1.(2025·哈尔滨期末)在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,点$D,E$分别在射线$BA,CA$上,连接$DE$,$∠ AED=∠ ABC$.
【问题呈现】(1)如图①,点$D,E$分别在边$AB,AC$上,$△ ADE$是直角三角形吗?为什么?
【变式应用】(2)如图②,点$D,E$分别在$BA$的延长线,$CA$的延长线上,$∠ DAC$的平分线$AF$交$ED$的延长线于点$F$,连接$BF$交$CE$于点$G$,且$∠ EFG=∠ EGF$,求$∠ AFG$的度数.
【拓展延伸】(3)如图③,在【变式应用】中的条件下,延长$EF$交$BC$的延长线于点$H$,点$P$在$EC$的延长线上,连接$FP$,且$∠ PFG=∠ AFG$,若$∠ HFP=2∠ P$,求$∠ CBG$的度数.
【问题呈现】(1)如图①,点$D,E$分别在边$AB,AC$上,$△ ADE$是直角三角形吗?为什么?
【变式应用】(2)如图②,点$D,E$分别在$BA$的延长线,$CA$的延长线上,$∠ DAC$的平分线$AF$交$ED$的延长线于点$F$,连接$BF$交$CE$于点$G$,且$∠ EFG=∠ EGF$,求$∠ AFG$的度数.
【拓展延伸】(3)如图③,在【变式应用】中的条件下,延长$EF$交$BC$的延长线于点$H$,点$P$在$EC$的延长线上,连接$FP$,且$∠ PFG=∠ AFG$,若$∠ HFP=2∠ P$,求$∠ CBG$的度数.
答案：1.解:(1)△ADE是直角三角形,理由如下:
在Rt△ACB中,
∵∠C=90°,
∴∠A+∠B=90°.
∵∠AED=∠ABC,
∴∠A+∠AED=90°,
∴∠ADE=90°,
∴△ADE是直角三角形.
(2)设∠AED=∠ABC=2α,
∴∠BAC=90°-2α,
∴∠DAC=180°-(90°-2α)=90°+2α.
∵AF平分∠DAC,
∴∠FAC=45°+α.
在△EFG中,∠E+∠EFG+∠EGF=180°,
又
∵∠EFG=∠EGF,
∴2α+2∠EGF=180°,
∴∠EGF=∠EFG=90°-α.
在△AFG中,∠AFG+∠FAG+∠EGF=180°,
∴∠AFG+45°+α+90°-α=180°,
∴∠AFG=45°.
(3)由(2)可知∠EFG=∠EGF=90°-α,
∴∠HFG=180°-∠EFG=180°-(90°-α)=90°+α.
∵∠PFG=∠AFG=45°,
∴∠AFP=90°,∠HFP=∠HFG-∠PFG=90°+α-45°=45°+α.
又
∵∠FAP=45°+α,
∴∠P=90°-(45°+α)=45°-α.
∵∠HFP=2∠P,
∴∠HFP=90°-2α,
∴45°+α=90°-2α,解得α=15°.
∵∠CGB=∠EGF=90°-α,∠ACB=90°,
∴∠CBG=180°-∠GCB-∠CGB=180°-90°-(90°-15°)=15°.
在Rt△ACB中,
∵∠C=90°,
∴∠A+∠B=90°.
∵∠AED=∠ABC,
∴∠A+∠AED=90°,
∴∠ADE=90°,
∴△ADE是直角三角形.
(2)设∠AED=∠ABC=2α,
∴∠BAC=90°-2α,
∴∠DAC=180°-(90°-2α)=90°+2α.
∵AF平分∠DAC,
∴∠FAC=45°+α.
在△EFG中,∠E+∠EFG+∠EGF=180°,
又
∵∠EFG=∠EGF,
∴2α+2∠EGF=180°,
∴∠EGF=∠EFG=90°-α.
在△AFG中,∠AFG+∠FAG+∠EGF=180°,
∴∠AFG+45°+α+90°-α=180°,
∴∠AFG=45°.
(3)由(2)可知∠EFG=∠EGF=90°-α,
∴∠HFG=180°-∠EFG=180°-(90°-α)=90°+α.
∵∠PFG=∠AFG=45°,
∴∠AFP=90°,∠HFP=∠HFG-∠PFG=90°+α-45°=45°+α.
又
∵∠FAP=45°+α,
∴∠P=90°-(45°+α)=45°-α.
∵∠HFP=2∠P,
∴∠HFP=90°-2α,
∴45°+α=90°-2α,解得α=15°.
∵∠CGB=∠EGF=90°-α,∠ACB=90°,
∴∠CBG=180°-∠GCB-∠CGB=180°-90°-(90°-15°)=15°.
2.(1)如图①是一个五角星,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值.
(2)当图①中的点A向下移到BE上时(如图②),五个角的和(即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E)有无变化?说明你的结论的正确性.
(3)把图②中的点C向上移动到BD上时(如图③),五个角的和(即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E)有无变化?说明你的结论的正确性.
(2)当图①中的点A向下移到BE上时(如图②),五个角的和(即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E)有无变化?说明你的结论的正确性.
(3)把图②中的点C向上移动到BD上时(如图③),五个角的和(即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E)有无变化?说明你的结论的正确性.
答案：
2.解:(1)如答图,连接CD.
在△ACD中,根据三角形内角和定理,得∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB=180°.
∵∠1=∠B+∠E=∠2+∠3,
∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E
=∠A+∠B+∠E+∠ACE+∠ADB
=∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB=180°.
(2)无变化.理由如下:
根据平角的定义,得∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°.
∵∠BAC=∠C+∠E,∠EAD=∠B+∠D,
∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠BAC+∠CAD+∠EAD=180°.
(3)无变化.理由如下:
∵∠ACB=∠CAD+∠D,∠ECD=∠B+∠E,
∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°.
2.解:(1)如答图,连接CD.
在△ACD中,根据三角形内角和定理,得∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB=180°.
∵∠1=∠B+∠E=∠2+∠3,
∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E
=∠A+∠B+∠E+∠ACE+∠ADB
=∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB=180°.
(2)无变化.理由如下:
根据平角的定义,得∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°.
∵∠BAC=∠C+∠E,∠EAD=∠B+∠D,
∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠BAC+∠CAD+∠EAD=180°.
(3)无变化.理由如下:
∵∠ACB=∠CAD+∠D,∠ECD=∠B+∠E,
∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°.