1.约分:把一个分式的分子与分母的
公因式
约去,叫作分式的约分。答案：公因式
解析：
【分析】
这道题属于基础概念识记类题目，考查分式约分的定义。解题时可类比分数约分的规则：分数约分是约去分子与分母的公因数，对应到分式中，就是约去分子和分母共有的因式，结合教材给出的分式约分定义，就能直接得出答案。
【解析】
根据分式约分的明确规定：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分，因此横线处应填写公因式。
【答案】
公因式
【知识点】
分式的约分定义
【点评】
本题是基础概念考查题，侧重对课本基础定义的记忆，熟练掌握教材核心概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
这道题属于基础概念识记类题目，考查分式约分的定义。解题时可类比分数约分的规则：分数约分是约去分子与分母的公因数，对应到分式中，就是约去分子和分母共有的因式，结合教材给出的分式约分定义，就能直接得出答案。
【解析】
根据分式约分的明确规定：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分，因此横线处应填写公因式。
【答案】
公因式
【知识点】
分式的约分定义
【点评】
本题是基础概念考查题，侧重对课本基础定义的记忆，熟练掌握教材核心概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2.分子与分母没有公因式的分式，叫作
最简分式
.答案：最简分式
解析：
【分析】
本题考查分式相关的基础定义识记，解题思路是回忆课本中分式的相关概念：我们在学习分式的基本性质时，明确了不同分式的命名规则，其中分子和分母没有公因式的分式有对应的专属概念名称，直接匹配对应定义即可作答。
【解析】
根据分式的相关定义：如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式就叫作最简分式，因此本题直接填入对应概念名称即可。
【答案】
最简分式
【知识点】
1. 最简分式的定义
2. 分式的基本概念
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查对课本基础定义的记忆与掌握，难度极低，只要平时注重基础概念的识记就能顺利答对。
【难度系数】
0.9
本题考查分式相关的基础定义识记，解题思路是回忆课本中分式的相关概念：我们在学习分式的基本性质时，明确了不同分式的命名规则，其中分子和分母没有公因式的分式有对应的专属概念名称，直接匹配对应定义即可作答。
【解析】
根据分式的相关定义：如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式就叫作最简分式，因此本题直接填入对应概念名称即可。
【答案】
最简分式
【知识点】
1. 最简分式的定义
2. 分式的基本概念
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查对课本基础定义的记忆与掌握，难度极低，只要平时注重基础概念的识记就能顺利答对。
【难度系数】
0.9
3.把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的
同分母
的分式，叫作分式的通分。答案：同分母
解析：
【分析】
本题考查分式通分的定义，解题时需回忆通分的核心要求：一是变化后的分式必须和原分式相等，二是要把原本不同的分母转化为相同的分母，直接对应通分的定义内容就能得出答案。
【解析】
根据分式通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分，因此空缺处应填写“同分母”。
【答案】
同分母
【知识点】
1. 分式通分的定义
2. 分式的基本性质
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考查对教材基础定义的掌握情况，牢记相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查分式通分的定义，解题时需回忆通分的核心要求：一是变化后的分式必须和原分式相等，二是要把原本不同的分母转化为相同的分母，直接对应通分的定义内容就能得出答案。
【解析】
根据分式通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分，因此空缺处应填写“同分母”。
【答案】
同分母
【知识点】
1. 分式通分的定义
2. 分式的基本性质
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考查对教材基础定义的掌握情况，牢记相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
1. 下列分式中,是最简分式的是 （
A.$\dfrac{4xy}{x^2}$
B.$\dfrac{x^2 -1}{1+x}$
C.$\dfrac{x^2 +1}{x -1}$
D.$\dfrac{4}{2x -6}$
C
