7.先化简,再求值:$\dfrac{x^2 - x}{x^2 + 2x + 1} ÷ ( \dfrac{2}{x+1} - \dfrac{1}{x} )$,从$-2 ＜ x ＜ 3$的范围内选择一个合适的整数作为$x$的值代入求值.
答案：7.解:原式$=\frac{x(x-1)}{(x+1)^2} ÷ \frac{2x-(x+1)}{x(x+1)} =\frac{x(x-1)}{(x+1)^2} · \frac{x(x+1)}{x-1} =\frac{x^2}{x+1}$.
$\because x≠-1,x≠0,x≠1$,$\therefore$当$x=2$时,原式$=\frac{4}{3}$.
$\because x≠-1,x≠0,x≠1$,$\therefore$当$x=2$时,原式$=\frac{4}{3}$.
8.(2025·蚌埠一模)【观察思考】观察下列等式：
第1个等式：$(\frac{1}{2}-\frac{3}{8})×\frac{12}{1}=\frac{3}{2}$；第2个等式：$(\frac{1}{3}-\frac{3}{15})×\frac{20}{2}=\frac{4}{3}$；
第3个等式：$(\frac{1}{4}-\frac{3}{24})×\frac{30}{3}=\frac{5}{4}$；第4个等式：$(\frac{1}{5}-\frac{3}{35})×\frac{42}{4}=\frac{6}{5}$。
【规律发现】
(1)第5个等式是
(2)猜想第n个等式是
【规律论证】
(3)请证明猜想的第n个等式。
第1个等式：$(\frac{1}{2}-\frac{3}{8})×\frac{12}{1}=\frac{3}{2}$；第2个等式：$(\frac{1}{3}-\frac{3}{15})×\frac{20}{2}=\frac{4}{3}$；
第3个等式：$(\frac{1}{4}-\frac{3}{24})×\frac{30}{3}=\frac{5}{4}$；第4个等式：$(\frac{1}{5}-\frac{3}{35})×\frac{42}{4}=\frac{6}{5}$。
【规律发现】
(1)第5个等式是
$(\frac{1}{6}-\frac{3}{48})×\frac{56}{5}=\frac{7}{6}$
；(2)猜想第n个等式是
$[\frac{1}{n+1}-\frac{3}{(n+2)^2-1}] · \frac{(n+2)(n+3)}{n} =\frac{n+2}{n+1}$
；(用含n的式子表示)【规律论证】
(3)请证明猜想的第n个等式。
答案：8.(1)$(\frac{1}{6}-\frac{3}{48})×\frac{56}{5}=\frac{7}{6}$
(2)$[\frac{1}{n+1}-\frac{3}{(n+2)^2-1}] · \frac{(n+2)(n+3)}{n} =\frac{n+2}{n+1}$
(3)证明:等式左边$=[\frac{n+3}{(n+1)(n+3)}-\frac{3}{(n+1)(n+3)}] · \frac{(n+2)(n+3)}{n} =\frac{n+3-3}{(n+1)(n+3)} · \frac{(n+2)(n+3)}{n} =\frac{n+2}{n+1}$,
左边=右边,
$\therefore$等式成立.
(2)$[\frac{1}{n+1}-\frac{3}{(n+2)^2-1}] · \frac{(n+2)(n+3)}{n} =\frac{n+2}{n+1}$
(3)证明:等式左边$=[\frac{n+3}{(n+1)(n+3)}-\frac{3}{(n+1)(n+3)}] · \frac{(n+2)(n+3)}{n} =\frac{n+3-3}{(n+1)(n+3)} · \frac{(n+2)(n+3)}{n} =\frac{n+2}{n+1}$,
左边=右边,
$\therefore$等式成立.
9.(2025·张店区二模)定义:若分式$M$与分式$N$的差等于它们的积,即$M-N=M· N$,则称分式$N$是分式$M$的“和美分式”.
