7. 如图，△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE.
(1)求证:△BAD≌△CAE；
(2)若延长BD交CE于点F，试判断BF与CE的位置关系，并说明理由.
(1)求证:△BAD≌△CAE；
(2)若延长BD交CE于点F，试判断BF与CE的位置关系，并说明理由.
答案：
7.(1)证明:
∵△ABC,△ADE都是等腰直角三角形,
∠BAC=∠DAE=90°,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
即∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中,
$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠BAD=∠CAE,\\ AD=AE, \end{cases}$
∴△BAD≌△CAE(SAS).
(2)解:BF⊥CE.理由:如答图
.
∵△BAD≌△CAE,
∴∠ABD=∠ACE,
∴∠DBC+∠BCF=∠DBC+∠ACB+∠ABD=45°+45°=90°,
∴∠BFC=90°,
∴BF⊥CE.
7.(1)证明:
∵△ABC,△ADE都是等腰直角三角形,
∠BAC=∠DAE=90°,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
即∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中,
$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠BAD=∠CAE,\\ AD=AE, \end{cases}$
∴△BAD≌△CAE(SAS).
(2)解:BF⊥CE.理由:如答图
.∵△BAD≌△CAE,
∴∠ABD=∠ACE,
∴∠DBC+∠BCF=∠DBC+∠ACB+∠ABD=45°+45°=90°,
∴∠BFC=90°,
∴BF⊥CE.
8.(2025·青原区期末)如图,点C在线段AB上,AD//EB,AC=BE,AD=BC,CF平分∠DCE.
(1)证明:△ACD≌△BEC;
(2)若CF=3,DF=4,求△DCE的面积.
(1)证明:△ACD≌△BEC;
(2)若CF=3,DF=4,求△DCE的面积.
答案：8.(1)证明:
∵AD//BE,
∴∠A=∠B.
在△ACD和△BEC中,$\begin{cases} AC=BE,\\ ∠A=∠B,\\ AD=BC, \end{cases}$
∴△ACD≌△BEC(SAS).
(2)解:由(1)知△ACD≌△BEC,
∴DC=CE.
又
∵CF平分∠DCE,
∴∠DCF=∠ECF.
在△DCF和△ECF中,$\begin{cases} DC=EC,\\ ∠DCF=∠ECF,\\ CF=CF, \end{cases}$
∴△DCF≌△ECF(SAS),
∴∠DFC=∠EFC,DF=EF.
∵∠DFC+∠EFC=180°,
∴∠DFC=90°.
∵CF=3,DF=4,
∴DE=2DF=8,
∴$S_{△DCE}=\frac{DE·CF}{2}=\frac{8×3}{2}=12$.
∵AD//BE,
∴∠A=∠B.
在△ACD和△BEC中,$\begin{cases} AC=BE,\\ ∠A=∠B,\\ AD=BC, \end{cases}$
∴△ACD≌△BEC(SAS).
(2)解:由(1)知△ACD≌△BEC,
∴DC=CE.
又
∵CF平分∠DCE,
∴∠DCF=∠ECF.
在△DCF和△ECF中,$\begin{cases} DC=EC,\\ ∠DCF=∠ECF,\\ CF=CF, \end{cases}$
∴△DCF≌△ECF(SAS),
∴∠DFC=∠EFC,DF=EF.
∵∠DFC+∠EFC=180°,
∴∠DFC=90°.
∵CF=3,DF=4,
∴DE=2DF=8,
∴$S_{△DCE}=\frac{DE·CF}{2}=\frac{8×3}{2}=12$.
9. 已知在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，D是直线BC上的动点(点D不与点B,C重合)，连接CE.
(1)如图①，当点D在边BC上时，求证:BC=CE+CD.
(2)如图②，当点D在边BC的延长线上时，结论BC=CE+CD是否成立? 若不成立，请猜想BC,CE,CD之间存在的数量关系，并说明理由.
(3)如图③，当点D在边BC的反向延长线上时，补全图形，写出BC,CE,CD之间的数量关系，并证明.
(1)如图①，当点D在边BC上时，求证:BC=CE+CD.
(2)如图②，当点D在边BC的延长线上时，结论BC=CE+CD是否成立? 若不成立，请猜想BC,CE,CD之间存在的数量关系，并说明理由.
(3)如图③，当点D在边BC的反向延长线上时，补全图形，写出BC,CE,CD之间的数量关系，并证明.
答案：
9.(1)证明:
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD,
∴∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中,$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠BAD=∠CAE,\\ AD=AE, \end{cases}$
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD=CE,
∴BC=BD+CD=CE+CD.
(2)解:当点D在边BC的延长线上时,结论BC=CE+CD不成立,BC,CE,CD之间的数量关系是CE=BC+CD.理由如下:
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,
∴∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中,$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠BAD=∠CAE,\\ AD=AE, \end{cases}$
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD=CE.
∵BD=BC+CD,
∴CE=BC+CD.
(3)解:当点D在边BC的反向延长线上时,补全图形如答图
所示.
BC,CE,CD之间存在的数量关系是CD=BC+CE,证明如下:
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE,
∴∠CAE=∠BAD.
在△BAD和△CAE中,$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠BAD=∠CAE,\\ AD=AE, \end{cases}$
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD=CE,
∴CD=BC+BD=BC+CE.
9.(1)证明:
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD,
∴∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中,$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠BAD=∠CAE,\\ AD=AE, \end{cases}$
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD=CE,
∴BC=BD+CD=CE+CD.
(2)解:当点D在边BC的延长线上时,结论BC=CE+CD不成立,BC,CE,CD之间的数量关系是CE=BC+CD.理由如下:
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,
∴∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中,$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠BAD=∠CAE,\\ AD=AE, \end{cases}$
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD=CE.
∵BD=BC+CD,
∴CE=BC+CD.
(3)解:当点D在边BC的反向延长线上时,补全图形如答图
所示.BC,CE,CD之间存在的数量关系是CD=BC+CE,证明如下:
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE,
∴∠CAE=∠BAD.
在△BAD和△CAE中,$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠BAD=∠CAE,\\ AD=AE, \end{cases}$
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD=CE,
∴CD=BC+BD=BC+CE.