）A.$\dfrac{4xy}{x^2}$
B.$\dfrac{x^2 -1}{1+x}$
C.$\dfrac{x^2 +1}{x -1}$
D.$\dfrac{4}{2x -6}$
答案：C
解析：
【分析】
要判断最简分式，首先需明确最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。解题思路为：对每个选项的分子、分母分别进行因式分解，判断二者是否存在公因式，若存在公因式则说明可约分，不是最简分式；若不存在公因式，则为最简分式。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\dfrac{4xy}{x^2}$，分子分母有公因式$x$，约分可得$\dfrac{4y}{x}$，不是最简分式；
B选项：$\dfrac{x^2-1}{1+x}$，分子利用平方差公式因式分解得$(x+1)(x-1)$，与分母$x+1$有公因式$x+1$，约分可得$x-1$，不是最简分式；
C选项：$\dfrac{x^2+1}{x-1}$，分子$x^2+1$无法因式分解，和分母$x-1$没有公因式，不能约分，是最简分式；
D选项：$\dfrac{4}{2x-6}$，分母提取公因式2得$2(x-3)$，分子分母有公因式2，约分可得$\dfrac{2}{x-3}$，不是最简分式。
【答案】
C
【知识点】
最简分式的判定、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式基础题型，核心考查最简分式的判断方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，准确找出分子分母的公因式。
【难度系数】
0.8
要判断最简分式，首先需明确最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。解题思路为：对每个选项的分子、分母分别进行因式分解，判断二者是否存在公因式，若存在公因式则说明可约分，不是最简分式；若不存在公因式，则为最简分式。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\dfrac{4xy}{x^2}$，分子分母有公因式$x$，约分可得$\dfrac{4y}{x}$，不是最简分式；
B选项：$\dfrac{x^2-1}{1+x}$，分子利用平方差公式因式分解得$(x+1)(x-1)$，与分母$x+1$有公因式$x+1$，约分可得$x-1$，不是最简分式；
C选项：$\dfrac{x^2+1}{x-1}$，分子$x^2+1$无法因式分解，和分母$x-1$没有公因式，不能约分，是最简分式；
D选项：$\dfrac{4}{2x-6}$，分母提取公因式2得$2(x-3)$，分子分母有公因式2，约分可得$\dfrac{2}{x-3}$，不是最简分式。
【答案】
C
【知识点】
最简分式的判定、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式基础题型，核心考查最简分式的判断方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，准确找出分子分母的公因式。
【难度系数】
0.8
2. 对下列分式约分，正确的是 （
A.$\frac{a^6}{a^4}=a$
B.$\frac{x+y}{x-y}=-1$
C.$\frac{2ab^5}{6a^2b^3}=\frac{1}{3}$
D.$\frac{m+n}{m^2+mn}=\frac{1}{m}$
D
）A.$\frac{a^6}{a^4}=a$
B.$\frac{x+y}{x-y}=-1$
C.$\frac{2ab^5}{6a^2b^3}=\frac{1}{3}$
D.$\frac{m+n}{m^2+mn}=\frac{1}{m}$
答案：D
解析：
【分析】
解决分式约分类题目，核心依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。解题时需逐个分析选项：先判断分子分母是否有公因式，若有多项式需先因式分解，再约去所有公因式，最后对比约分结果是否正确，同时注意不能直接约去分子分母中单独的项。
【解析】
我们逐个判断选项的正误：
A. 根据同底数幂的除法法则，$\frac{a^6}{a^4}=a^{6-4}=a^2≠ a$，故A选项错误；
B. 分子$x+y$和分母$x-y$没有公因式，无法约分，且显然不等于$-1$，故B选项错误；
C. 分子分母的公因式为$2ab^3$，约分后$\frac{2ab^5}{6a^2b^3}=\frac{b^2}{3a}≠\frac{1}{3}$，故C选项错误；
D. 先对分母因式分解：$m^2+mn=m(m+n)$，因此$\frac{m+n}{m^2+mn}=\frac{m+n}{m(m+n)}$，约去公因式$m+n$（隐含$m+n≠0$、$m≠0$的条件），得到$\frac{1}{m}$，故D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质、分式约分、因式分解