(1)判断分式$\frac{1}{2x+4}$是否为分式$\frac{1}{2x+3}$的“和美分式”,并说明理由;
(2)小颖在求分式$\frac{1}{x^2+y^2}$的“和美分式”时,用了以下方法:
设$\frac{1}{x^2+y^2}$的“和美分式”为$A$,则$\frac{1}{x^2+y^2}-A=\frac{1}{x^2+y^2}· A$,
整理,得$(\frac{1}{x^2+y^2}+1)· A=\frac{1}{x^2+y^2}$,所以,$A=\frac{1}{x^2+y^2+1}$.
请你仿照小颖的方法,求分式$\frac{x-y}{2x+3y}$的“和美分式”.
(1)判断分式$\frac{1}{2x+4}$是否为分式$\frac{1}{2x+3}$的“和美分式”,并说明理由;
(2)小颖在求分式$\frac{1}{x^2+y^2}$的“和美分式”时,用了以下方法:
设$\frac{1}{x^2+y^2}$的“和美分式”为$A$,则$\frac{1}{x^2+y^2}-A=\frac{1}{x^2+y^2}· A$,
整理,得$(\frac{1}{x^2+y^2}+1)· A=\frac{1}{x^2+y^2}$,所以,$A=\frac{1}{x^2+y^2+1}$.
请你仿照小颖的方法,求分式$\frac{x-y}{2x+3y}$的“和美分式”.
答案：9.解:(1)分式$\frac{1}{2x+4}$是分式$\frac{1}{2x+3}$的“和差分式”.理由如下:
$\because \frac{1}{2x+3}-\frac{1}{2x+4} =\frac{2x+4}{(2x+3)(2x+4)} -\frac{2x+3}{(2x+3)(2x+4)} =\frac{2x+4-2x-3}{(2x+3)(2x+4)} =\frac{1}{(2x+3)(2x+4)} =\frac{1}{2x+3} · \frac{1}{2x+4}$,
$\therefore$分式$\frac{1}{2x+4}$是分式$\frac{1}{2x+3}$的“和差分式”.
(2)设$\frac{x-y}{2x+3y}$的“和差分式”为$A$,
$\therefore \frac{x-y}{2x+3y}-A =\frac{x-y}{2x+3y} · A$,
$\therefore (\frac{x-y}{2x+3y}+1) · A =\frac{x-y}{2x+3y}$,
$\therefore A =\frac{x-y}{2x+3y} ÷ (\frac{x-y}{2x+3y}+1) =\frac{x-y}{2x+3y} ÷ (\frac{x-y}{2x+3y}+\frac{2x+3y}{2x+3y}) =\frac{x-y}{2x+3y} ÷ \frac{x-y+2x+3y}{2x+3y} =\frac{x-y}{2x+3y} · \frac{2x+3y}{3x+2y} =\frac{x-y}{3x+2y}$,
$\therefore \frac{x-y}{2x+3y}$的“和差分式”为$\frac{x-y}{3x+2y}$.
$\because \frac{1}{2x+3}-\frac{1}{2x+4} =\frac{2x+4}{(2x+3)(2x+4)} -\frac{2x+3}{(2x+3)(2x+4)} =\frac{2x+4-2x-3}{(2x+3)(2x+4)} =\frac{1}{(2x+3)(2x+4)} =\frac{1}{2x+3} · \frac{1}{2x+4}$,
$\therefore$分式$\frac{1}{2x+4}$是分式$\frac{1}{2x+3}$的“和差分式”.
(2)设$\frac{x-y}{2x+3y}$的“和差分式”为$A$,
$\therefore \frac{x-y}{2x+3y}-A =\frac{x-y}{2x+3y} · A$,
$\therefore (\frac{x-y}{2x+3y}+1) · A =\frac{x-y}{2x+3y}$,
$\therefore A =\frac{x-y}{2x+3y} ÷ (\frac{x-y}{2x+3y}+1) =\frac{x-y}{2x+3y} ÷ (\frac{x-y}{2x+3y}+\frac{2x+3y}{2x+3y}) =\frac{x-y}{2x+3y} ÷ \frac{x-y+2x+3y}{2x+3y} =\frac{x-y}{2x+3y} · \frac{2x+3y}{3x+2y} =\frac{x-y}{3x+2y}$,
$\therefore \frac{x-y}{2x+3y}$的“和差分式”为$\frac{x-y}{3x+2y}$.