8.(2025·青浦区期末)如图，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点(格点)上，我们称这样的三角形为格点三角形.那么图中与△ABC有一条公共边且全等(不含△ABC)的所有格点三角形的个数是 (
A.5
B.6
C.7
D.8
C
)A.5
B.6
C.7
D.8
答案：8.C
9.如图，$AB=CD$，$DE=BF$，$AE=CF$.
(1)求证:$△ ABE≌△ CDF$;
(2)判断$AE$与$CF$的位置关系，并说明理由.
(1)求证:$△ ABE≌△ CDF$;
(2)判断$AE$与$CF$的位置关系，并说明理由.
答案：9.(1)证明:
∵DE=BF,
∴DE-EF=BF-EF,即DF=BE.
在△ABE和△CDF中,
$\begin{cases} AB=CD,\\ BE=DF,\\ AE=CF, \end{cases}$
∴△ABE≌△CDF(SSS).
(2)解:$AE// CF$.
理由:由(1)知△ABE≌△CDF,
∴∠AEB=∠DFC.
∵∠AEB+∠AEF=∠DFC+∠EFC=180°,
∴∠AEF=∠EFC,
∴AE//CF.
∵DE=BF,
∴DE-EF=BF-EF,即DF=BE.
在△ABE和△CDF中,
$\begin{cases} AB=CD,\\ BE=DF,\\ AE=CF, \end{cases}$
∴△ABE≌△CDF(SSS).
(2)解:$AE// CF$.
理由:由(1)知△ABE≌△CDF,
∴∠AEB=∠DFC.
∵∠AEB+∠AEF=∠DFC+∠EFC=180°,
∴∠AEF=∠EFC,
∴AE//CF.
10.如图,在△ABC中,AC=BC,D是AB上一点,AE⊥CD于点E,BF⊥CD交CD的延长线于点F,若CE=BF,AE=EF+BF,试判断直线AC与BC的位置关系,并说明理由.
答案：10.解:$AC⊥ BC$. 理由如下:
∵AE=EF+BF,CE=BF,
∴AE=EF+CE=CF.
在△ACE和△CBF中,
$\begin{cases} AC=CB,\\ AE=CF,\\ CE=BF, \end{cases}$
∴△ACE≌△CBF(SSS),
∴∠BCF=∠CAE.
∵AE⊥CD,
∴∠AEC=90°,
∴∠CAE+∠ACE=90°,
∴∠ACB=∠BCF+∠ACE=∠CAE+∠ACE=90°,
∴AC⊥BC.
∵AE=EF+BF,CE=BF,
∴AE=EF+CE=CF.
在△ACE和△CBF中,
$\begin{cases} AC=CB,\\ AE=CF,\\ CE=BF, \end{cases}$
∴△ACE≌△CBF(SSS),
∴∠BCF=∠CAE.
∵AE⊥CD,
∴∠AEC=90°,
∴∠CAE+∠ACE=90°,
∴∠ACB=∠BCF+∠ACE=∠CAE+∠ACE=90°,
∴AC⊥BC.
11.小春在做数学作业时，遇到这样一个问题:如图，$AB=CD$，$BC=AD$，请说明:$∠ A=∠ C$.小春动手测量了一下，发现$∠ A$确实等于$∠ C$，但她不能说明其中的道理，你能帮助她吗？
答案：
11.解:能.如答图,连接BD.
在△ABD和△CDB中,
$\begin{cases} AB=CD,\\ AD=CB,\\ BD=DB, \end{cases}$
∴△ABD≌△CDB(SSS),
∴∠A=∠C.
11.解:能.如答图,连接BD.
在△ABD和△CDB中,
$\begin{cases} AB=CD,\\ AD=CB,\\ BD=DB, \end{cases}$
∴△ABD≌△CDB(SSS),
∴∠A=∠C.
12.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=DC,E,F分别为AB,AD的中点,连接EC,FC.
(1)∠B与∠D相等吗?请说明理由.
(2)求证:EC=FC.
(1)∠B与∠D相等吗?请说明理由.
(2)求证:EC=FC.
答案：
12.(1)解:∠B与∠D相等.理由:如答图,连接AC.
在△ABC和△ADC中,
$\begin{cases} AB=AD,\\ BC=DC,\\ AC=AC, \end{cases}$
∴△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠B=∠D.
(2)证明:
∵E,F分别是AB,AD的中点,
∴$AE=\frac{1}{2}AB$,$AF=\frac{1}{2}AD$.
∵AB=AD,
∴AE=AF.
由(1)知△ABC≌△ADC,
∴∠EAC=∠FAC.
在△AEC和△AFC中,
$\begin{cases} AE=AF,\\ ∠EAC=∠FAC,\\ AC=AC, \end{cases}$
∴△AEC≌△AFC(SAS),
∴EC=FC.
12.(1)解:∠B与∠D相等.理由:如答图,连接AC.
在△ABC和△ADC中,
$\begin{cases} AB=AD,\\ BC=DC,\\ AC=AC, \end{cases}$
∴△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠B=∠D.
(2)证明:
∵E,F分别是AB,AD的中点,
∴$AE=\frac{1}{2}AB$,$AF=\frac{1}{2}AD$.
∵AB=AD,
∴AE=AF.
由(1)知△ABC≌△ADC,
∴∠EAC=∠FAC.
在△AEC和△AFC中,
$\begin{cases} AE=AF,\\ ∠EAC=∠FAC,\\ AC=AC, \end{cases}$
∴△AEC≌△AFC(SAS),
∴EC=FC.