【点评】
本题是分式约分的基础题，需注意约分的前提是分子分母有公因式，遇到多项式时要先因式分解再找公因式，不能直接约去分子分母中的单个项，同时要熟练掌握同底数幂的运算规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
解决分式约分类题目，核心依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。解题时需逐个分析选项：先判断分子分母是否有公因式，若有多项式需先因式分解，再约去所有公因式，最后对比约分结果是否正确，同时注意不能直接约去分子分母中单独的项。
【解析】
我们逐个判断选项的正误：
A. 根据同底数幂的除法法则，$\frac{a^6}{a^4}=a^{6-4}=a^2≠ a$，故A选项错误；
B. 分子$x+y$和分母$x-y$没有公因式，无法约分，且显然不等于$-1$，故B选项错误；
C. 分子分母的公因式为$2ab^3$，约分后$\frac{2ab^5}{6a^2b^3}=\frac{b^2}{3a}≠\frac{1}{3}$，故C选项错误；
D. 先对分母因式分解：$m^2+mn=m(m+n)$，因此$\frac{m+n}{m^2+mn}=\frac{m+n}{m(m+n)}$，约去公因式$m+n$（隐含$m+n≠0$、$m≠0$的条件），得到$\frac{1}{m}$，故D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质、分式约分、因式分解
【点评】
本题是分式约分的基础题，需注意约分的前提是分子分母有公因式，遇到多项式时要先因式分解再找公因式，不能直接约去分子分母中的单个项，同时要熟练掌握同底数幂的运算规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
3. 分式$\frac{3}{4a}$与$\frac{1}{3ab}$的最简公分母是 （
A.$a$
B.$12ab$
C.$12a^2b$
D.$a^2b$
B
）A.$a$
B.$12ab$
C.$12a^2b$
D.$a^2b$
答案：B
解析：
【分析】
要找两个分式的最简公分母，需遵循固定的求解规则：第一步找各分母系数的最小公倍数，第二步提取所有分母中出现过的字母因式，第三步相同字母因式取最高次幂，最后将这几部分相乘，得到的结果就是最简公分母。本题按照该规则逐步计算即可。
【解析】
两个分式的分母分别为$4a$和$3ab$：
1. 计算系数的最小公倍数：4和3互质，最小公倍数是$4×3=12$；
2. 提取所有出现的字母因式：两个分母中出现的字母有$a$和$b$；
3. 确定各字母的最高次幂：$a$的最高次数为1次，$b$的最高次数为1次；
将以上部分相乘可得最简公分母为$12× a× b=12ab$，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
最简公分母的确定；最小公倍数计算
【点评】
本题是基础题型，重点考察最简公分母的求解规则，掌握系数取最小公倍数、同因式取最高次、不同因式都要取的规律就能快速解题。
【难度系数】
0.9
要找两个分式的最简公分母，需遵循固定的求解规则：第一步找各分母系数的最小公倍数，第二步提取所有分母中出现过的字母因式，第三步相同字母因式取最高次幂，最后将这几部分相乘，得到的结果就是最简公分母。本题按照该规则逐步计算即可。
【解析】
两个分式的分母分别为$4a$和$3ab$：
1. 计算系数的最小公倍数：4和3互质，最小公倍数是$4×3=12$；
2. 提取所有出现的字母因式：两个分母中出现的字母有$a$和$b$；
3. 确定各字母的最高次幂：$a$的最高次数为1次，$b$的最高次数为1次；
将以上部分相乘可得最简公分母为$12× a× b=12ab$，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
最简公分母的确定；最小公倍数计算
【点评】
本题是基础题型，重点考察最简公分母的求解规则，掌握系数取最小公倍数、同因式取最高次、不同因式都要取的规律就能快速解题。
【难度系数】
0.9
4.化简下列分式：
(1)$\frac{-2ac^2}{14a^2bc}$；
(2)$\frac{4 - a^2}{a^2 - 2a}$；
(3)$\frac{x^2 - 16}{2x + 8}$。
(1)$\frac{-2ac^2}{14a^2bc}$；
(2)$\frac{4 - a^2}{a^2 - 2a}$；
(3)$\frac{x^2 - 16}{2x + 8}$。
答案：(1)原式$=-\frac{c}{7ab}$.
(2)原式$=\frac{(2+a)(2-a)}{a(a-2)}=-\frac{2+a}{a}$.
(3)原式$=\frac{(x-4)(x+4)}{2(x+4)}=\frac{x-4}{2}$.
(2)原式$=\frac{(2+a)(2-a)}{a(a-2)}=-\frac{2+a}{a}$.
(3)原式$=\frac{(x-4)(x+4)}{2(x+4)}=\frac{x-4}{2}$.
