三、解答题
7.(2025·福建)如图，点E，F分别在AB，AD的延长线上，∠CBE=∠CDF，∠ACB=∠ACD.
求证:AB=AD.
7.(2025·福建)如图，点E，F分别在AB，AD的延长线上，∠CBE=∠CDF，∠ACB=∠ACD.
求证:AB=AD.
答案：7.证明:
∵∠CBE=∠CDF,
∴180°−∠CBE=180°−∠CDF,
∴∠ABC=∠ADC.
在△ABC和△ADC中,$\begin{cases}∠ABC=∠ADC,\\∠ACB=∠ACD,\\AC=AC,\end{cases}$
∴△ABC≌△ADC(AAS),
∴AB=AD.
∵∠CBE=∠CDF,
∴180°−∠CBE=180°−∠CDF,
∴∠ABC=∠ADC.
在△ABC和△ADC中,$\begin{cases}∠ABC=∠ADC,\\∠ACB=∠ACD,\\AC=AC,\end{cases}$
∴△ABC≌△ADC(AAS),
∴AB=AD.
8.(2025·武侯区月考)如图，BE,CE分别为△ABC的两个外角∠CBM,∠BCN的平分线，EP⊥AM于点P，EQ⊥AN于点Q，ED⊥BC于点D，求证:点E在∠NAM的平分线上。
答案：8.证明:
∵BE,CE分别为△ABC的两个外角∠CBM,∠BCN的平分线,EP⊥AM,ED⊥BC,EQ⊥AN,
∴EP=ED,EQ=ED,
∴EP=EQ.
又
∵EP⊥AM,EQ⊥AN,
∴点E在∠NAM的平分线上.
∵BE,CE分别为△ABC的两个外角∠CBM,∠BCN的平分线,EP⊥AM,ED⊥BC,EQ⊥AN,
∴EP=ED,EQ=ED,
∴EP=EQ.
又
∵EP⊥AM,EQ⊥AN,
∴点E在∠NAM的平分线上.
9. 如图，在$△ ABC$中，D是边BC的中点，连接AD并延长到点E，使$DE=AD$，连接CE.
(1)求证：$△ ABD ≌ △ ECD$；
(2)若$△ ABD$的面积为5，求$△ ACE$的面积.
(1)求证：$△ ABD ≌ △ ECD$；
(2)若$△ ABD$的面积为5，求$△ ACE$的面积.
答案：9.(1)证明:
∵D是BC的中点,
∴BD=CD.
在△ABD与△ECD中,
$\begin{cases}BD=CD,\\∠ADB=∠EDC,\\AD=ED,\end{cases}$
∴△ABD≌△ECD(SAS).
(2)解:在△ABC中,D是边BC的中点,
∴S△ABD=S△ADC.
由(1)知△ABD≌△ECD,
∴S△ABD=S△ECD.
∵S△ABD=5,
∴S△ACE=S△ACD+S△ECD=5+5=10,
即△ACE的面积为10.
∵D是BC的中点,
∴BD=CD.
在△ABD与△ECD中,
$\begin{cases}BD=CD,\\∠ADB=∠EDC,\\AD=ED,\end{cases}$
∴△ABD≌△ECD(SAS).
(2)解:在△ABC中,D是边BC的中点,
∴S△ABD=S△ADC.
由(1)知△ABD≌△ECD,
∴S△ABD=S△ECD.
∵S△ABD=5,
∴S△ACE=S△ACD+S△ECD=5+5=10,
即△ACE的面积为10.
10.如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CE⊥ AB$于点$E$，$AD=AC$，$AF$平分$∠ CAB$交$CE$于点$F$，连接$DF$并延长，交$AC$于点$G$。
(1)若$∠ B=40°$，求$∠ ADF$的度数；
(2)求证:$FG=FE$。
(1)若$∠ B=40°$，求$∠ ADF$的度数；
(2)求证:$FG=FE$。
答案：10.(1)解:
∵AF平分∠CAB,
∴∠CAF=∠DAF.
在△ACF和△ADF中,
$\begin{cases}AC=AD,\\∠CAF=∠DAF,\\AF=AF,\end{cases}$
∴△ACF≌△ADF(SAS),
∴∠ACF=∠ADF.
∵∠ACB=90°,CE⊥AB,
∴∠ACE+∠CAE=90°,∠CAE+∠B=90°,
∴∠ACF=∠B,
∴∠ADF=∠B=40°.
(2)证明:由(1)知∠ADF=∠B,
∴DG//BC.
∵BC⊥AC,
∴DG⊥AC.
又FE⊥AB,AF平分∠CAB,
∴FG=FE.
∵AF平分∠CAB,
∴∠CAF=∠DAF.
在△ACF和△ADF中,
$\begin{cases}AC=AD,\\∠CAF=∠DAF,\\AF=AF,\end{cases}$
∴△ACF≌△ADF(SAS),
∴∠ACF=∠ADF.
∵∠ACB=90°,CE⊥AB,
∴∠ACE+∠CAE=90°,∠CAE+∠B=90°,
∴∠ACF=∠B,
∴∠ADF=∠B=40°.
(2)证明:由(1)知∠ADF=∠B,
∴DG//BC.
∵BC⊥AC,
∴DG⊥AC.
又FE⊥AB,AF平分∠CAB,
∴FG=FE.