|4|
|----|----|----|----|----|
|角的总个数|3|6|10|15|
(2)若∠AOB内射线的条数是n,则角的总个数为$\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$.
(3)当n=2025时,
$\frac{1}{2}(n+1)(n+2)=\frac{1}{2}×2026×2027=2053351$.
即角的总个数为2053351.
|∠AOB内射线的条数|1|2|3|4|
|----|----|----|----|----|
|角的总个数|3|6|10|15|
(2)若∠AOB内射线的条数是n,则角的总个数为$\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$.
(3)当n=2025时,
$\frac{1}{2}(n+1)(n+2)=\frac{1}{2}×2026×2027=2053351$.
即角的总个数为2053351.
解析：
【分析】
(1) 计数角的个数时，先明确：角由两条共端点的射线组成，当∠AOB内有k条射线时，总共有(k+2)条射线（含OA、OB），按顺序两两组合计数相加，就能得到对应角的总个数，填入表格即可。
(2) 推导通用公式时，从特殊情况的计数规律推广到一般：内有n条射线时总共有(n+2)条射线，按不重复的规则计数后，用求和方法化简就能得到含n的表达式。
(3) 第三问只需将n=2025代入第二问得到的表达式，按四则运算规则计算即可得到结果。
【解析】
(1) 当∠AOB内射线条数为1时，总射线数为$1+2=3$条，角的总个数为$2+1=3$；
内射线条数为2时，总射线数为$2+2=4$条，角的总个数为$3+2+1=6$；
内射线条数为3时，总射线数为$3+2=5$条，角的总个数为$4+3+2+1=10$；
内射线条数为4时，总射线数为$4+2=6$条，角的总个数为$5+4+3+2+1=15$；
故表格依次填入3、6、10、15。
(2) 当∠AOB内射线条数为n时，总共有$(n+2)$条射线，角的总个数为$1+2+3+\dots+(n+1)$，由求和公式可得：
$\frac{(1+n+1)(n+1)}{2}=\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$。
(3) 把$n=2025$代入$\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$得：
$\frac{1}{2}×(2025+1)×(2025+2)=\frac{1}{2}×2026×2027=1013×2027=2053351$。
【答案】
(1) 表格对应依次填：3、6、10、15；
(2) 角的总个数为$\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$；
(3) 角的总个数为2053351。
【知识点】
角的计数、规律探究、代数式求值
【点评】
本题从具体的角的计数出发，引导学生通过特殊情况归纳出一般规律，再应用规律解决具体数值问题，既考查了角的基本概念，也锻炼了归纳推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 计数角的个数时，先明确：角由两条共端点的射线组成，当∠AOB内有k条射线时，总共有(k+2)条射线（含OA、OB），按顺序两两组合计数相加，就能得到对应角的总个数，填入表格即可。
(2) 推导通用公式时，从特殊情况的计数规律推广到一般：内有n条射线时总共有(n+2)条射线，按不重复的规则计数后，用求和方法化简就能得到含n的表达式。
(3) 第三问只需将n=2025代入第二问得到的表达式，按四则运算规则计算即可得到结果。
【解析】
(1) 当∠AOB内射线条数为1时，总射线数为$1+2=3$条，角的总个数为$2+1=3$；
内射线条数为2时，总射线数为$2+2=4$条，角的总个数为$3+2+1=6$；
内射线条数为3时，总射线数为$3+2=5$条，角的总个数为$4+3+2+1=10$；
内射线条数为4时，总射线数为$4+2=6$条，角的总个数为$5+4+3+2+1=15$；
故表格依次填入3、6、10、15。
(2) 当∠AOB内射线条数为n时，总共有$(n+2)$条射线，角的总个数为$1+2+3+\dots+(n+1)$，由求和公式可得：
$\frac{(1+n+1)(n+1)}{2}=\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$。
(3) 把$n=2025$代入$\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$得：
$\frac{1}{2}×(2025+1)×(2025+2)=\frac{1}{2}×2026×2027=1013×2027=2053351$。
【答案】
(1) 表格对应依次填：3、6、10、15；
(2) 角的总个数为$\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$；
(3) 角的总个数为2053351。
【知识点】
角的计数、规律探究、代数式求值
【点评】
本题从具体的角的计数出发，引导学生通过特殊情况归纳出一般规律，再应用规律解决具体数值问题，既考查了角的基本概念，也锻炼了归纳推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.7