解析：
【分析】
分式化简的核心是约分，解题思路如下：①如果分子、分母是单项式，先确定系数的最大公约数，再找出相同字母的最低次幂，组合得到公因式后约去，同时注意符号处理；②如果分子、分母是多项式，先对分子、分母分别因式分解，再提取公因式约分，若遇到互为相反数的因式（如$2-a$和$a-2$），可提取负号转化为相同因式后再约分，最终结果要化为最简分式。
【解析】
(1) 分子分母均为单项式，公因式为$2ac$：
原式$=\frac{-2ac· c}{2ac·7ab}=-\frac{c}{7ab}$（约去公因式$2ac$）
(2) 先对分子分母因式分解：分子$4-a^2$用平方差公式分解为$(2+a)(2-a)$，分母$a^2-2a$提取公因式$a$得$a(a-2)$：
原式$=\frac{(2+a)(2-a)}{a(a-2)}=\frac{-(2+a)(a-2)}{a(a-2)}=-\frac{2+a}{a}$（约去公因式$a-2$，注意符号变化）
(3) 先对分子分母因式分解：分子$x^2-16$用平方差公式分解为$(x-4)(x+4)$，分母$2x+8$提取公因式$2$得$2(x+4)$：
原式$=\frac{(x-4)(x+4)}{2(x+4)}=\frac{x-4}{2}$（约去公因式$x+4$）
【答案】
(1)$-\frac{c}{7ab}$；(2)$-\frac{2+a}{a}$；(3)$\frac{x-4}{2}$
【知识点】
分式的基本性质，因式分解，分式约分
【点评】
本题属于分式化简的基础题，需熟练掌握单项式、多项式形式的分式的约分步骤，尤其注意互为相反数的因式约分时的符号变化，约分需彻底，最终结果为最简分式。
【难度系数】
0.75
分式化简的核心是约分，解题思路如下：①如果分子、分母是单项式，先确定系数的最大公约数，再找出相同字母的最低次幂，组合得到公因式后约去，同时注意符号处理；②如果分子、分母是多项式，先对分子、分母分别因式分解，再提取公因式约分，若遇到互为相反数的因式（如$2-a$和$a-2$），可提取负号转化为相同因式后再约分，最终结果要化为最简分式。
【解析】
(1) 分子分母均为单项式，公因式为$2ac$：
原式$=\frac{-2ac· c}{2ac·7ab}=-\frac{c}{7ab}$（约去公因式$2ac$）
(2) 先对分子分母因式分解：分子$4-a^2$用平方差公式分解为$(2+a)(2-a)$，分母$a^2-2a$提取公因式$a$得$a(a-2)$：
原式$=\frac{(2+a)(2-a)}{a(a-2)}=\frac{-(2+a)(a-2)}{a(a-2)}=-\frac{2+a}{a}$（约去公因式$a-2$，注意符号变化）
(3) 先对分子分母因式分解：分子$x^2-16$用平方差公式分解为$(x-4)(x+4)$，分母$2x+8$提取公因式$2$得$2(x+4)$：
原式$=\frac{(x-4)(x+4)}{2(x+4)}=\frac{x-4}{2}$（约去公因式$x+4$）
【答案】
(1)$-\frac{c}{7ab}$；(2)$-\frac{2+a}{a}$；(3)$\frac{x-4}{2}$
【知识点】
分式的基本性质，因式分解，分式约分
【点评】
本题属于分式化简的基础题，需熟练掌握单项式、多项式形式的分式的约分步骤，尤其注意互为相反数的因式约分时的符号变化，约分需彻底，最终结果为最简分式。
【难度系数】
0.75
5.通分：
(1)$\frac{1}{3x^2},\frac{5}{12xy};$
(2)
(1)$\frac{1}{3x^2},\frac{5}{12xy};$
(2)
答案：(1)
∵两个分式的分母分别为$3x^2,12xy$,
∴系数的最小公倍数为12.
∵含x的项与含y的项的最高次数分别为2,1,
∴最简公分母为$12x^2y$,
∴$\frac{1}{3x^2}=\frac{4y}{12x^2y},\frac{5}{12xy}=\frac{5x}{12x^2y}$.
(2)
∵$x^2+x=x(x+1),x^2-x=x(x-1)$,
∴最简公分母为$x(x+1)(x-1)$,
∴$\frac{1}{x^2+x}=\frac{1}{x(x+1)}=\frac{x-1}{x(x+1)(x-1)}$,
$\frac{1}{x^2-x}=\frac{1}{x(x-1)}=\frac{x+1}{x(x+1)(x-1)}$.
∵两个分式的分母分别为$3x^2,12xy$,
∴系数的最小公倍数为12.
∵含x的项与含y的项的最高次数分别为2,1,
∴最简公分母为$12x^2y$,
∴$\frac{1}{3x^2}=\frac{4y}{12x^2y},\frac{5}{12xy}=\frac{5x}{12x^2y}$.
(2)
∵$x^2+x=x(x+1),x^2-x=x(x-1)$,
∴最简公分母为$x(x+1)(x-1)$,
∴$\frac{1}{x^2+x}=\frac{1}{x(x+1)}=\frac{x-1}{x(x+1)(x-1)}$,
$\frac{1}{x^2-x}=\frac{1}{x(x-1)}=\frac{x+1}{x(x+1)(x-1)}$.
解析：
【分析】
通分的核心是先确定几个分式的最简公分母，解题思路分为两步：第一步找最简公分母：若分母是单项式，直接取各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母相乘得到最简公分母；若分母是多项式，先对每个分母因式分解，再按上述规则确定最简公分母。第二步根据分式的基本性质，将每个分式的分子、分母同乘合适的整式，使各分式的分母都转化为最简公分母即可。
【解析】
(1) 两个分式的分母分别为$3x^2$，$12xy$：
系数3和12的最小公倍数为12，含x的项最高次数为2，含y的项最高次数为1，因此最简公分母为$12x^2y$。
根据分式的基本性质通分得：
$\frac{1}{3x^2}=\frac{1×4y}{3x^2×4y}=\frac{4y}{12x^2y}$，
$\frac{5}{12xy}=\frac{5× x}{12xy× x}=\frac{5x}{12x^2y}$。
(2) 两个分式的分母分别为$x^2+x$，$x^2-x$：
先对分母因式分解：$x^2+x=x(x+1)$，$x^2-x=x(x-1)$，
可得最简公分母为$x(x+1)(x-1)$，
根据分式的基本性质通分得：
$\frac{1}{x^2+x}=\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1×(x-1)}{x(x+1)×(x-1)}=\frac{x-1}{x(x+1)(x-1)}$，
$\frac{1}{x^2-x}=\frac{1}{x(x-1)}=\frac{1×(x+1)}{x(x-1)×(x+1)}=\frac{x+1}{x(x+1)(x-1)}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3x^2}=\frac{4y}{12x^2y}$，$\frac{5}{12xy}=\frac{5x}{12x^2y}$；
(2) $\frac{1}{x^2+x}=\frac{x-1}{x(x+1)(x-1)}$，$\frac{1}{x^2-x}=\frac{x+1}{x(x+1)(x-1)}$。
【知识点】
分式的基本性质，因式分解，分式通分
【点评】
本题是分式通分的基础题型，重点考查最简公分母的确定方法，解题时注意区分单项式分母和多项式分母的处理差异，多项式分母要先因式分解再找最简公分母，熟练掌握通分步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
通分的核心是先确定几个分式的最简公分母，解题思路分为两步：第一步找最简公分母：若分母是单项式，直接取各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母相乘得到最简公分母；若分母是多项式，先对每个分母因式分解，再按上述规则确定最简公分母。第二步根据分式的基本性质，将每个分式的分子、分母同乘合适的整式，使各分式的分母都转化为最简公分母即可。
【解析】
(1) 两个分式的分母分别为$3x^2$，$12xy$：
系数3和12的最小公倍数为12，含x的项最高次数为2，含y的项最高次数为1，因此最简公分母为$12x^2y$。
根据分式的基本性质通分得：
$\frac{1}{3x^2}=\frac{1×4y}{3x^2×4y}=\frac{4y}{12x^2y}$，
$\frac{5}{12xy}=\frac{5× x}{12xy× x}=\frac{5x}{12x^2y}$。
(2) 两个分式的分母分别为$x^2+x$，$x^2-x$：
先对分母因式分解：$x^2+x=x(x+1)$，$x^2-x=x(x-1)$，
可得最简公分母为$x(x+1)(x-1)$，
根据分式的基本性质通分得：
$\frac{1}{x^2+x}=\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1×(x-1)}{x(x+1)×(x-1)}=\frac{x-1}{x(x+1)(x-1)}$，
$\frac{1}{x^2-x}=\frac{1}{x(x-1)}=\frac{1×(x+1)}{x(x-1)×(x+1)}=\frac{x+1}{x(x+1)(x-1)}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3x^2}=\frac{4y}{12x^2y}$，$\frac{5}{12xy}=\frac{5x}{12x^2y}$；
(2) $\frac{1}{x^2+x}=\frac{x-1}{x(x+1)(x-1)}$，$\frac{1}{x^2-x}=\frac{x+1}{x(x+1)(x-1)}$。
【知识点】
分式的基本性质，因式分解，分式通分
【点评】
本题是分式通分的基础题型，重点考查最简公分母的确定方法，解题时注意区分单项式分母和多项式分母的处理差异，多项式分母要先因式分解再找最简公分母，熟练掌握通分步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6.通分：
(1)$\frac{1}{x},\frac{x}{x+1},\frac{2}{3x}$；
(2)
(1)$\frac{1}{x},\frac{x}{x+1},\frac{2}{3x}$；
(2)
答案：(1)$\frac{1}{x}=\frac{3(x+1)}{3x(x+1)}=\frac{3x+3}{3x(x+1)}$,
$\frac{x}{x+1}=\frac{3x^2}{3x(x+1)},\frac{2}{3x}=\frac{2x+2}{3x(x+1)}$.
(2)它们的最简公分母是$3(x-3)^2(x+3)$,
$\frac{1}{x^2-6x+9}=\frac{3x+9}{3(x-3)^2(x+3)}$,
$\frac{2}{x^2-9}=\frac{6x-18}{3(x-3)^2(x+3)}$,
$\frac{1}{3x-9}=\frac{x^2-9}{3(x-3)^2(x+3)}$.
$\frac{x}{x+1}=\frac{3x^2}{3x(x+1)},\frac{2}{3x}=\frac{2x+2}{3x(x+1)}$.
(2)它们的最简公分母是$3(x-3)^2(x+3)$,
$\frac{1}{x^2-6x+9}=\frac{3x+9}{3(x-3)^2(x+3)}$,
$\frac{2}{x^2-9}=\frac{6x-18}{3(x-3)^2(x+3)}$,
$\frac{1}{3x-9}=\frac{x^2-9}{3(x-3)^2(x+3)}$.
解析：
【分析】
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，解题步骤如下：①先将每个分式的分母因式分解；②取各分母系数的最小公倍数，乘所有不同因式的最高次幂，所得结果就是最简公分母；③根据分式的基本性质，给每个分式的分子、分母同乘分母缺少的因式，使各分式的分母都变为最简公分母即可。
【解析】
(1) 三个分式的分母分别为$x$、$x+1$、$3x$，系数最小公倍数是3，所含整式因式为$x$、$x+1$，因此最简公分母为$3x(x+1)$：
$\frac{1}{x}$的分母缺少因式$3(x+1)$，分子分母同乘$3(x+1)$，得$\frac{1×3(x+1)}{x×3(x+1)}=\frac{3x+3}{3x(x+1)}$；
$\frac{x}{x+1}$的分母缺少因式$3x$，分子分母同乘$3x$，得$\frac{x×3x}{(x+1)×3x}=\frac{3x^2}{3x(x+1)}$；
$\frac{2}{3x}$的分母缺少因式$x+1$，分子分母同乘$x+1$，得$\frac{2×(x+1)}{3x×(x+1)}=\frac{2x+2}{3x(x+1)}$。
(2) 先对三个分母因式分解：
$x^2-6x+9=(x-3)^2$，$x^2-9=(x-3)(x+3)$，$3x-9=3(x-3)$；
系数最小公倍数是3，所含整式因式$(x-3)$的最高次为2次，$(x+3)$的最高次为1次，因此最简公分母为$3(x-3)^2(x+3)$：
$\frac{1}{x^2-6x+9}$的分母缺少因式$3(x+3)$，分子分母同乘$3(x+3)$，得$\frac{1×3(x+3)}{(x-3)^2×3(x+3)}=\frac{3x+9}{3(x-3)^2(x+3)}$；
$\frac{2}{x^2-9}$的分母缺少因式$3(x-3)$，分子分母同乘$3(x-3)$，得$\frac{2×3(x-3)}{(x-3)(x+3)×3(x-3)}=\frac{6x-18}{3(x-3)^2(x+3)}$；
$\frac{1}{3x-9}$的分母缺少因式$(x-3)(x+3)$，分子分母同乘$(x-3)(x+3)$，得$\frac{1×(x^2-9)}{3(x-3)×(x^2-9)}=\frac{x^2-9}{3(x-3)^2(x+3)}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{x}=\frac{3(x+1)}{3x(x+1)}=\frac{3x+3}{3x(x+1)}$，$\frac{x}{x+1}=\frac{3x^2}{3x(x+1)}$，$\frac{2}{3x}=\frac{2x+2}{3x(x+1)}$；
(2)它们的最简公分母是$3(x-3)^2(x+3)$，$\frac{1}{x^2-6x+9}=\frac{3x+9}{3(x-3)^2(x+3)}$，$\frac{2}{x^2-9}=\frac{6x-18}{3(x-3)^2(x+3)}$，$\frac{1}{3x-9}=\frac{x^2-9}{3(x-3)^2(x+3)}$。
【知识点】
因式分解，分式的基本性质，分式通分
【点评】
本题是分式通分的常规基础题，解题的易错点在于因式分解出错、确定最简公分母时漏看因式的最高次、分子漏乘分母缺少的因式，计算时注意每一步变形都要保证分式的值不变。
【难度系数】
0.8
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，解题步骤如下：①先将每个分式的分母因式分解；②取各分母系数的最小公倍数，乘所有不同因式的最高次幂，所得结果就是最简公分母；③根据分式的基本性质，给每个分式的分子、分母同乘分母缺少的因式，使各分式的分母都变为最简公分母即可。
【解析】
(1) 三个分式的分母分别为$x$、$x+1$、$3x$，系数最小公倍数是3，所含整式因式为$x$、$x+1$，因此最简公分母为$3x(x+1)$：
$\frac{1}{x}$的分母缺少因式$3(x+1)$，分子分母同乘$3(x+1)$，得$\frac{1×3(x+1)}{x×3(x+1)}=\frac{3x+3}{3x(x+1)}$；
$\frac{x}{x+1}$的分母缺少因式$3x$，分子分母同乘$3x$，得$\frac{x×3x}{(x+1)×3x}=\frac{3x^2}{3x(x+1)}$；
$\frac{2}{3x}$的分母缺少因式$x+1$，分子分母同乘$x+1$，得$\frac{2×(x+1)}{3x×(x+1)}=\frac{2x+2}{3x(x+1)}$。
(2) 先对三个分母因式分解：
$x^2-6x+9=(x-3)^2$，$x^2-9=(x-3)(x+3)$，$3x-9=3(x-3)$；
系数最小公倍数是3，所含整式因式$(x-3)$的最高次为2次，$(x+3)$的最高次为1次，因此最简公分母为$3(x-3)^2(x+3)$：
$\frac{1}{x^2-6x+9}$的分母缺少因式$3(x+3)$，分子分母同乘$3(x+3)$，得$\frac{1×3(x+3)}{(x-3)^2×3(x+3)}=\frac{3x+9}{3(x-3)^2(x+3)}$；
$\frac{2}{x^2-9}$的分母缺少因式$3(x-3)$，分子分母同乘$3(x-3)$，得$\frac{2×3(x-3)}{(x-3)(x+3)×3(x-3)}=\frac{6x-18}{3(x-3)^2(x+3)}$；
$\frac{1}{3x-9}$的分母缺少因式$(x-3)(x+3)$，分子分母同乘$(x-3)(x+3)$，得$\frac{1×(x^2-9)}{3(x-3)×(x^2-9)}=\frac{x^2-9}{3(x-3)^2(x+3)}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{x}=\frac{3(x+1)}{3x(x+1)}=\frac{3x+3}{3x(x+1)}$，$\frac{x}{x+1}=\frac{3x^2}{3x(x+1)}$，$\frac{2}{3x}=\frac{2x+2}{3x(x+1)}$；
(2)它们的最简公分母是$3(x-3)^2(x+3)$，$\frac{1}{x^2-6x+9}=\frac{3x+9}{3(x-3)^2(x+3)}$，$\frac{2}{x^2-9}=\frac{6x-18}{3(x-3)^2(x+3)}$，$\frac{1}{3x-9}=\frac{x^2-9}{3(x-3)^2(x+3)}$。
【知识点】
因式分解，分式的基本性质，分式通分
【点评】
本题是分式通分的常规基础题，解题的易错点在于因式分解出错、确定最简公分母时漏看因式的最高次、分子漏乘分母缺少的因式，计算时注意每一步变形都要保证分式的值不变。
【难度系数】
0.8